Страница 193 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

860. Отметьте на координатной прямой точки, имеющие координаты а, b, с, d и е, если a ‹ b, c > b, c ‹ d, a > e.

$a<b, c>b, c<d, a>e$

Для того чтобы отметить на координатной прямой точки с координатами $a, b, c, d$ и $e$, необходимо определить их взаимное расположение, проанализировав данные неравенства.

Рассмотрим каждое условие:

1. Неравенство $a < b$ означает, что точка $a$ на координатной прямой находится левее точки $b$.
2. Неравенство $c > b$ означает, что точка $c$ находится правее точки $b$. Это то же самое, что и $b < c$.
3. Неравенство $c < d$ означает, что точка $c$ находится левее точки $d$.
4. Неравенство $a > e$ означает, что точка $a$ находится правее точки $e$. Это то же самое, что и $e < a$.

Теперь объединим все эти условия в одну общую цепь неравенств, чтобы установить окончательный порядок точек.

Из условий $a < b$ и $b < c$ следует, что точки располагаются в порядке $a, b, c$ (слева направо). Таким образом, мы получаем цепочку: $a < b < c$.

Добавим к этой цепочке условие $c < d$. Получаем: $a < b < c < d$.

Наконец, учтем последнее условие $e < a$. Это значит, что точка $e$ находится левее точки $a$, а следовательно, и левее всех остальных точек в нашей цепочке.

В результате мы получаем итоговое соотношение: $e < a < b < c < d$.

Это означает, что на координатной прямой точки должны быть расположены в следующем порядке (слева направо): $e, a, b, c, d$.

Схематическое изображение на координатной прямой выглядит так:

Ответ: На координатной прямой точки располагаются в следующем порядке слева направо: $e, a, b, c, d$.

861. Пусть m, n, p и q — некоторые числа, причём m > p, n > m, n ‹ q. Сравните, если это возможно, числа p и n, p и q, q и m. При сравнении чисел воспользуйтесь координатной прямой.

$m>p, n>m, n<q$

$p<n, p<q, q>m$

Для решения задачи проанализируем данные неравенства и расположим числа на координатной прямой.

Из условия нам известно:

1. $m > p$, что равносильно $p < m$.
2. $n > m$, что равносильно $m < n$.
3. $n < q$.

Объединив первые два неравенства ($p < m$ и $m < n$), мы получаем двойное неравенство $p < m < n$. Это означает, что на координатной прямой число $p$ находится левее числа $m$, а число $m$ — левее числа $n$.

Теперь добавим третье неравенство $n < q$. Получаем общую цепочку неравенств: $p < m < n < q$.

Это означает, что на координатной прямой числа располагаются в следующем порядке (слева направо): $p$, затем $m$, затем $n$, и затем $q$. Используя это, сравним заданные пары чисел.

p и n

Из объединенного неравенства $p < m < n$ напрямую следует, что $p$ меньше $n$. На координатной прямой точка, соответствующая числу $p$, лежит левее точки, соответствующей числу $n$.

Ответ: $p < n$.

p и q

Из полной цепочки неравенств $p < m < n < q$ следует, что $p$ меньше $q$. На координатной прямой точка $p$ расположена левее точки $q$.

Ответ: $p < q$.

q и m

Из цепочки неравенств $p < m < n < q$ следует, что $m$ меньше $q$. На координатной прямой точка $m$ лежит левее точки $q$. Следовательно, $q$ больше $m$.

Ответ: $q > m$.

862. Известно, что a ‹ b. Сравните, если возможно, а и b + 1, a – 3 и b, a – 5 и b + 2, a + 4 и b – 1.

