Страница 190 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

854. Что больше: a³ + b³ или ab(a + b), если а и b — неравные положительные числа?

$$\begin{gathered} a>0, b>0, a\ne b \\ \left(a^3+b^3\right)-ab\left(a+b\right)=a^3+b^3-a^{2}b-a{b}^2= \\ =\left(a^3-a^{2}b\right)-\left(a{b}^2-b^3\right)=a^2\left(a-b\right)-b^2\left(a-b\right)= \\ =\left(a^2-b^2\right)\left(a-b\right)=\left(a-b\right)\left(a+b\right)\left(a-b\right)= \\ ={\left(a-b\right)}^2\left(a+b\right) \end{gathered}$$

Т.к. $a>0a>0$, $b>0b>0$, то $a+b>0a+b>0$

Т.к. $a\mathrm{\ne }ba\; \backslash neq\; b$, то ${\left(a-b\right)}^2>0$

Значит, ${\left(a-b\right)}^2\left(a+b\right)>0$

Следовательно, $a^3+b^3>ab\left(a+b\right)a^\{3\}+b^\{3\}>\; ab(a+b)$

Ответ: $a^3+b^{3}a^\{3\}+b^\{3\}$

Чтобы определить, какое из выражений больше, найдем их разность и определим ее знак. Сравним $a^3 + b^3$ и $ab(a + b)$.

Рассмотрим разность: $(a^3 + b^3) - ab(a + b)$.

Воспользуемся формулой сокращенного умножения для суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$.

Подставим это выражение в нашу разность:

$(a + b)(a^2 - ab + b^2) - ab(a + b)$

Вынесем общий множитель $(a + b)$ за скобки:

$(a + b)((a^2 - ab + b^2) - ab) = (a + b)(a^2 - 2ab + b^2)$

Выражение во второй скобке является формулой квадрата разности: $a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$.

Таким образом, исходная разность равна:

$(a + b)(a - b)^2$

Теперь проанализируем знак этого выражения, исходя из условий задачи:

1. По условию, $a$ и $b$ — положительные числа ($a > 0, b > 0$), следовательно, их сумма $(a + b)$ всегда будет положительной: $(a + b) > 0$.

2. По условию, $a$ и $b$ — неравные числа ($a \neq b$), следовательно, их разность $(a - b)$ не равна нулю. Квадрат любого ненулевого числа всегда положителен, поэтому $(a - b)^2 > 0$.

Произведение двух положительных чисел ($(a + b)$ и $(a - b)^2$) также является положительным числом. Значит, $(a + b)(a - b)^2 > 0$.

Поскольку разность $(a^3 + b^3) - ab(a + b)$ строго больше нуля, то первое выражение больше второго.

Ответ: $a^3 + b^3 > ab(a + b)$.

855. К каждому из чисел 0, 1, 2, 3 прибавили одно и то же число k. Сравните произведение крайних членов получившейся последовательности чисел с произведением средних её членов.

$$\begin{gathered} 0+k; 1+k; 2+k; 3+k \\ \left(0+k\right)·\left(3+k\right)<\left(1+k\right)\left(2+k\right) \end{gathered}$$

Составим разность:

$$\begin{gathered} k\left(3+k\right)-\left(1+k\right)\left(2+k\right)=3k+k^2-\left(2+k+2k+k^2\right)= \\ =3k+k^2-2-3k-k^2=-2<0 \end{gathered}$$

Значит, произведение крайних членов последовательности меньше произведения её средних членов.

Согласно условию, к каждому из чисел 0, 1, 2, 3 прибавляется одно и то же число $k$. В результате получаем новую последовательность чисел:

$0+k, \quad 1+k, \quad 2+k, \quad 3+k$

или, что то же самое:

$k, \quad k+1, \quad k+2, \quad k+3$

В этой последовательности крайними членами являются первое и последнее числа ($k$ и $k+3$), а средними членами — второе и третье ($k+1$ и $k+2$).

Найдем произведение крайних членов. Обозначим его $P_{крайних}$:

$P_{крайних} = k \cdot (k+3) = k^2 + 3k$

Теперь найдем произведение средних членов. Обозначим его $P_{средних}$:

$P_{средних} = (k+1) \cdot (k+2) = k^2 + 2k + k + 2 = k^2 + 3k + 2$

Для того чтобы сравнить эти два произведения, найдем их разность:

$P_{средних} - P_{крайних} = (k^2 + 3k + 2) - (k^2 + 3k) = k^2 + 3k + 2 - k^2 - 3k = 2$

Разность между произведением средних членов и произведением крайних членов является положительным числом (равна 2). Это означает, что произведение средних членов всегда больше произведения крайних членов, независимо от значения $k$.

