Номер 854, страница 190 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

34. Числовые неравенства. § 11. Числовые неравенства и их свойства. Глава 4. Неравенства - номер 854, страница 190.

854. Что больше: a³ + b³ или ab(a + b), если а и b — неравные положительные числа?

$$\begin{gathered} a>0, b>0, a\ne b \\ \left(a^3+b^3\right)-ab\left(a+b\right)=a^3+b^3-a^{2}b-a{b}^2= \\ =\left(a^3-a^{2}b\right)-\left(a{b}^2-b^3\right)=a^2\left(a-b\right)-b^2\left(a-b\right)= \\ =\left(a^2-b^2\right)\left(a-b\right)=\left(a-b\right)\left(a+b\right)\left(a-b\right)= \\ ={\left(a-b\right)}^2\left(a+b\right) \end{gathered}$$

Т.к. $a>0a>0$, $b>0b>0$, то $a+b>0a+b>0$

Т.к. $a\mathrm{\ne }ba\; \backslash neq\; b$, то ${\left(a-b\right)}^2>0$

Значит, ${\left(a-b\right)}^2\left(a+b\right)>0$

Следовательно, $a^3+b^3>ab\left(a+b\right)a^\{3\}+b^\{3\}>\; ab(a+b)$

Ответ: $a^3+b^{3}a^\{3\}+b^\{3\}$

Чтобы определить, какое из выражений больше, найдем их разность и определим ее знак. Сравним $a^3 + b^3$ и $ab(a + b)$.

Рассмотрим разность: $(a^3 + b^3) - ab(a + b)$.

Воспользуемся формулой сокращенного умножения для суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$.

Подставим это выражение в нашу разность:

$(a + b)(a^2 - ab + b^2) - ab(a + b)$

Вынесем общий множитель $(a + b)$ за скобки:

$(a + b)((a^2 - ab + b^2) - ab) = (a + b)(a^2 - 2ab + b^2)$

Выражение во второй скобке является формулой квадрата разности: $a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$.

Таким образом, исходная разность равна:

$(a + b)(a - b)^2$

Теперь проанализируем знак этого выражения, исходя из условий задачи:

1. По условию, $a$ и $b$ — положительные числа ($a > 0, b > 0$), следовательно, их сумма $(a + b)$ всегда будет положительной: $(a + b) > 0$.

2. По условию, $a$ и $b$ — неравные числа ($a \neq b$), следовательно, их разность $(a - b)$ не равна нулю. Квадрат любого ненулевого числа всегда положителен, поэтому $(a - b)^2 > 0$.

Произведение двух положительных чисел ($(a + b)$ и $(a - b)^2$) также является положительным числом. Значит, $(a + b)(a - b)^2 > 0$.

Поскольку разность $(a^3 + b^3) - ab(a + b)$ строго больше нуля, то первое выражение больше второго.

Ответ: $a^3 + b^3 > ab(a + b)$.