$a<b$
$$\begin{gathered} a<b+1 \\ a-3<b \end{gathered}$$$$\begin{gathered} a-5<b+2 \\ a+4\text{и}b-1-\text{сравнить невозможно} \end{gathered}$$

В задаче требуется сравнить несколько пар выражений, используя известное неравенство $a < b$.

a и b + 1
По условию $a < b$. Также известно, что для любого числа $b$ справедливо неравенство $b < b + 1$. Объединяя эти два неравенства, мы получаем цепочку: $a < b < b + 1$ Из этой цепочки по свойству транзитивности неравенств следует, что $a$ меньше, чем $b + 1$.
Ответ: $a < b + 1$.

a - 3 и b
Известно, что $a < b$. Рассмотрим выражение $a - 3$. Очевидно, что $a - 3 < a$, так как из числа вычитается положительное значение. Мы имеем два неравенства: $a - 3 < a$ и $a < b$. Снова используем свойство транзитивности: $a - 3 < a < b$ Отсюда следует, что $a - 3$ меньше, чем $b$.
Ответ: $a - 3 < b$.

a - 5 и b + 2
Начнем с исходного неравенства $a < b$. Согласно свойствам неравенств, мы можем прибавить или вычесть одно и то же число из обеих частей неравенства, не меняя его знака. Вычтем 5 из обеих частей: $a - 5 < b - 5$. Нам нужно сравнить $a - 5$ и $b + 2$. Мы знаем, что $b - 5 < b + 2$, поскольку $-5 < 2$. Таким образом, мы можем составить следующую цепочку неравенств: $a - 5 < b - 5 < b + 2$ Из этой цепочки следует, что $a - 5$ меньше, чем $b + 2$.
Ответ: $a - 5 < b + 2$.

a + 4 и b - 1
Чтобы сравнить эти два выражения, рассмотрим их разность: $(a + 4) - (b - 1) = a + 4 - b + 1 = (a - b) + 5$. По условию $a < b$, значит, разность $a - b$ всегда отрицательна ($a - b < 0$). Однако, значение выражения $(a - b) + 5$ может быть как положительным, так и отрицательным или равным нулю, в зависимости от того, насколько $a$ меньше $b$. Приведем примеры:
1. Если $a = 1$ и $b = 10$ (условие $a < b$ выполнено), то $a + 4 = 5$, а $b - 1 = 9$. В этом случае $a + 4 < b - 1$.
2. Если $a = 1$ и $b = 3$ (условие $a < b$ выполнено), то $a + 4 = 5$, а $b - 1 = 2$. В этом случае $a + 4 > b - 1$.
3. Если $a = 1$ и $b = 6$ (условие $a < b$ выполнено), то $a + 4 = 5$, а $b - 1 = 5$. В этом случае $a + 4 = b - 1$.
Так как в зависимости от конкретных значений $a$ и $b$ знак сравнения может быть любым, однозначно сравнить эти выражения невозможно.
Ответ: Сравнить невозможно.

863. Какими числами (положительными или отрицательными) являются а и b, если известно, что верны неравенства:

a) a-3>b-3; b>4

a>b и b>0, a>0

Ответ: положительными

б) a-8>b-8; a<-12

a>b и a<0, b<0

Ответ: отрицательными

в) 7a>7b и b>$\frac{1}{2}\backslash frac\{1\}\{2\}$

a>b и b>0, a>0

Ответ: положительными

г) -2a>-2b и b<$-\frac{1}{3}-\backslash frac\{1\}\{3\}$

a<b и b<0, a<0

Ответ: отрицательными

а)

В первом неравенстве $a - 3 > b - 3$ прибавим к обеим частям число 3. Знак неравенства при этом не изменится:

$a - 3 + 3 > b - 3 + 3$

$a > b$

По второму условию нам дано, что $b > 4$. Поскольку число 4 является положительным, то и число $b$, которое больше 4, также является положительным.

Так как мы установили, что $a > b$, и знаем, что $b$ - положительное число (больше 4), то из этого следует, что $a$ тоже больше 4 ($a > b > 4$). Следовательно, $a$ — положительное число.

Ответ: $a$ и $b$ - положительные числа.

б)

Рассмотрим первое неравенство $a - 8 > b - 8$. Прибавим к обеим его частям число 8:

$a - 8 + 8 > b - 8 + 8$

$a > b$

Второе неравенство в условии — $a < -12$. Так как -12 — это отрицательное число, то и $a$, которое меньше -12, также является отрицательным.

