Страница 183 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

821. Мотоциклист проехал расстояние от пункта М до пункта N за 5 ч. На обратном пути он первые 36 км ехал с той же скоростью, а остальную часть пути — со скоростью, на 3 км/ч большей. С какой скоростью ехал мотоциклист первоначально, если на обратный путь он затратил на 15 мин меньше, чем на путь из пункта М в пункт N?

Пусть x км/ч - первоначальная скорость мотоциклиста, тогда расстояние от M до N, которое он проехал за 5ч, равно 5x км.

Зная, что на обратном пути первые 36км он ехал со скоростью x км/ч, а остальную часть (5x-36)км - со скоростью (x+3)км/ч, потратив на обратный путь на 15 мин меньше, составим и решим уравнение

$$\begin{gathered} \frac{36}{x}+\frac{5x-36}{x+3}+\frac{15}{60}=5 \\ \frac{36}{x}+\frac{5x-36}{x+3}+\frac{1}{4}=5 \mathrm{/}·4x\left(x+3\right) \\ 36·4\left(x+3\right)+\left(5x-36\right)·4x+x\left(x+3\right)=5·4x\left(x+3\right) \\ 144x+432+20x^2-144x+x^2+3x=20x^2+60x \\ {x}^2+3x-60x+432=0 \\ {x}^2-57x+432=0 \\ D={\left(-57\right)}^2-4·1·432=3249-1728=1521 \\ x=\frac{57\pm \sqrt{1521}}{2}; x=\frac{57\pm 39}{2} \\ {x}_1=48; x_2=9 \end{gathered}$$

Если x=48, то x(x+3)=48*(48+3)≠0,

если х=9, то x(x+3)=9(9+3)≠0

Ответ: 9 км/ч или 48 км/ч

Пусть $v$ (км/ч) — первоначальная скорость мотоциклиста.
Мотоциклист проехал расстояние от пункта $M$ до пункта $N$ за 5 часов. Следовательно, это расстояние $S$ можно выразить через скорость:$S = 5v$ км.

На обратный путь мотоциклист затратил на 15 минут меньше. Переведем 15 минут в часы: $15 \text{ мин} = \frac{15}{60} \text{ ч} = \frac{1}{4} \text{ ч} = 0.25 \text{ ч}$.
Время, затраченное на обратный путь, составляет:$t_{обратно} = 5 \text{ ч} - 0.25 \text{ ч} = 4.75 \text{ ч} = \frac{19}{4}$ ч.

Обратный путь состоял из двух участков:
1. Первый участок: расстояние $S_1 = 36$ км, скорость была такой же, то есть $v_1 = v$ км/ч.
Время, затраченное на этот участок: $t_1 = \frac{S_1}{v_1} = \frac{36}{v}$ ч.
2. Второй (оставшийся) участок: расстояние $S_2 = S - S_1 = 5v - 36$ км. Скорость на этом участке была на 3 км/ч больше, то есть $v_2 = v + 3$ км/ч.
Время, затраченное на этот участок: $t_2 = \frac{S_2}{v_2} = \frac{5v - 36}{v + 3}$ ч.

Общее время на обратный путь равно сумме времени, затраченного на оба участка:$t_{обратно} = t_1 + t_2$.
Подставим известные выражения и составим уравнение:$\frac{36}{v} + \frac{5v - 36}{v + 3} = \frac{19}{4}$.

Для решения уравнения приведем дроби в левой части к общему знаменателю $v(v + 3)$:$\frac{36(v + 3) + v(5v - 36)}{v(v + 3)} = \frac{19}{4}$

Раскроем скобки в числителе:$\frac{36v + 108 + 5v^2 - 36v}{v^2 + 3v} = \frac{19}{4}$

Упростим числитель:$\frac{5v^2 + 108}{v^2 + 3v} = \frac{19}{4}$

Теперь воспользуемся свойством пропорции («крест-накрест»):$4(5v^2 + 108) = 19(v^2 + 3v)$

$20v^2 + 432 = 19v^2 + 57v$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:$20v^2 - 19v^2 - 57v + 432 = 0$
$v^2 - 57v + 432 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:$D = (-57)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 432 = 3249 - 1728 = 1521$.
Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{1521} = 39$.

Найдем два возможных значения для скорости $v$:
$v_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{57 + 39}{2} = \frac{96}{2} = 48$.
$v_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{57 - 39}{2} = \frac{18}{2} = 9$.

