Номер 863, страница 193 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

35. Свойства числовых неравенств. § 11. Числовые неравенства и их свойства. Глава 4. Неравенства - номер 863, страница 193.

863. Какими числами (положительными или отрицательными) являются а и b, если известно, что верны неравенства:

a) a-3>b-3; b>4

a>b и b>0, a>0

Ответ: положительными

б) a-8>b-8; a<-12

a>b и a<0, b<0

Ответ: отрицательными

в) 7a>7b и b>$\frac{1}{2}\backslash frac\{1\}\{2\}$

a>b и b>0, a>0

Ответ: положительными

г) -2a>-2b и b<$-\frac{1}{3}-\backslash frac\{1\}\{3\}$

a<b и b<0, a<0

Ответ: отрицательными

а)

В первом неравенстве $a - 3 > b - 3$ прибавим к обеим частям число 3. Знак неравенства при этом не изменится:

$a - 3 + 3 > b - 3 + 3$

$a > b$

По второму условию нам дано, что $b > 4$. Поскольку число 4 является положительным, то и число $b$, которое больше 4, также является положительным.

Так как мы установили, что $a > b$, и знаем, что $b$ - положительное число (больше 4), то из этого следует, что $a$ тоже больше 4 ($a > b > 4$). Следовательно, $a$ — положительное число.

Ответ: $a$ и $b$ - положительные числа.

б)

Рассмотрим первое неравенство $a - 8 > b - 8$. Прибавим к обеим его частям число 8:

$a - 8 + 8 > b - 8 + 8$

$a > b$

Второе неравенство в условии — $a < -12$. Так как -12 — это отрицательное число, то и $a$, которое меньше -12, также является отрицательным.

У нас есть два соотношения: $a > b$ (что то же самое, что $b < a$) и $a < -12$. Объединив их, получаем двойное неравенство: $b < a < -12$.

Из этого неравенства видно, что $b$ меньше, чем $a$, которое, в свою очередь, является отрицательным числом. Значит, $b$ также является отрицательным числом.

Ответ: $a$ и $b$ - отрицательные числа.

в)

В неравенстве $7a > 7b$ разделим обе части на положительное число 7. Знак неравенства при этом сохранится:

$\frac{7a}{7} > \frac{7b}{7}$

$a > b$

По второму условию $b > \frac{1}{2}$. Число $\frac{1}{2}$ является положительным, следовательно, число $b$ также положительное.

Из соотношений $a > b$ и $b > \frac{1}{2}$ следует, что $a$ также больше $\frac{1}{2}$ ($a > b > \frac{1}{2}$). Таким образом, $a$ — положительное число.

Ответ: $a$ и $b$ - положительные числа.

г)

Рассмотрим неравенство $-2a > -2b$. Разделим обе части на отрицательное число -2. При делении на отрицательное число знак неравенства необходимо изменить на противоположный:

$\frac{-2a}{-2} < \frac{-2b}{-2}$

$a < b$

Второе условие гласит, что $b < -\frac{1}{3}$. Поскольку $-\frac{1}{3}$ — это отрицательное число, то и $b$, которое меньше этого числа, является отрицательным.

Мы получили, что $a < b$ и $b < -\frac{1}{3}$. Объединив эти два условия, получаем $a < b < -\frac{1}{3}$.

Из этого следует, что $a$ меньше, чем $b$, а $b$ — отрицательное число. Значит, $a$ также является отрицательным числом.

Ответ: $a$ и $b$ - отрицательные числа.