У нас есть два соотношения: $a > b$ (что то же самое, что $b < a$) и $a < -12$. Объединив их, получаем двойное неравенство: $b < a < -12$.

Из этого неравенства видно, что $b$ меньше, чем $a$, которое, в свою очередь, является отрицательным числом. Значит, $b$ также является отрицательным числом.

Ответ: $a$ и $b$ - отрицательные числа.

в)

В неравенстве $7a > 7b$ разделим обе части на положительное число 7. Знак неравенства при этом сохранится:

$\frac{7a}{7} > \frac{7b}{7}$

$a > b$

По второму условию $b > \frac{1}{2}$. Число $\frac{1}{2}$ является положительным, следовательно, число $b$ также положительное.

Из соотношений $a > b$ и $b > \frac{1}{2}$ следует, что $a$ также больше $\frac{1}{2}$ ($a > b > \frac{1}{2}$). Таким образом, $a$ — положительное число.

Ответ: $a$ и $b$ - положительные числа.

г)

Рассмотрим неравенство $-2a > -2b$. Разделим обе части на отрицательное число -2. При делении на отрицательное число знак неравенства необходимо изменить на противоположный:

$\frac{-2a}{-2} < \frac{-2b}{-2}$

$a < b$

Второе условие гласит, что $b < -\frac{1}{3}$. Поскольку $-\frac{1}{3}$ — это отрицательное число, то и $b$, которое меньше этого числа, является отрицательным.

Мы получили, что $a < b$ и $b < -\frac{1}{3}$. Объединив эти два условия, получаем $a < b < -\frac{1}{3}$.

Из этого следует, что $a$ меньше, чем $b$, а $b$ — отрицательное число. Значит, $a$ также является отрицательным числом.

Ответ: $a$ и $b$ - отрицательные числа.

864. Используя свойства неравенств, запишите верное неравенство, которое получится, если:

а) к обеим частям неравенства 18 > –7 прибавить число –5; число 2,7; число 7;

б) из обеих частей неравенства 5 > –3 вычесть число 2; число 12; число –5;

в) обе части неравенства –9 ‹ 21 умножить на 2; на –1; на -13;

г) обе части неравенства 15 > –6 разделить на 3; на –3; на –1.

a) 18>-7

18+(-5)>-7+(-5)

13>-12

18+2,7>-7+2,7

20,7>-4,3

18+7>-7+7

25>0

б) 5>-3

5-2>-3-2

3>-5

5-12>-3-12

-7>-15

5-(-5)>-3-(-5)

10>2

в) -9<21

-9*2<21*2

-18<42

9*(-1)>21*(-1)

9>-21

$-9·\left(-\frac{1}{3}\right)>21·\left(-\frac{1}{3}\right)$

3>-7

г) 15>-6

$\frac{15}{3}>-\frac{6}{3}$

5>2

$\frac{15}{-3}<\frac{-6}{-3}$

-5<2

$\frac{15}{-1}\backslash frac\{15\}\{-1\}$<$\frac{-6}{-1}\backslash frac\{-6\}\{-1\}$

-15<6

а) Дано неравенство $18 > -7$. Согласно свойству неравенств, при прибавлении к обеим частям верного неравенства одного и того же числа, знак неравенства сохраняется.

1. Прибавим к обеим частям число $-5$:
$18 + (-5) > -7 + (-5)$
$13 > -12$
Неравенство верно.
Ответ: $13 > -12$

2. Прибавим к обеим частям число $2,7$:
$18 + 2,7 > -7 + 2,7$
$20,7 > -4,3$
Неравенство верно.
Ответ: $20,7 > -4,3$

3. Прибавим к обеим частям число $7$:
$18 + 7 > -7 + 7$
$25 > 0$
Неравенство верно.
Ответ: $25 > 0$

б) Дано неравенство $5 > -3$. Свойство неравенств гласит, что при вычитании из обеих частей верного неравенства одного и того же числа, знак неравенства сохраняется.

