Номер 852, страница 189 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

34. Числовые неравенства. § 11. Числовые неравенства и их свойства. Глава 4. Неравенства - номер 852, страница 189.

852. (Для работы в парах.) Докажите, что если а и b — положительные числа и a² > b², то а > b. Пользуясь этим свойством, сравните числа:

1) Проведите доказательство приведённого утверждения.

2) Распределите, кто выполняет задания а) и в), а кто — задания б) и г), и выполните их.

3) Проверьте друг у друга, правильно ли выполнено сравнение выражений. Исправьте ошибки, если они допущены.

$$\begin{gathered} a>0; b>0, a^2>b^2 \\ {a}^2-b^2>0; (a-b)(a+6)>0 \end{gathered}$$

T.к $a>0a>0$ u $b>0b>0$, то $a+b>0a+b>0$. Значит и $a-6>0a-6>0$, т.е. $a>ba>b$

a) $\sqrt{6}+\sqrt{3}>\sqrt{7}+\sqrt{2}\backslash sqrt\{6\}+\backslash sqrt\{3\}>\backslash sqrt\{7\}+\backslash sqrt\{2\}$, так как

$$\begin{gathered} \sqrt{6}+\sqrt{3}>0; \sqrt{7}+\sqrt{2}>0 \\ {\left(\sqrt{6}+\sqrt{3}\right)}^2=6+2\sqrt{18}+3=9+2\sqrt{18} \\ {\left(\sqrt{7}+\sqrt{2}\right)}^2=7+2\sqrt{14}+2=9+2\sqrt{14} \end{gathered}$$
$9+2\sqrt{18}>9+2\sqrt{14}$, т.к. $\sqrt{18}>\sqrt{14}\backslash sqrt\{18\}\; >\; \backslash sqrt\{14\}$

б) $\sqrt{3}+2>\sqrt{6}+1\backslash sqrt\{3\}+2>\; \backslash sqrt\{6\}+1$, так как

$$\begin{gathered} \sqrt{3}+2>0; \sqrt{6}+1>0 \\ {\left(\sqrt{3}+2\right)}^2=3+4\sqrt{3}+4=7+4\sqrt{3}=7+\sqrt{48}; \\ {\left(\sqrt{6}+1\right)}^2=6+2\sqrt{6}+1=7+2\sqrt{6}=7+\sqrt{24} \end{gathered}$$
$7+\sqrt{48}>7+\sqrt{24}$, т.к. $\sqrt{48}>\sqrt{24}\backslash sqrt\{48\}>\backslash sqrt\{24\}$

в) , так как

$$\begin{gathered} \sqrt{5}-2=\sqrt{5}-\sqrt{4}>0; \sqrt{6}-\sqrt{3}>0 \\ {\left(\sqrt{5}-2\right)}^2=5-4\sqrt{5}+4=9-4\sqrt{5}=9-\sqrt{80} \\ {\left(\sqrt{6}-\sqrt{3}\right)}^2=6-2\sqrt{18}+3=9-2\sqrt{18}=9-\sqrt{72} \end{gathered}$$
$9-\sqrt{80}<9-\sqrt{72}$, т.к. $\sqrt{80}>\sqrt{72}\backslash sqrt\{80\}>\backslash sqrt\{72\}$

г) , так как

$$\begin{gathered} \sqrt{10}-\sqrt{7}>0, \sqrt{11}-\sqrt{6}>0 \\ {\left(\sqrt{10}-\sqrt{7}\right)}^2=10-2\sqrt{70}+7=17-2\sqrt{70} \\ {\left(\sqrt{11}-\sqrt{6}\right)}^2=11-2\sqrt{66}+6=17-2\sqrt{66} \end{gathered}$$
$17-2\sqrt{70}<17-2\sqrt{66}$, т.к $\sqrt{70}>\sqrt{66}\backslash sqrt\{70\}>\backslash sqrt\{66\}$

1) Доказательство утверждения

Требуется доказать, что если $a$ и $b$ — положительные числа ($a > 0, b > 0$) и $a^2 > b^2$, то $a > b$.

1. Рассматриваем неравенство $a^2 > b^2$.

2. Перенесем все члены в левую часть: $a^2 - b^2 > 0$.

3. Применим формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$: $(a - b)(a + b) > 0$.

4. По условию $a$ и $b$ — положительные числа, следовательно, их сумма $a + b$ также является положительным числом, то есть $(a + b) > 0$.

5. Произведение двух множителей $(a - b)$ и $(a + b)$ положительно. Так как один из множителей, $(a + b)$, положителен, то и второй множитель, $(a - b)$, должен быть положителен, чтобы их произведение было больше нуля.

6. Таким образом, получаем $a - b > 0$.

7. Отсюда следует, что $a > b$. Утверждение доказано.

а) Сравним числа $\sqrt{6} + \sqrt{3}$ и $\sqrt{7} + \sqrt{2}$

Пусть $a = \sqrt{6} + \sqrt{3}$ и $b = \sqrt{7} + \sqrt{2}$. Оба числа положительны. Сравним их квадраты.

$a^2 = (\sqrt{6} + \sqrt{3})^2 = 6 + 2\sqrt{18} + 3 = 9 + 2\sqrt{18}$.

$b^2 = (\sqrt{7} + \sqrt{2})^2 = 7 + 2\sqrt{14} + 2 = 9 + 2\sqrt{14}$.