Оба найденных корня являются положительными. Необходимо проверить, имеют ли они физический смысл в контексте задачи. Так как мотоциклист проехал 36 км на обратном пути, общее расстояние $S$ должно быть не меньше 36 км.$S = 5v > 36 \implies v > \frac{36}{5} \implies v > 7.2$.Оба решения ($v=48$ и $v=9$) удовлетворяют этому условию. Проверим оба варианта.

Проверка 1: Если $v = 48$ км/ч.
Расстояние $S = 5 \cdot 48 = 240$ км.
Время на обратном пути: $\frac{36}{48} + \frac{240 - 36}{48 + 3} = \frac{3}{4} + \frac{204}{51} = 0.75 + 4 = 4.75$ ч.
Разница во времени: $5 - 4.75 = 0.25$ ч, что равно 15 минутам. Это решение подходит.

Проверка 2: Если $v = 9$ км/ч.
Расстояние $S = 5 \cdot 9 = 45$ км.
Время на обратном пути: $\frac{36}{9} + \frac{45 - 36}{9 + 3} = 4 + \frac{9}{12} = 4 + 0.75 = 4.75$ ч.
Разница во времени: $5 - 4.75 = 0.25$ ч, что равно 15 минутам. Это решение также подходит.

Таким образом, задача имеет два математически верных решения.

Ответ: 9 км/ч или 48 км/ч.

822. Отец и сын прошли 240 м, при этом отец сделал на 100 шагов меньше, чем сын. Найдите длину шага каждого из них, если шаг отца длиннее шага сына на 20 см.

Пусть х м - длина шага сына, тогда (x+0,2)м - длина шали отца. Зная, что отец и сын прошли 240м, при этом отец сделал на 100 шагов меньше, составим и решим уравнение:

$$\begin{gathered} \frac{240}{x}-\frac{240}{x+0,2}+100 /·x\left(x+0,2\right) \\ 240\left(x+0,2\right)=240·x+100x\left(x+0,2\right) \\ 240x+48=240x+100x^2+20x \\ 100x^2+20x-48=0 /:4 \\ 25x^2+5x-12=0 \\ D=5^2-4·25·\left(-12\right)=25+1200=1225 \\ x=\frac{-5\pm \sqrt{1225}}{50}; x=\frac{-5\pm 35}{50} \end{gathered}$$

$x_1=\frac{3}{5}; x_2=-\frac{4}{5}$ - не удовлетворяют условно задачи x>0

$\frac{3}{5}=0,6$м - длина шага сына

0,6+0,2=0,8(м) - длина шага отца

0,6м=60см, 0,8м=80см

Ответ: 60см, 80см

Для решения задачи составим систему уравнений. Перед этим переведем все единицы измерения в метры: 20 см = 0.2 м.

1. Введем переменные

Пусть $L_c$ — длина шага сына в метрах, а $N_c$ — количество шагов сына.
Пусть $L_o$ — длина шага отца в метрах, а $N_o$ — количество шагов отца.

2. Сформулируем условия задачи в виде уравнений

Исходя из условий задачи, мы знаем:

1. Общее расстояние, которое они прошли, составляет 240 м. Это означает:
$N_c \cdot L_c = 240$
$N_o \cdot L_o = 240$

2. Отец сделал на 100 шагов меньше, чем сын:
$N_o = N_c - 100$

3. Шаг отца длиннее шага сына на 20 см (0.2 м):
$L_o = L_c + 0.2$

3. Составим и решим уравнение с одной переменной

Выразим количество шагов через длину шага из первого пункта:
$N_c = \frac{240}{L_c}$
$N_o = \frac{240}{L_o}$

Теперь подставим эти выражения, а также выражение для $L_o$, в уравнение для количества шагов ($N_o = N_c - 100$):
$\frac{240}{L_o} = \frac{240}{L_c} - 100$
Подставим $L_o = L_c + 0.2$:
$\frac{240}{L_c + 0.2} = \frac{240}{L_c} - 100$

Мы получили уравнение с одной неизвестной $L_c$. Для удобства решения, обозначим $L_c$ как $x$.
$\frac{240}{x + 0.2} = \frac{240}{x} - 100$

Перенесем члены уравнения:
$100 = \frac{240}{x} - \frac{240}{x + 0.2}$

Приведем дроби в правой части к общему знаменателю:
$100 = \frac{240(x + 0.2) - 240x}{x(x + 0.2)}$
$100 = \frac{240x + 48 - 240x}{x^2 + 0.2x}$
$100 = \frac{48}{x^2 + 0.2x}$