1. Вычтем из обеих частей число $2$:
$5 - 2 > -3 - 2$
$3 > -5$
Неравенство верно.
Ответ: $3 > -5$

2. Вычтем из обеих частей число $12$:
$5 - 12 > -3 - 12$
$-7 > -15$
Неравенство верно.
Ответ: $-7 > -15$

3. Вычтем из обеих частей число $-5$:
$5 - (-5) > -3 - (-5)$
$5 + 5 > -3 + 5$
$10 > 2$
Неравенство верно.
Ответ: $10 > 2$

в) Дано неравенство $-9 < 21$. При умножении обеих частей неравенства на положительное число знак неравенства сохраняется. При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.

1. Умножим обе части на $2$ (положительное число), знак неравенства `<` сохраняется:
$-9 \cdot 2 < 21 \cdot 2$
$-18 < 42$
Неравенство верно.
Ответ: $-18 < 42$

2. Умножим обе части на $-1$ (отрицательное число), знак неравенства `<` меняется на `>`:
$-9 \cdot (-1) > 21 \cdot (-1)$
$9 > -21$
Неравенство верно.
Ответ: $9 > -21$

3. Умножим обе части на $-\frac{1}{3}$ (отрицательное число), знак неравенства `<` меняется на `>`:
$-9 \cdot (-\frac{1}{3}) > 21 \cdot (-\frac{1}{3})$
$3 > -7$
Неравенство верно.
Ответ: $3 > -7$

г) Дано неравенство $15 > -6$. При делении обеих частей неравенства на положительное число знак неравенства сохраняется. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.

1. Разделим обе части на $3$ (положительное число), знак неравенства `>` сохраняется:
$15 : 3 > -6 : 3$
$5 > -2$
Неравенство верно.
Ответ: $5 > -2$

2. Разделим обе части на $-3$ (отрицательное число), знак неравенства `>` меняется на `<`:
$15 : (-3) < -6 : (-3)$
$-5 < 2$
Неравенство верно.
Ответ: $-5 < 2$

3. Разделим обе части на $-1$ (отрицательное число), знак неравенства `>` меняется на `<`:
$15 : (-1) < -6 : (-1)$
$-15 < 6$
Неравенство верно.
Ответ: $-15 < 6$

865. Известно, что a ‹ b. Используя свойства неравенств, запишите верное неравенство, которое получится, если:

а) к обеим частям этого неравенства прибавить число 4;

б) из обеих частей этого неравенства вычесть число 5;

в) обе части этого неравенства умножить на 8;

г) обе части этого неравенства разделить на 13;

д) обе части этого неравенства умножить на –4,8;

е) обе части этого неравенства разделить на –1.

a<b

a) a+4<b+4

б) a-5<b-5

в) 8a<8b

г) $\frac{a}{{\displaystyle \frac{1}{3}}}<\frac{b}{{\displaystyle \frac{1}{3}}}; 3a<3b$

д) -4,8a>-4,8b

e) $\frac{a}{-1}>\frac{b}{-1}\backslash frac\{a\}\{-1\}\; >\; \backslash frac\{b\}\{-1\}$; -a>-b

а) Согласно свойству неравенств, если к обеим частям верного неравенства прибавить одно и то же число, то знак неравенства не изменится. Исходное неравенство: $a < b$. Прибавим к обеим частям число 4:
$a + 4 < b + 4$
Ответ: $a + 4 < b + 4$

б) Согласно свойству неравенств, если из обеих частей верного неравенства вычесть одно и то же число, то знак неравенства не изменится. Исходное неравенство: $a < b$. Вычтем из обеих частей число 5:
$a - 5 < b - 5$
Ответ: $a - 5 < b - 5$

в) Согласно свойству неравенств, если обе части верного неравенства умножить на одно и то же положительное число, то знак неравенства не изменится. Число 8 является положительным ($8 > 0$). Исходное неравенство: $a < b$. Умножим обе части на 8:
$a \cdot 8 < b \cdot 8$
$8a < 8b$
Ответ: $8a < 8b$