Сравниваем $a^2$ и $b^2$. Для этого сравним $9 + 2\sqrt{18}$ и $9 + 2\sqrt{14}$. Это эквивалентно сравнению $2\sqrt{18}$ и $2\sqrt{14}$.

Так как $18 > 14$, то $\sqrt{18} > \sqrt{14}$, и $2\sqrt{18} > 2\sqrt{14}$.

Следовательно, $9 + 2\sqrt{18} > 9 + 2\sqrt{14}$, то есть $a^2 > b^2$.

Поскольку $a$ и $b$ — положительные числа, то из $a^2 > b^2$ следует $a > b$.

Ответ: $\sqrt{6} + \sqrt{3} > \sqrt{7} + \sqrt{2}$.

б) Сравним числа $\sqrt{3} + 2$ и $\sqrt{6} + 1$

Пусть $a = \sqrt{3} + 2$ и $b = \sqrt{6} + 1$. Оба числа положительны. Сравним их квадраты.

$a^2 = (\sqrt{3} + 2)^2 = 3 + 4\sqrt{3} + 4 = 7 + 4\sqrt{3}$.

$b^2 = (\sqrt{6} + 1)^2 = 6 + 2\sqrt{6} + 1 = 7 + 2\sqrt{6}$.

Сравним $7 + 4\sqrt{3}$ и $7 + 2\sqrt{6}$. Это эквивалентно сравнению $4\sqrt{3}$ и $2\sqrt{6}$.

Возведем оба выражения в квадрат: $(4\sqrt{3})^2 = 16 \cdot 3 = 48$ и $(2\sqrt{6})^2 = 4 \cdot 6 = 24$.

Так как $48 > 24$, то $4\sqrt{3} > 2\sqrt{6}$.

Следовательно, $7 + 4\sqrt{3} > 7 + 2\sqrt{6}$, то есть $a^2 > b^2$.

Поскольку $a$ и $b$ — положительные числа, то $a > b$.

Ответ: $\sqrt{3} + 2 > \sqrt{6} + 1$.

в) Сравним числа $\sqrt{5} - 2$ и $\sqrt{6} - \sqrt{3}$

Пусть $a = \sqrt{5} - 2$ и $b = \sqrt{6} - \sqrt{3}$. Проверим, положительны ли эти числа.

$a = \sqrt{5} - \sqrt{4}$. Так как $5 > 4$, то $\sqrt{5} > \sqrt{4}$, значит $a > 0$.

$b = \sqrt{6} - \sqrt{3}$. Так как $6 > 3$, то $\sqrt{6} > \sqrt{3}$, значит $b > 0$.

Оба числа положительны, поэтому сравним их квадраты.

$a^2 = (\sqrt{5} - 2)^2 = 5 - 4\sqrt{5} + 4 = 9 - 4\sqrt{5}$.

$b^2 = (\sqrt{6} - \sqrt{3})^2 = 6 - 2\sqrt{18} + 3 = 9 - 2\sqrt{18}$.

Сравниваем $9 - 4\sqrt{5}$ и $9 - 2\sqrt{18}$. Это эквивалентно сравнению $-4\sqrt{5}$ и $-2\sqrt{18}$, или сравнению $4\sqrt{5}$ и $2\sqrt{18}$ с противоположным знаком неравенства.

Сравним $4\sqrt{5}$ и $2\sqrt{18}$. Возведем их в квадрат: $(4\sqrt{5})^2 = 16 \cdot 5 = 80$ и $(2\sqrt{18})^2 = 4 \cdot 18 = 72$.

Так как $80 > 72$, то $4\sqrt{5} > 2\sqrt{18}$.

При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется: $-4\sqrt{5} < -2\sqrt{18}$.

Следовательно, $9 - 4\sqrt{5} < 9 - 2\sqrt{18}$, то есть $a^2 < b^2$.

Поскольку $a$ и $b$ — положительные числа, то $a < b$.

Ответ: $\sqrt{5} - 2 < \sqrt{6} - \sqrt{3}$.

г) Сравним числа $\sqrt{10} - \sqrt{7}$ и $\sqrt{11} - \sqrt{6}$

Пусть $a = \sqrt{10} - \sqrt{7}$ и $b = \sqrt{11} - \sqrt{6}$. Оба числа положительны, так как $\sqrt{10} > \sqrt{7}$ и $\sqrt{11} > \sqrt{6}$. Сравним их квадраты.

$a^2 = (\sqrt{10} - \sqrt{7})^2 = 10 - 2\sqrt{70} + 7 = 17 - 2\sqrt{70}$.

$b^2 = (\sqrt{11} - \sqrt{6})^2 = 11 - 2\sqrt{66} + 6 = 17 - 2\sqrt{66}$.

Сравниваем $17 - 2\sqrt{70}$ и $17 - 2\sqrt{66}$. Это эквивалентно сравнению $-2\sqrt{70}$ и $-2\sqrt{66}$.

Сначала сравним $2\sqrt{70}$ и $2\sqrt{66}$. Так как $70 > 66$, то $\sqrt{70} > \sqrt{66}$ и $2\sqrt{70} > 2\sqrt{66}$.

При умножении на -1 знак неравенства меняется: $-2\sqrt{70} < -2\sqrt{66}$.

Следовательно, $17 - 2\sqrt{70} < 17 - 2\sqrt{66}$, то есть $a^2 < b^2$.

Поскольку $a$ и $b$ — положительные числа, то $a < b$.

Ответ: $\sqrt{10} - \sqrt{7} < \sqrt{11} - \sqrt{6}$.