Страница 195 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

878. Оцените значение выражения 1y, если:

а) 5 ‹ y ‹ 8;

б) 0,125 ‹ y ‹ 0,25.

a) 5<y<8

б) 0,125<y<0,25

Чтобы оценить значение выражения $\frac{1}{y}$, нужно воспользоваться свойством числовых неравенств. Если все части двойного неравенства $a < y < b$ положительны, то при переходе к обратным величинам знак неравенства меняется на противоположный: $\frac{1}{b} < \frac{1}{y} < \frac{1}{a}$. Это связано с тем, что функция $f(y) = \frac{1}{y}$ является убывающей для $y > 0$.

Дано неравенство $5 < y < 8$.

Так как все части неравенства (5, y и 8) положительны, мы можем применить указанное выше свойство.

Возьмем обратные величины от каждой части неравенства, изменив знаки неравенства на противоположные:

$\frac{1}{8} < \frac{1}{y} < \frac{1}{5}$

Для наглядности можно перевести обыкновенные дроби в десятичные:

$\frac{1}{8} = 1 \div 8 = 0,125$

$\frac{1}{5} = 1 \div 5 = 0,2$

Таким образом, искомая оценка для выражения $\frac{1}{y}$ имеет вид:

$0,125 < \frac{1}{y} < 0,2$

Ответ: $0,125 < \frac{1}{y} < 0,2$.

Дано неравенство $0,125 < y < 0,25$.

Все части этого неравенства также положительны. Применим то же свойство, что и в предыдущем пункте.

Перейдем к обратным величинам, поменяв знаки неравенства:

$\frac{1}{0,25} < \frac{1}{y} < \frac{1}{0,125}$

Вычислим значения крайних частей неравенства. Для удобства можно представить десятичные дроби как обыкновенные:

$0,125 = \frac{125}{1000} = \frac{1}{8}$

$0,25 = \frac{25}{100} = \frac{1}{4}$

Тогда:

$\frac{1}{0,25} = \frac{1}{\frac{1}{4}} = 4$

$\frac{1}{0,125} = \frac{1}{\frac{1}{8}} = 8$

Подставим вычисленные значения обратно в неравенство:

$4 < \frac{1}{y} < 8$

Ответ: $4 < \frac{1}{y} < 8$.

879. Найдите значение многочлена x² – 4x + 1 при x =14; -3; 2 - 3.

$x^2-4x+1=x^2-2·2x+2^2-2^2+1={\left(x-2\right)}^2-3$

при $\mathit{x}\mathbf{=}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{4}}\mathbf{;}\mathbf{ }$

$$\begin{gathered} {\left(x-2\right)}^2-3={\left(\frac{1}{4}-2\right)}^2-3={\left(\frac{1-8}{4}\right)}^2-3= \\ ={\left(-\frac{7}{4}\right)}^2-3=\frac{49}{16}-3=\frac{49-48}{16}=\frac{1}{16} \end{gathered}$$

при x=-3;

${\left(x-2\right)}^2-3={\left(-3-2\right)}^2-3={\left(-5\right)}^2-3=25-3=22$

при $\mathit{x}\mathbf{=}\mathbf{2}\mathbf{-}\sqrt{\mathbf{3}}\mathbf{;}$

$$\begin{gathered} {\left(x-2\right)}^2-3={\left(2-\sqrt{3}-2\right)}^2-3={\left(-\sqrt{3}\right)}^2-3= \\ =3-3=0 \end{gathered}$$

При $x = \frac{1}{4}$
Чтобы найти значение многочлена $x^2 - 4x + 1$ при $x = \frac{1}{4}$, подставим это значение в выражение вместо $x$:
$(\frac{1}{4})^2 - 4 \cdot (\frac{1}{4}) + 1$
Выполним вычисления по шагам:
1. Возводим в квадрат: $(\frac{1}{4})^2 = \frac{1^2}{4^2} = \frac{1}{16}$.
2. Выполняем умножение: $4 \cdot \frac{1}{4} = 1$.
3. Подставляем полученные значения обратно в выражение: $\frac{1}{16} - 1 + 1$.
4. Складываем и вычитаем: $\frac{1}{16} - 1 + 1 = \frac{1}{16}$.
Ответ: $\frac{1}{16}$.

При $x = -3$
Подставим значение $x = -3$ в многочлен $x^2 - 4x + 1$:
$(-3)^2 - 4 \cdot (-3) + 1$
Выполним вычисления:
1. Возводим в квадрат: $(-3)^2 = 9$.
2. Выполняем умножение: $-4 \cdot (-3) = 12$.
3. Подставляем значения и складываем: $9 + 12 + 1 = 22$.
Ответ: $22$.