Умножим обе части на знаменатель $x^2 + 0.2x$ (при условии, что $x \neq 0$ и $x \neq -0.2$, что верно, так как длина шага положительна):
$100(x^2 + 0.2x) = 48$
$100x^2 + 20x - 48 = 0$

Мы получили квадратное уравнение. Разделим все его члены на 4 для упрощения:
$25x^2 + 5x - 12 = 0$

Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = 5^2 - 4 \cdot 25 \cdot (-12) = 25 + 1200 = 1225$
$\sqrt{D} = \sqrt{1225} = 35$

Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 + 35}{2 \cdot 25} = \frac{30}{50} = 0.6$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 - 35}{2 \cdot 25} = \frac{-40}{50} = -0.8$

Так как длина шага ($x$) не может быть отрицательной величиной, нам подходит только корень $x_1 = 0.6$.

4. Найдем длину шага каждого

Длина шага сына ($L_c$) равна $0.6$ м, что составляет $60$ см.
Длина шага отца ($L_o$) равна $L_c + 0.2 = 0.6 + 0.2 = 0.8$ м, что составляет $80$ см.

5. Проверка

Количество шагов сына: $N_c = \frac{240 \text{ м}}{0.6 \text{ м}} = 400$ шагов.
Количество шагов отца: $N_o = \frac{240 \text{ м}}{0.8 \text{ м}} = 300$ шагов.
Разница в количестве шагов: $400 - 300 = 100$ шагов. Условие выполняется.
Разница в длине шага: $80 \text{ см} - 60 \text{ см} = 20$ см. Условие выполняется.

Ответ: длина шага отца — 80 см, длина шага сына — 60 см.

823. Первая мастерская должна была сшить 160 костюмов, а вторая за тот же срок — на 25% меньше. Первая мастерская шила в день на 10 костюмов больше, чем вторая, и выполнила задание за 2 дня до намеченного срока. Сколько костюмов в день шила вторая мастерская, если ей для выполнения задания понадобилось дополнительно 2 дня?

1) 160-0,25*160=160-40=120(к.) - сшить должна вторая мастерская

2) Пусть х костюмов в день шила вторая мастерская, тогда x+10 костюмов в день шила первая мастерская. Зная, что первая мастерская выполнила задание за 2 дня до намеченного срока, а второй понадобилось дополнительно 2 дня, составим и решим уравнение:

$$\begin{gathered} \frac{160}{x+10}+2=\frac{120}{x}-2 \\ \frac{120}{x}-\frac{160}{x+10}=4 /·x\left(x+10\right) \\ 120\left(x+10\right)-160x=4x\left(x+10\right) \\ 120x+1200-160x=4x^2+40x \\ 1200-40x=4x^2+40x \\ 4x^2+40x+40x-1200=0 \\ 4x^2+80x-1200=0 /:4 \\ {x}^2+20x-300=0 \\ D=20^2-4·1·\left(-300\right)=400+1200=1600 \\ x=\frac{-20\pm \sqrt{1600}}{2}, x=\frac{-20\pm 40}{2} \end{gathered}$$

$x_1=10; x_2=-30$ - не удовлетворяет условию задачи x>0

Ответ: 10 костюмов

Для решения задачи введем переменные. Пусть $x$ — это количество костюмов, которое в день шила вторая мастерская. Это искомая величина.

Согласно условию, первая мастерская шила в день на 10 костюмов больше, чем вторая. Следовательно, ее производительность составляла $x + 10$ костюмов в день.

Определим плановое количество костюмов для каждой мастерской. Первая мастерская должна была сшить 160 костюмов. Вторая — на 25% меньше.

Количество костюмов для второй мастерской: $160 - 160 \times 0.25 = 160 \times 0.75 = 120$ костюмов.

Пусть $T$ — это намеченный срок выполнения задания в днях.

Первая мастерская выполнила задание за 2 дня до намеченного срока, то есть за $T - 2$ дня. Фактическое время работы второй мастерской составило $T + 2$ дня, так как ей понадобилось дополнительно 2 дня.

Используя формулу "Работа = Производительность ? Время", составим систему уравнений:

Для первой мастерской: $160 = (x + 10)(T - 2)$.

Для второй мастерской: $120 = x(T + 2)$.

Получаем систему:

$\begin{cases} (x + 10)(T - 2) = 160 \\ x(T + 2) = 120 \end{cases}$

Для решения системы выразим $T$ из второго уравнения:

$T + 2 = \frac{120}{x} \implies T = \frac{120}{x} - 2$.