г) Деление на число $\frac{1}{3}$ эквивалентно умножению на обратное ему число 3. Согласно свойству неравенств, при умножении обеих частей на положительное число знак неравенства не меняется. Число 3 является положительным ($3 > 0$). Исходное неравенство: $a < b$. Разделим обе части на $\frac{1}{3}$:
$a : \frac{1}{3} < b : \frac{1}{3}$
$a \cdot 3 < b \cdot 3$
$3a < 3b$
Ответ: $3a < 3b$

д) Согласно свойству неравенств, если обе части верного неравенства умножить на одно и то же отрицательное число, то знак неравенства изменится на противоположный. Число -4,8 является отрицательным ($-4,8 < 0$). Исходное неравенство: $a < b$. Умножим обе части на -4,8 и сменим знак неравенства с `<` на `>`:
$a \cdot (-4,8) > b \cdot (-4,8)$
$-4,8a > -4,8b$
Ответ: $-4,8a > -4,8b$

е) Согласно свойству неравенств, если обе части верного неравенства разделить на одно и то же отрицательное число, то знак неравенства изменится на противоположный. Число -1 является отрицательным ($-1 < 0$). Исходное неравенство: $a < b$. Разделим обе части на -1 и сменим знак неравенства с `<` на `>`:
$a : (-1) > b : (-1)$
$-a > -b$
Ответ: $-a > -b$

866. Известно, что a ‹ b. Поставьте вместо звёздочки знак ‹ или > так, чтобы получилось верное неравенство:

a<b

a) -12,7a>-12,7b

б)

в) 0,07a <0,07b

г) $-\frac{a}{2}>-\frac{b}{2}-\backslash frac\{a\}\{2\}\; >\; -\backslash frac\{b\}\{2\}$

Для решения этой задачи нужно использовать свойства числовых неравенств. Главное правило, которое здесь применяется, заключается в следующем: если обе части верного неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то знак неравенства не изменится. Если же обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, то знак неравенства изменится на противоположный.

Нам дано исходное неравенство: $a < b$.

а) Сравним выражения $-12,7a$ и $-12,7b$.
Чтобы получить эти выражения из исходного неравенства $a < b$, нужно обе его части умножить на число $-12,7$.
Так как $-12,7$ является отрицательным числом, знак неравенства $<$ нужно поменять на $>$.
Получаем: $a \cdot (-12,7) > b \cdot (-12,7)$, то есть $-12,7a > -12,7b$.
Ответ: $-12,7a > -12,7b$

б) Сравним выражения $\frac{a}{3}$ и $\frac{b}{3}$.
Чтобы получить эти выражения из исходного неравенства $a < b$, нужно обе его части разделить на число $3$.
Так как $3$ является положительным числом, знак неравенства $<$ не меняется.
Получаем: $\frac{a}{3} < \frac{b}{3}$.
Ответ: $\frac{a}{3} < \frac{b}{3}$

в) Сравним выражения $0,07a$ и $0,07b$.
Чтобы получить эти выражения из исходного неравенства $a < b$, нужно обе его части умножить на число $0,07$.
Так как $0,07$ является положительным числом, знак неравенства $<$ не меняется.
Получаем: $0,07a < 0,07b$.
Ответ: $0,07a < 0,07b$

г) Сравним выражения $-\frac{a}{2}$ и $-\frac{b}{2}$.
Чтобы получить эти выражения из исходного неравенства $a < b$, нужно обе его части разделить на число $-2$ (или умножить на $-\frac{1}{2}$).
Так как $-2$ является отрицательным числом, знак неравенства $<$ нужно поменять на $>$.
Получаем: $\frac{a}{-2} > \frac{b}{-2}$, то есть $-\frac{a}{2} > -\frac{b}{2}$.
Ответ: $-\frac{a}{2} > -\frac{b}{2}$

867. Каков знак числа а, если известно, что:

a) 5a<2a

б) 7a>3a

$7a-3a=4a>07a-3a\; =\; 4a\; >\; 0, a>0a>0$

в) -3a<3a

г) -12a>-2a

$-12a-\left(-2a\right)=-12a+2a=-10a>0; a<0$

а) Чтобы определить знак числа $a$, решим неравенство $5a < 2a$. Для этого перенесем все слагаемые с переменной $a$ в одну часть неравенства.