Ответ: Произведение средних членов получившейся последовательности на 2 больше, чем произведение её крайних членов.

856. Одноклассники Коля и Миша вышли одновременно из посёлка на станцию. Коля шёл со скоростью 5 км/ч, а Миша первую половину пути шёл со скоростью, на 0,5 км/ч большей, чем Коля, а вторую половину пути — со скоростью, на 0,5 км/ч меньшей, чем Коля. Кто из них первым пришёл на станцию?

Примем путь от посёлка до станции за 1. Тогда $\frac{1}{5}\backslash frac\{1\}\{5\}$ч - время, которое потратил Коля на этот путь. Зная, что Миша первую половину пути шёл со скоростью 5+0,5=5,5(ч), а вторую половину пути - со скоростью 5-0,5=4,5(ч) найдём время, которое потратил Миша на путь от посёлка до станции -

$\frac{{\displaystyle \frac{1}{2}}}{5,5}+\frac{{\displaystyle \frac{1}{2}}}{4,5}=\frac{1}{11}+\frac{1}{9}=\frac{9+11}{99}=\frac{20}{99}\left(\text{ч}\right)$

Сравним время Коли и Миши.

Для этого составим разность:

$\frac{1}{5}-\frac{20}{99}=\frac{99-100}{5·99}=-\frac{1}{5·99}<0; \frac{1}{5}<\frac{20}{99}$

Значит, Коля потратил меньше времени.

Ответ: Коля

Чтобы определить, кто из одноклассников пришёл на станцию первым, необходимо сравнить время, которое каждый из них затратил на путь.

Введём переменную $S$ для обозначения всего расстояния от посёлка до станции в километрах.

Расчёт времени Коли

Коля шёл весь путь с постоянной скоростью $v_К = 5$ км/ч. Время, которое он затратил, вычисляется по формуле: $t_К = \frac{\text{расстояние}}{\text{скорость}} = \frac{S}{v_К} = \frac{S}{5}$ часов.

Расчёт времени Миши

Путь Миши делится на две равные части, каждая длиной $\frac{S}{2}$ км.

Скорость на первой половине пути была на 0,5 км/ч больше скорости Коли: $v_{М1} = 5 + 0,5 = 5,5$ км/ч. Время на этом участке: $t_{М1} = \frac{S/2}{v_{М1}} = \frac{S/2}{5,5} = \frac{S}{11}$ часов.

Скорость на второй половине пути была на 0,5 км/ч меньше скорости Коли: $v_{М2} = 5 - 0,5 = 4,5$ км/ч. Время на этом участке: $t_{М2} = \frac{S/2}{v_{М2}} = \frac{S/2}{4,5} = \frac{S}{9}$ часов.

Общее время Миши в пути равно сумме времён на двух участках: $t_М = t_{М1} + t_{М2} = \frac{S}{11} + \frac{S}{9}$ часов.

Сравнение времени

Вычислим общее время Миши, приведя дроби к общему знаменателю: $t_М = \frac{9S}{99} + \frac{11S}{99} = \frac{20S}{99}$ часов.

Теперь сравним время Коли ($t_К = \frac{S}{5}$) и время Миши ($t_М = \frac{20S}{99}$). Поскольку расстояние $S$ одинаково для обоих и является положительным числом, нам достаточно сравнить дроби $\frac{1}{5}$ и $\frac{20}{99}$.

Приведём дроби к общему знаменателю $5 \times 99 = 495$: $\frac{1}{5} = \frac{1 \cdot 99}{5 \cdot 99} = \frac{99}{495}$ $\frac{20}{99} = \frac{20 \cdot 5}{99 \cdot 5} = \frac{100}{495}$

Так как $\frac{99}{495} < \frac{100}{495}$, то и время Коли меньше времени Миши: $t_К < t_М$.

Это значит, что Коля затратил на путь меньше времени и, следовательно, пришёл на станцию первым.

Ответ: Коля пришёл на станцию первым.

857. Найдите значение дроби x² - 6x + 3x + 2 при x = –13.

$\frac{x^2-6x+3}{x+2}=\frac{x^2-2·3x+3^2-3^2+3}{x+2}=\frac{{\left(x-3\right)}^2-6}{x+2}$ при $x=-\frac{1}{3}$

$$\begin{gathered} \frac{{\left(\frac{1}{3}-3\right)}^2-6}{-\frac{1}{3}+2}=\frac{{\left(\frac{-10}{3}\right)}^2-6}{\frac{5}{3}}=\frac{\frac{100}{9}-6}{\frac{5}{3}}= \\ =\frac{100-54}{9}:\frac{5}{3}=\frac{46·3}{9·5}=\frac{46}{3·5}=\frac{46}{15}=3\frac{1}{15} \end{gathered}$$

Чтобы найти значение дроби $\frac{x^2 - 6x + 3}{x + 2}$ при $x = -\frac{1}{3}$, нужно подставить это значение $x$ в выражение и выполнить вычисления.

