Номер 853, страница 189 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

34. Числовые неравенства. § 11. Числовые неравенства и их свойства. Глава 4. Неравенства - номер 853, страница 189.

853. Докажите, что при a ≥ 0 и b ≥ 0 верно неравенство

$a\ge 0, b\ge 0$, следовательно $\frac{a+b}{2}\ge 0$ и $\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}\ge 0$

$$\begin{gathered} {\left(\frac{a+b}{2}\right)}^2=\frac{a^2+2ab+b^2}{4}=\frac{a^2+b^2+2ab}{4} \\ {\left(\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}\right)}^2=\frac{a^2+b^2}{2} \\ \frac{a^2+b^2+2ab}{4}-\frac{a^2+b^2}{2}= \\ =\frac{a^2+b^2+2ab-2a^2-2b^2}{4}= \\ =\frac{2ab-a^2-b^2}{4}=\frac{-\left(a^2-2ab+b^2\right)}{4}= \\ =-\frac{{\left(a-b\right)}^2}{4}\le 0 \end{gathered}$$

Т.к. ${\left(\frac{a+b}{2}\right)}^2-{\left(\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}\right)}^2\le 0$, то $\frac{a+b}{2}\le \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}\backslash frac\{a+b\}\{2\}\; \backslash le\; \backslash sqrt\{\backslash frac\{a^2+b^2\}\{2\}\}$

Для доказательства неравенства $\frac{a+b}{2} \le \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}$ при условиях $a \ge 0$ и $b \ge 0$ выполним следующие преобразования.

Поскольку обе части неравенства неотрицательны (так как $a \ge 0$ и $b \ge 0$), мы можем возвести их в квадрат, не меняя знака неравенства:

$$ \left(\frac{a+b}{2}\right)^2 \le \left(\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}\right)^2 $$

Выполним возведение в квадрат:

$$ \frac{(a+b)^2}{4} \le \frac{a^2+b^2}{2} $$

Раскроем скобки в левой части, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$:

$$ \frac{a^2+2ab+b^2}{4} \le \frac{a^2+b^2}{2} $$

Умножим обе части неравенства на 4, чтобы избавиться от знаменателей. Так как 4 – положительное число, знак неравенства останется прежним:

$$ a^2+2ab+b^2 \le 2(a^2+b^2) $$

Раскроем скобки в правой части:

$$ a^2+2ab+b^2 \le 2a^2+2b^2 $$

Перенесем все члены из левой части в правую:

$$ 0 \le 2a^2+2b^2 - a^2-2ab-b^2 $$

Приведем подобные слагаемые:

$$ 0 \le a^2-2ab+b^2 $$

Полученное выражение в правой части является полным квадратом разности:

$$ 0 \le (a-b)^2 $$

Это неравенство, $(a-b)^2 \ge 0$, очевидно, верно для любых действительных чисел $a$ и $b$, поскольку квадрат любого действительного числа всегда больше или равен нулю.

Так как все выполненные преобразования были равносильными (для $a \ge 0$ и $b \ge 0$), то и исходное неравенство также является верным.

Ответ: Что и требовалось доказать.