$5a - 2a < 0$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$3a < 0$

Теперь разделим обе части неравенства на 3. Так как 3 является положительным числом, знак неравенства не меняется:

$a < \frac{0}{3}$

$a < 0$

Таким образом, для выполнения условия число $a$ должно быть отрицательным.

Ответ: число $a$ отрицательное ($a < 0$).

б) Рассмотрим неравенство $7a > 3a$. Решим его относительно $a$. Перенесем $3a$ в левую часть:

$7a - 3a > 0$

Упростим выражение:

$4a > 0$

Разделим обе части на 4. Знак неравенства сохраняется, так как 4 — положительное число:

$a > \frac{0}{4}$

$a > 0$

Следовательно, число $a$ должно быть положительным.

Ответ: число $a$ положительное ($a > 0$).

в) Рассмотрим неравенство $-3a < 3a$. Перенесем слагаемое $-3a$ в правую часть, изменив его знак:

$0 < 3a + 3a$

Приведем подобные слагаемые в правой части:

$0 < 6a$

Это неравенство равносильно $6a > 0$. Разделим обе части на 6. Знак неравенства не изменится:

$a > \frac{0}{6}$

$a > 0$

Следовательно, число $a$ должно быть положительным.

Ответ: число $a$ положительное ($a > 0$).

г) Рассмотрим неравенство $-12a > -2a$. Перенесем слагаемое $-12a$ в правую часть:

$0 > -2a + 12a$

Упростим выражение в правой части:

$0 > 10a$

Данное неравенство эквивалентно $10a < 0$. Разделим обе части на 10. Так как 10 — положительное число, знак неравенства не меняется:

$a < \frac{0}{10}$

$a < 0$

Следовательно, число $a$ должно быть отрицательным.

Ответ: число $a$ отрицательное ($a < 0$).

868. Известно, что c > d. Объясните, на основании каких свойств можно утверждать, что верно неравенство:

$c>dc>d$

a)

Если обе части неравенства умножить на одно и то же отрицательное число, то знак неравенства изменится на противоположный;

б) $\frac{c}{8}>\frac{d}{8}\backslash frac\{c\}\{8\}>\backslash frac\{d\}\{8\}$

Если обе части верного неравенства разделить на одно и то же положительное число, то знак неравенства не изменится.

в) $2c+11>2d+112c+11>\; 2d+11$

Сначала обе части верного неравенства умножаем на одно и то же положительное число 2. Знак неравенства не меняется: $2c>2d.$ Затем к обеим частям нового верного неравенства прибавляем одно и то же число 11 и получаем верное неравенство, знак которого не меняется

г) $0,01c-0,7>0,01d-0,7$

Сначала обе части верного неравенства умножаем на одно и то же положительное число 0,01. Знак неравенства не меняется:

$0,01c>0,01d0,01c>0,01d$

Затем к обеим частям нового верного неравенства прибавляем одно и то же число (-0,7) и получаем верное неравенство, знак которого не меняется

д) $1-c<1-d$

Обе части верного неравенства умножаем на одно и то же отрицательное число (-1) и меняем знак неравенства на противоположный: $-c<-d\mathrm{.}$ Затем к обеим частям нового верного неравенства прибавим одно и то же число 1. Получим верное неравенство, знак которого не меняется

e) $2-\frac{c}{2}<2-\frac{d}{2}$

Обе части верного неравенства делим на одно и то же отрицательное число (-2), меняя знак неравенства на противоположный: $-\frac{c}{2}>-\frac{d}{2}-\backslash frac\{c\}\{2\}>-\backslash frac\{d\}\{2\}$. Затем к обеим частям нового верного неравенства прибавим одно и то же число 2. Получим верное неравенство, знак которого не меняется

а) Исходное неравенство $c > d$. Чтобы получить неравенство $-7c < -7d$, необходимо обе части исходного неравенства умножить на $-7$.
Применяется следующее свойство числовых неравенств: при умножении обеих частей верного неравенства на одно и то же отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.
Поскольку число $-7$ отрицательное, знак неравенства $>$ меняется на $<$:
$c > d \quad|\cdot(-7)$
$-7c < -7d$
Ответ: Неравенство $-7c < -7d$ является верным, так как оно получено из верного неравенства $c > d$ путем умножения обеих его частей на отрицательное число $-7$ и смены знака неравенства с $>$ на $<$.