При $x = 2 - \sqrt{3}$
Подставим значение $x = 2 - \sqrt{3}$ в многочлен $x^2 - 4x + 1$:
$(2 - \sqrt{3})^2 - 4(2 - \sqrt{3}) + 1$
Раскроем скобки. Для первого слагаемого $(2 - \sqrt{3})^2$ используем формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:
$(2 - \sqrt{3})^2 = 2^2 - 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 4 - 4\sqrt{3} + 3 = 7 - 4\sqrt{3}$.
Раскроем вторые скобки, умножая $-4$ на каждый член в скобках:
$-4(2 - \sqrt{3}) = -8 + 4\sqrt{3}$.
Теперь подставим раскрытые выражения в исходное уравнение:
$(7 - 4\sqrt{3}) + (-8 + 4\sqrt{3}) + 1$
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$7 - 4\sqrt{3} - 8 + 4\sqrt{3} + 1 = (7 - 8 + 1) + (-4\sqrt{3} + 4\sqrt{3}) = 0 + 0 = 0$.
Ответ: $0$.

880. Решите уравнение:

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{8x^2-3}{5}-\frac{5-9x^2}{4}=2 /·20 \\ 4\left(8x^2-3\right)-5\left(5-9x^2\right)=40 \\ 32x^2-12-25+45x^2=40 \\ 77x^2-37=40 \\ 77x^2=40+37 \\ 77x^2=77 \\ {x}^2=1 \\ x=\pm 1 \end{gathered}$$

Ответ: -1; 1

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б)}}\mathbf{ }\frac{2}{x^2-x+1}-\frac{1}{x+1}=\frac{2x-1}{x^3+1} \\ \frac{2}{x^2-x+1}-\frac{1}{x+1}=\frac{2x-1}{\left(x+1\right)\left(x^2-x+1\right)} /x^3+1 \\ 2\left(x+1\right)-\left(x^2-x+1\right)=2x-1 \\ 2x+2-x^2+x-1-2x+1=0 \\ -x^2+x+2=0 \\ D=1^2-4·\left(-1\right)·2=1+8=9 \\ x=\frac{-1\pm \sqrt{9}}{-2}; x=\frac{-1\pm 3}{-2} \\ {x}_1=-1; x_2=2 \end{gathered}$$

Если x=-1, то $x^3+1={\left(-1\right)}^3+1=-1+1=0,$

если x=2, то x³+1=2³+1=9≠0

Ответ: 2

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}\frac{10}{x^2-4}-\frac{3}{2x-4}=\frac{1}{2} \\ \frac{10}{(x-2)(x+2)}-\frac{3}{2(x-2)}=\frac{1}{2} /·2(x-2)(x+2) \\ 10·2-3(x+2)=(x-2)(x+2) \\ 20-3x-6=x^2-4 \\ 14-3x=x^2-4 \\ {x}^2+3x-4-14=0 \\ {x}^2+3x-18=0 \\ D=3^2-4·1·\left(-18\right)=9+72=81 \\ x=\frac{-3\pm \sqrt{81}}{2}; x=\frac{-3\pm 9}{2} \\ {x}_1=3; x_2=-6 \end{gathered}$$

Если x=3, то x²-4=3²-4=5≠0,

если x=-6, то x²-4=(-6)²-4=32≠0

Ответ: -6; 3

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г) }}x-\frac{x^2-17}{x-3}=\frac{5}{x} \mathrm{/}·x\left(x-3\right) \\ x·x\left(x-3\right)-\left(x^2-17\right)x=5\left(x-3\right) \\ {x}^3-3x^2-x^3+17x=5x-15 \\ -3x^2+17x-5x+15=0 \\ -3x^2+12x+15=0 \mathrm{/}:\left(-3\right) \\ {x}^2-4x-5=0 \\ D={\left(-4\right)}^2-4·1·\left(-5\right)=16+20=36 \\ x=\frac{4\pm \sqrt{36}}{2}; x=\frac{4\pm 6}{2} \\ {x}_1=5; x_2=-1 \end{gathered}$$

Если x=5, то $x\left(x-3\right)=5\left(5-3\right)=10\mathrm{\ne }0x(x\; -\; 3)\; =\; 5(5\; -\; 3)\; =\; 10\; \ne \; 0$,

если x=-1, то $x\left(x-3\right)=-1\left(-1-3\right)=-1\left(-4\right)=4\mathrm{\ne }0x(x\; -\; 3)\; =\; -1(-1\; -\; 3)\; =\; -1(-4)\; =\; 4\; \ne \; 0$

Ответ: -1; 5

а) $\frac{8x^2-3}{5} - \frac{5-9x^2}{4} = 2$

Для решения данного уравнения необходимо избавиться от дробных коэффициентов. Для этого умножим обе части уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей 5 и 4, которое равно 20.