Подставим $x = -\frac{1}{3}$ в данное выражение:
$\frac{(-\frac{1}{3})^2 - 6 \cdot (-\frac{1}{3}) + 3}{-\frac{1}{3} + 2}$

Вычислим значение числителя:
$(-\frac{1}{3})^2 - 6 \cdot (-\frac{1}{3}) + 3 = \frac{1}{9} + \frac{6}{3} + 3 = \frac{1}{9} + 2 + 3 = \frac{1}{9} + 5$
Приведем слагаемые к общему знаменателю 9:
$\frac{1}{9} + \frac{5 \cdot 9}{9} = \frac{1}{9} + \frac{45}{9} = \frac{46}{9}$

Вычислим значение знаменателя:
$-\frac{1}{3} + 2 = -\frac{1}{3} + \frac{6}{3} = \frac{5}{3}$

Теперь разделим значение числителя на значение знаменателя:
$\frac{\frac{46}{9}}{\frac{5}{3}} = \frac{46}{9} \cdot \frac{3}{5}$
Сократим 9 и 3 на 3:
$\frac{46}{3} \cdot \frac{1}{5} = \frac{46}{15}$

Полученную неправильную дробь можно представить в виде смешанного числа:
$\frac{46}{15} = 3 \frac{1}{15}$

Ответ: $\frac{46}{15}$

858. Сократите дробь:

a) $\frac{x^2-10x+25}{35-7x}=\frac{{\left(x-5\right)}^2}{7\left(5-x\right)}=\frac{{\left(5-x\right)}^2}{7\left(5-x\right)}=\frac{5-x}{7}$

б) $\frac{4x^2-12x+9}{{\left(3-2x\right)}^2}=\frac{{\left(2x-3\right)}^2}{{\left(2x-3\right)}^2}=1$

а)

Чтобы сократить дробь $\frac{x^2 - 10x + 25}{35 - 7x}$, нужно разложить на множители ее числитель и знаменатель.

1. Числитель $x^2 - 10x + 25$ представляет собой полный квадрат разности. Применим формулу сокращенного умножения $a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$. В нашем случае $a = x$ и $b = 5$. Таким образом, числитель равен $(x - 5)^2$.

2. В знаменателе $35 - 7x$ вынесем общий множитель 7 за скобки: $7(5 - x)$.

3. Подставим полученные выражения обратно в дробь:

$\frac{(x - 5)^2}{7(5 - x)}$

4. Заметим, что выражения $(x - 5)$ и $(5 - x)$ противоположны, то есть $(5 - x) = -(x - 5)$. Перепишем дробь, заменив знаменатель:

$\frac{(x - 5)^2}{-7(x - 5)}$

5. Теперь можно сократить дробь на общий множитель $(x - 5)$ (при условии $x \neq 5$):

$\frac{x - 5}{-7} = -\frac{x - 5}{7} = \frac{5 - x}{7}$

Ответ: $\frac{5 - x}{7}$.

б)

Чтобы сократить дробь $\frac{4x^2 - 12x + 9}{(3 - 2x)^2}$, также разложим числитель на множители.

1. Числитель $4x^2 - 12x + 9$ является полным квадратом разности. Используем формулу $a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$. Здесь $a = 2x$ (т.к. $a^2 = (2x)^2 = 4x^2$) и $b = 3$ (т.к. $b^2 = 3^2 = 9$). Проверим средний член: $-2ab = -2 \cdot (2x) \cdot 3 = -12x$, что совпадает с выражением в числителе. Значит, числитель равен $(2x - 3)^2$.

2. Запишем дробь в новом виде:

$\frac{(2x - 3)^2}{(3 - 2x)^2}$

3. Воспользуемся свойством $(a - b)^2 = (b - a)^2$. Это верно, так как $(a - b)^2 = ((-1)(b - a))^2 = (-1)^2(b - a)^2 = (b - a)^2$.

Следовательно, $(2x - 3)^2 = (3 - 2x)^2$.

4. Числитель и знаменатель дроби равны. Сокращаем дробь (при условии $3-2x \neq 0$, то есть $x \neq \frac{3}{2}$):

$\frac{(3 - 2x)^2}{(3 - 2x)^2} = 1$

Ответ: 1.