б) Исходное неравенство $c > d$. Чтобы получить неравенство $\frac{c}{8} > \frac{d}{8}$, необходимо обе части исходного неравенства разделить на $8$.
Применяется следующее свойство числовых неравенств: при делении обеих частей верного неравенства на одно и то же положительное число знак неравенства сохраняется.
Поскольку число $8$ положительное, знак неравенства $>$ сохраняется:
$c > d \quad|:8$
$\frac{c}{8} > \frac{d}{8}$
Ответ: Неравенство $\frac{c}{8} > \frac{d}{8}$ является верным, так как оно получено из верного неравенства $c > d$ путем деления обеих его частей на положительное число $8$ с сохранением знака неравенства.

в) Исходное неравенство $c > d$. Чтобы получить неравенство $2c + 11 > 2d + 11$, необходимо выполнить два действия.
1. Умножить обе части на $2$. Так как $2 > 0$, то на основании свойства об умножении на положительное число, знак неравенства сохраняется: $2c > 2d$.
2. Прибавить к обеим частям полученного неравенства число $11$. На основании свойства о прибавлении числа к неравенству, знак неравенства сохраняется: $2c + 11 > 2d + 11$.
Ответ: Неравенство $2c + 11 > 2d + 11$ является верным, так как при умножении на положительное число и прибавлении любого числа знак неравенства не меняется.

г) Исходное неравенство $c > d$. Чтобы получить неравенство $0,01c - 0,7 > 0,01d - 0,7$, необходимо выполнить два действия.
1. Умножить обе части на $0,01$. Так как $0,01 > 0$, то на основании свойства об умножении на положительное число, знак неравенства сохраняется: $0,01c > 0,01d$.
2. Вычесть из обеих частей полученного неравенства число $0,7$ (что равносильно прибавлению $-0,7$). На основании свойства о прибавлении числа к неравенству, знак неравенства сохраняется: $0,01c - 0,7 > 0,01d - 0,7$.
Ответ: Неравенство $0,01c - 0,7 > 0,01d - 0,7$ является верным, так как при умножении на положительное число и вычитании любого числа знак неравенства не меняется.

д) Исходное неравенство $c > d$. Чтобы получить неравенство $1 - c < 1 - d$, необходимо выполнить два действия.
1. Умножить обе части на $-1$. Так как $-1 < 0$, то на основании свойства об умножении на отрицательное число, знак неравенства меняется на противоположный: $-c < -d$.
2. Прибавить к обеим частям полученного неравенства число $1$. На основании свойства о прибавлении числа к неравенству, знак неравенства не меняется: $1 - c < 1 - d$.
Ответ: Неравенство $1 - c < 1 - d$ является верным, так как оно получено путем умножения исходного неравенства на отрицательное число $-1$ (смена знака) и последующего прибавления числа $1$ (сохранение знака).

е) Исходное неравенство $c > d$. Чтобы получить неравенство $2 - \frac{c}{2} < 2 - \frac{d}{2}$, необходимо выполнить два действия.
1. Разделить обе части на $-2$. Так как $-2 < 0$, то на основании свойства о делении на отрицательное число, знак неравенства меняется на противоположный: $-\frac{c}{2} < -\frac{d}{2}$.
2. Прибавить к обеим частям полученного неравенства число $2$. На основании свойства о прибавлении числа к неравенству, знак неравенства не меняется: $2 - \frac{c}{2} < 2 - \frac{d}{2}$.
Ответ: Неравенство $2 - \frac{c}{2} < 2 - \frac{d}{2}$ является верным, так как оно получено путем деления исходного неравенства на отрицательное число $-2$ (смена знака) и последующего прибавления числа $2$ (сохранение знака).