Номер 859, страница 190 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

859. Решите уравнение:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}\frac{5}{x}=2-\frac{3}{x-2}\mathrm{/}·x\left(x-2\right) \\ 5\left(x-2\right)=2x\left(x-2\right)-3x \\ 5x-10=2x^2-4x-3x \\ 2x^2-7x-5x+10=0 \\ 2x^2-12x+10=0\mathrm{/}:2 \\ {x}^2-6x+5=0 \\ D={\left(-6\right)}^2-4·1·5=36-20=16 \\ x=\frac{6\pm \sqrt{16}}{2}; x=\frac{6\pm 4}{2} \\ {x}_1=5; x_2=1 \end{gathered}$$

Если $x=5x=5$, то $x\left(x-2\right)=5·\left(5-2\right)=15\mathrm{\ne }0x(x-2)\; =\; 5\; \backslash cdot\; (5-2)\; =\; 15\; \backslash neq\; 0$,

если $x=1x=1$, то $x\left(x-2\right)=1·\left(1-2\right)=-1\mathrm{\ne }0x(x-2)\; =\; 1\; \backslash cdot\; (1-2)\; =\; -1\; \backslash neq\; 0$

Ответ: 1; 5

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}\frac{3}{2x-1}=5x-9\mathrm{/}·\left(2x-1\right) \\ 3=\left(5x-9\right)\left(2x-1\right) \\ 10x^2-5x-18x+9-3=0 \\ 10x^2-23x+6=0 \\ D={\left(-23\right)}^2-4·10·6=529-240=289 \\ x=\frac{23\pm \sqrt{289}}{20};x=\frac{23\pm 17}{20} \\ {x}_1=2;x_2=\frac{6}{20}=\frac{3}{10}=0,3 \end{gathered}$$

Если $x=2x\; =\; 2$, то $2x-1=2·2-1=3\mathrm{\ne }02x-1\; =\; 2\; \backslash cdot\; 2\; -\; 1\; =\; 3\; \backslash neq\; 0$,

если $x=0,3$, то $2x-1=2·0,3-1=-0,4\ne 0$

Ответ: 0,3; 2

а) $ \frac{5}{x} = 2 - \frac{3}{x-2} $

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели дробей не могут быть равны нулю, поэтому $x \neq 0$ и $x - 2 \neq 0$, откуда $x \neq 2$.

Для решения уравнения приведем все его члены к общему знаменателю $x(x-2)$. Для этого умножим обе части уравнения на $x(x-2)$:

$ \frac{5}{x} \cdot x(x-2) = 2 \cdot x(x-2) - \frac{3}{x-2} \cdot x(x-2) $

$ 5(x-2) = 2x(x-2) - 3x $

Раскроем скобки:

$ 5x - 10 = 2x^2 - 4x - 3x $

Приведем подобные слагаемые:

$ 5x - 10 = 2x^2 - 7x $

Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить квадратное уравнение вида $ax^2+bx+c=0$:

$ 0 = 2x^2 - 7x - 5x + 10 $

$ 2x^2 - 12x + 10 = 0 $

Разделим все уравнение на 2 для упрощения:

$ x^2 - 6x + 5 = 0 $

Решим полученное квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета. Сумма корней равна 6, а их произведение равно 5. Отсюда корни:

$ x_1 = 1 $

$ x_2 = 5 $

Также можно найти корни через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$ D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 36 - 20 = 16 $

$ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{6 \pm 4}{2} $

$ x_1 = \frac{6+4}{2} = 5 $

$ x_2 = \frac{6-4}{2} = 1 $

Оба найденных корня, 1 и 5, удовлетворяют ОДЗ ($x \neq 0$ и $x \neq 2$).

Ответ: 1; 5.

б) $ \frac{3}{2x-1} = 5x - 9 $

Определим ОДЗ: знаменатель не должен быть равен нулю, следовательно, $2x-1 \neq 0$, откуда $x \neq \frac{1}{2}$.

Умножим обе части уравнения на знаменатель $(2x-1)$, чтобы избавиться от дроби:

$ 3 = (5x-9)(2x-1) $

Раскроем скобки в правой части уравнения:

$ 3 = 10x^2 - 5x - 18x + 9 $

Приведем подобные слагаемые:

$ 3 = 10x^2 - 23x + 9 $

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$ 10x^2 - 23x + 9 - 3 = 0 $

$ 10x^2 - 23x + 6 = 0 $

Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$ D = (-23)^2 - 4 \cdot 10 \cdot 6 = 529 - 240 = 289 $

Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня. Найдем их:

$ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{23 \pm \sqrt{289}}{2 \cdot 10} = \frac{23 \pm 17}{20} $

$ x_1 = \frac{23+17}{20} = \frac{40}{20} = 2 $

$ x_2 = \frac{23-17}{20} = \frac{6}{20} = \frac{3}{10} = 0,3 $

Оба корня, 2 и 0,3, не равны $\frac{1}{2}$ (0,5), поэтому они удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: 0,3; 2.