Теперь подставим это выражение для $T$ в первое уравнение:

$(x + 10)\left(\left(\frac{120}{x} - 2\right) - 2\right) = 160$

$(x + 10)\left(\frac{120}{x} - 4\right) = 160$

Раскроем скобки:

$x \cdot \frac{120}{x} - 4x + 10 \cdot \frac{120}{x} - 40 = 160$

$120 - 4x + \frac{1200}{x} - 40 = 160$

$80 - 4x + \frac{1200}{x} = 160$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$80 - 160 - 4x + \frac{1200}{x} = 0$

$-80 - 4x + \frac{1200}{x} = 0$

Умножим обе части на $-x$ (при $x \neq 0$), чтобы избавиться от дроби и отрицательного старшего коэффициента:

$80x + 4x^2 - 1200 = 0$

Приведем к стандартному виду и разделим на 4 для упрощения:

$4x^2 + 80x - 1200 = 0 \quad | :4$

$x^2 + 20x - 300 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 20^2 - 4(1)(-300) = 400 + 1200 = 1600$

Найдем корни:

$x_1 = \frac{-20 + \sqrt{1600}}{2} = \frac{-20 + 40}{2} = 10$

$x_2 = \frac{-20 - \sqrt{1600}}{2} = \frac{-20 - 40}{2} = -30$

Поскольку $x$ представляет собой количество сшитых костюмов в день, это значение не может быть отрицательным. Таким образом, единственное подходящее решение — $x = 10$.

Ответ: 10 костюмов.

824. Бригада рабочих должна была за определённый срок изготовить 768 пылесосов. Первые 5 дней бригада выполняла ежедневно установленную норму, а затем каждый день изготовляла на 6 пылесосов больше, чем намечалось, поэтому уже за день до срока было изготовлено 844 пылесоса. Сколько пылесосов в день должна была изготовлять бригада по плану?

Пусть x пылесосов в день должна была изготовлять бригада по плану, тора $\frac{768}{x}$ дней нужно, чтобы выполнить норму. По условию задачи бригада за 5 дней изготовила 5х пылесосов, и оставшиеся 844-5х пылесоса изготавливала в день по x+6 пылесоса. Поэтому 844 пылесоса изготовила за день до срока.

Составим и решим уравнение:

$$\begin{gathered} \frac{768}{x}=5+\frac{844-5x}{x+6}+1 \\ \frac{768}{x}-\frac{844-5x}{x+6}=6 /·x(x+6) \\ 768\left(x+6\right)-\left(844-5x\right)x=6x\left(x+6\right) \\ 768x+4608-844x+5x^2=6x^2+36x \\ 4608-76x=6x^2-5x^2+36x \\ {x}^2+36x+76x-4608=0 \\ {x}^2+112x-4608=0 \\ {x}^2+2·56x-4608=0 \\ {D}_1=56^2-1\left(-4608\right)=3136+4608=7744 \\ x=\frac{-56\pm \sqrt{7744}}{1}; x=\frac{-56\pm 88}{1} \end{gathered}$$

$x_1=32; x_2=-144$ - не удовлетворяет условию задачи x>0

Ответ: 32 пылесоса

Для решения задачи введем переменные. Пусть $x$ — это плановая дневная норма производства пылесосов (количество пылесосов в день), а $t$ — запланированное количество дней для выполнения работы.

По первоначальному плану бригада должна была изготовить 768 пылесосов. Это можно выразить уравнением:

$x \cdot t = 768$

Из этого уравнения выразим плановое время $t$:

$t = \frac{768}{x}$

Теперь проанализируем фактическое выполнение работы. Первые 5 дней бригада работала с плановой производительностью $x$. Количество пылесосов, изготовленных за эти дни, равно $5x$.

После этого бригада стала изготовлять на 6 пылесосов в день больше, то есть их новая производительность составила $(x + 6)$ пылесосов в день.

Работа была завершена на 1 день раньше срока, то есть общее время работы составило $(t - 1)$ дней. Период работы с повышенной производительностью длился:

$(t - 1) - 5 = t - 6$ дней.

За это время было изготовлено $(t - 6)(x + 6)$ пылесосов.