$20 \cdot \left(\frac{8x^2-3}{5} - \frac{5-9x^2}{4}\right) = 20 \cdot 2$

$4(8x^2-3) - 5(5-9x^2) = 40$

Раскроем скобки в левой части уравнения:

$32x^2 - 12 - 25 + 45x^2 = 40$

Приведем подобные слагаемые:

$(32+45)x^2 - (12+25) = 40$

$77x^2 - 37 = 40$

Перенесем свободный член в правую часть:

$77x^2 = 40 + 37$

$77x^2 = 77$

Разделим обе части на 77:

$x^2 = 1$

Из этого следует, что уравнение имеет два корня:

$x_1 = 1$, $x_2 = -1$

Ответ: $x_1 = -1, x_2 = 1$.

б) $\frac{2}{x^2-x+1} - \frac{1}{x+1} = \frac{2x-1}{x^3+1}$

Вначале определим область допустимых значений (ОДЗ) переменной $x$. Знаменатели дробей не могут быть равны нулю.

1. $x^2-x+1 \neq 0$. Дискриминант этого квадратного трехчлена $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3$. Так как $D < 0$ и коэффициент при $x^2$ положителен, выражение $x^2-x+1$ всегда больше нуля.

2. $x+1 \neq 0 \implies x \neq -1$.

3. Заметим, что $x^3+1$ является суммой кубов и раскладывается на множители: $x^3+1 = (x+1)(x^2-x+1)$. Таким образом, условие $x^3+1 \neq 0$ эквивалентно условиям $x+1 \neq 0$ и $x^2-x+1 \neq 0$.

ОДЗ: $x \neq -1$.

Перепишем уравнение, используя разложение знаменателя:

$\frac{2}{x^2-x+1} - \frac{1}{x+1} = \frac{2x-1}{(x+1)(x^2-x+1)}$

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $(x+1)(x^2-x+1)$ при условии, что $x \neq -1$:

$2(x+1) - 1(x^2-x+1) = 2x-1$

Раскроем скобки:

$2x + 2 - x^2 + x - 1 = 2x - 1$

Приведем подобные слагаемые:

$-x^2 + 3x + 1 = 2x - 1$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 - 3x - 1 + 2x - 1 = 0$

$x^2 - x - 2 = 0$

Решим это уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 1, а произведение равно -2. Отсюда находим корни:

$x_1 = 2$, $x_2 = -1$

Проверим, удовлетворяют ли найденные корни ОДЗ ($x \neq -1$).

Корень $x_1 = 2$ удовлетворяет ОДЗ.

Корень $x_2 = -1$ не удовлетворяет ОДЗ, поэтому является посторонним корнем.

Ответ: $x=2$.

в) $\frac{10}{x^2-4} - \frac{3}{2x-4} = \frac{1}{2}$

Найдем ОДЗ. Знаменатели не должны быть равны нулю:

1. $x^2-4 \neq 0 \implies (x-2)(x+2) \neq 0 \implies x \neq 2$ и $x \neq -2$.

2. $2x-4 \neq 0 \implies 2(x-2) \neq 0 \implies x \neq 2$.

ОДЗ: $x \neq 2$ и $x \neq -2$.

Разложим знаменатели на множители и приведем дроби к общему знаменателю:

$\frac{10}{(x-2)(x+2)} - \frac{3}{2(x-2)} = \frac{1}{2}$

Общий знаменатель $2(x-2)(x+2)$. Умножим обе части уравнения на него:

$10 \cdot 2 - 3 \cdot (x+2) = 1 \cdot (x-2)(x+2)$

Раскроем скобки:

$20 - 3x - 6 = x^2 - 4$

Упростим левую часть:

$14 - 3x = x^2 - 4$

Перенесем все члены в правую часть:

$0 = x^2 + 3x - 4 - 14$

$x^2 + 3x - 18 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна -3, а произведение -18. Подходят числа -6 и 3.

$x_1 = -6$, $x_2 = 3$

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x \neq 2, x \neq -2$).

Ответ: $x_1 = -6, x_2 = 3$.

г) $x - \frac{x^2-17}{x-3} = \frac{5}{x}$

Найдем ОДЗ уравнения. Знаменатели не должны быть равны нулю:

1. $x-3 \neq 0 \implies x \neq 3$.

2. $x \neq 0$.

ОДЗ: $x \neq 0$ и $x \neq 3$.

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $x(x-3)$:

$x \cdot x(x-3) - (x^2-17) \cdot x = 5 \cdot (x-3)$

Раскроем скобки:

$x^2(x-3) - x^3 + 17x = 5x - 15$

$x^3 - 3x^2 - x^3 + 17x = 5x - 15$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$-3x^2 + 17x = 5x - 15$

Перенесем все члены в левую часть и приведем к стандартному виду квадратного уравнения:

$-3x^2 + 17x - 5x + 15 = 0$

$-3x^2 + 12x + 15 = 0$

Разделим обе части на -3 для упрощения:

$x^2 - 4x - 5 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 4, а произведение -5. Это корни:

$x_1 = 5$, $x_2 = -1$

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x \neq 0, x \neq 3$).

Ответ: $x_1 = -1, x_2 = 5$.