859. Решите уравнение:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}\frac{5}{x}=2-\frac{3}{x-2}\mathrm{/}·x\left(x-2\right) \\ 5\left(x-2\right)=2x\left(x-2\right)-3x \\ 5x-10=2x^2-4x-3x \\ 2x^2-7x-5x+10=0 \\ 2x^2-12x+10=0\mathrm{/}:2 \\ {x}^2-6x+5=0 \\ D={\left(-6\right)}^2-4·1·5=36-20=16 \\ x=\frac{6\pm \sqrt{16}}{2}; x=\frac{6\pm 4}{2} \\ {x}_1=5; x_2=1 \end{gathered}$$

Если $x=5x=5$, то $x\left(x-2\right)=5·\left(5-2\right)=15\mathrm{\ne }0x(x-2)\; =\; 5\; \backslash cdot\; (5-2)\; =\; 15\; \backslash neq\; 0$,

если $x=1x=1$, то $x\left(x-2\right)=1·\left(1-2\right)=-1\mathrm{\ne }0x(x-2)\; =\; 1\; \backslash cdot\; (1-2)\; =\; -1\; \backslash neq\; 0$

Ответ: 1; 5

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}\frac{3}{2x-1}=5x-9\mathrm{/}·\left(2x-1\right) \\ 3=\left(5x-9\right)\left(2x-1\right) \\ 10x^2-5x-18x+9-3=0 \\ 10x^2-23x+6=0 \\ D={\left(-23\right)}^2-4·10·6=529-240=289 \\ x=\frac{23\pm \sqrt{289}}{20};x=\frac{23\pm 17}{20} \\ {x}_1=2;x_2=\frac{6}{20}=\frac{3}{10}=0,3 \end{gathered}$$

Если $x=2x\; =\; 2$, то $2x-1=2·2-1=3\mathrm{\ne }02x-1\; =\; 2\; \backslash cdot\; 2\; -\; 1\; =\; 3\; \backslash neq\; 0$,

если $x=0,3$, то $2x-1=2·0,3-1=-0,4\ne 0$

Ответ: 0,3; 2

а) $ \frac{5}{x} = 2 - \frac{3}{x-2} $

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели дробей не могут быть равны нулю, поэтому $x \neq 0$ и $x - 2 \neq 0$, откуда $x \neq 2$.

Для решения уравнения приведем все его члены к общему знаменателю $x(x-2)$. Для этого умножим обе части уравнения на $x(x-2)$:

$ \frac{5}{x} \cdot x(x-2) = 2 \cdot x(x-2) - \frac{3}{x-2} \cdot x(x-2) $

$ 5(x-2) = 2x(x-2) - 3x $

Раскроем скобки:

$ 5x - 10 = 2x^2 - 4x - 3x $

Приведем подобные слагаемые:

$ 5x - 10 = 2x^2 - 7x $

Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить квадратное уравнение вида $ax^2+bx+c=0$:

$ 0 = 2x^2 - 7x - 5x + 10 $

$ 2x^2 - 12x + 10 = 0 $

Разделим все уравнение на 2 для упрощения:

$ x^2 - 6x + 5 = 0 $

Решим полученное квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета. Сумма корней равна 6, а их произведение равно 5. Отсюда корни:

$ x_1 = 1 $

$ x_2 = 5 $

Также можно найти корни через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$ D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 36 - 20 = 16 $

$ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{6 \pm 4}{2} $

$ x_1 = \frac{6+4}{2} = 5 $

$ x_2 = \frac{6-4}{2} = 1 $

Оба найденных корня, 1 и 5, удовлетворяют ОДЗ ($x \neq 0$ и $x \neq 2$).

Ответ: 1; 5.

б) $ \frac{3}{2x-1} = 5x - 9 $

Определим ОДЗ: знаменатель не должен быть равен нулю, следовательно, $2x-1 \neq 0$, откуда $x \neq \frac{1}{2}$.

Умножим обе части уравнения на знаменатель $(2x-1)$, чтобы избавиться от дроби:

$ 3 = (5x-9)(2x-1) $

Раскроем скобки в правой части уравнения:

$ 3 = 10x^2 - 5x - 18x + 9 $

Приведем подобные слагаемые:

$ 3 = 10x^2 - 23x + 9 $

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$ 10x^2 - 23x + 9 - 3 = 0 $

$ 10x^2 - 23x + 6 = 0 $

Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$ D = (-23)^2 - 4 \cdot 10 \cdot 6 = 529 - 240 = 289 $

Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня. Найдем их:

$ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{23 \pm \sqrt{289}}{2 \cdot 10} = \frac{23 \pm 17}{20} $

$ x_1 = \frac{23+17}{20} = \frac{40}{20} = 2 $

$ x_2 = \frac{23-17}{20} = \frac{6}{20} = \frac{3}{10} = 0,3 $

Оба корня, 2 и 0,3, не равны $\frac{1}{2}$ (0,5), поэтому они удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: 0,3; 2.