Всего за $(t - 1)$ дней было изготовлено 844 пылесоса. Составим второе уравнение, суммируя объемы работы за два периода:

$5x + (t - 6)(x + 6) = 844$

Подставим в это уравнение выражение для $t$ из первого уравнения ($t = \frac{768}{x}$):

$5x + \left(\frac{768}{x} - 6\right)(x + 6) = 844$

Теперь решим это уравнение. Раскроем скобки:

$5x + \frac{768}{x} \cdot x + \frac{768}{x} \cdot 6 - 6 \cdot x - 6 \cdot 6 = 844$

$5x + 768 + \frac{4608}{x} - 6x - 36 = 844$

Упростим выражение, приведя подобные слагаемые:

$-x + 732 + \frac{4608}{x} = 844$

Перенесем слагаемые, чтобы сгруппировать неизвестные:

$\frac{4608}{x} - x = 844 - 732$

$\frac{4608}{x} - x = 112$

Умножим обе части уравнения на $x$ (так как $x$, производительность, не может быть равна нулю):

$4608 - x^2 = 112x$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$:

$x^2 + 112x - 4608 = 0$

Решим квадратное уравнение через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 112^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4608) = 12544 + 18432 = 30976$

Найдем корни уравнения по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$\sqrt{D} = \sqrt{30976} = 176$

$x_1 = \frac{-112 + 176}{2} = \frac{64}{2} = 32$

$x_2 = \frac{-112 - 176}{2} = \frac{-288}{2} = -144$

Поскольку $x$ обозначает количество пылесосов, производимых в день, это значение должно быть положительным. Следовательно, корень $x_2 = -144$ не подходит по смыслу задачи.

Единственное верное решение — $x = 32$.

Ответ: 32 пылесоса.

825. Масса двух сплавов меди и олова равна 60 кг. Первый сплав содержит 6 кг меди, а второй — 3,6 кг меди. Найдите массу каждого сплава, если известно, что содержание меди в первом сплаве на 15% больше, чем во втором.

Пусть x кг - масса первого сплава, тогда (60-x)кг - масса второго сплава. Так как первый сплав содержит 6кг меди, то $\frac{6}{x}·100\mathrm{\%}\backslash frac\{6\}\{x\}\; \backslash cdot\; 100\backslash \%$ меди в сплаве. Так как второй сплав содержит 3,6кг меди, то $\frac{3,6}{60-x}·100\mathrm{\%}$ меди в сплаве. Зная, что в первом сплаве меди на 15% больше, составим и решим уравнение:

$$\begin{gathered} \frac{6}{x}·100-\frac{3,6}{60-x}·100+15 \\ \frac{600}{x}-\frac{360}{60-x}+15 \mathrm{/}·x\left(60-x\right) \\ 600\left(60-x\right)=360x+15x\left(60-x\right) \\ 3600-600x=360x+900x-15x^2 \\ 15x^2-600x-360x-900x+3600=0 \\ 15x^2-1860x+3600=0 \\ {x}^2-124x+2400=0 \\ {x}^2-2,62x+2400=0 \\ {D}_1={\left(-62\right)}^2-1·2400=3844-2400=1444 \\ x=\frac{62\pm \sqrt{1444}}{1}; x=62\pm 38 \\ {x}_1=100; x_2=24 \end{gathered}$$

Если x=100, то x(60-x)=100(60-100)<0, что не удовлетворяет условию задачи 60-24=36(кг) - масса второго сплава

Ответ: 24кг и 36кг

Пусть $m_1$ кг — масса первого сплава, а $m_2$ кг — масса второго сплава.

Согласно условию задачи, общая масса двух сплавов равна 60 кг. Это можно записать в виде первого уравнения:

$m_1 + m_2 = 60$

Концентрация (массовая доля) меди в первом сплаве, который имеет массу $m_1$ и содержит 6 кг меди, определяется как $p_1 = \frac{6}{m_1}$.

Концентрация меди во втором сплаве, который имеет массу $m_2$ и содержит 3,6 кг меди, определяется как $p_2 = \frac{3.6}{m_2}$.

Из условия известно, что содержание меди в первом сплаве на 15% больше, чем во втором. Это означает, что разница их концентраций, выраженных в долях от единицы, составляет 0,15. Составим второе уравнение:

$p_1 - p_2 = 0.15$

Подставим выражения для концентраций в это уравнение:

$\frac{6}{m_1} - \frac{3.6}{m_2} = 0.15$

Таким образом, мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} m_1 + m_2 = 60 \\ \frac{6}{m_1} - \frac{3.6}{m_2} = 0.15 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $m_2$ через $m_1$:

$m_2 = 60 - m_1$

Подставим это выражение во второе уравнение:

$\frac{6}{m_1} - \frac{3.6}{60 - m_1} = 0.15$

Для решения этого уравнения умножим обе его части на общий знаменатель $m_1(60 - m_1)$, при условии, что $m_1 \neq 0$ и $m_1 \neq 60$:

$6(60 - m_1) - 3.6m_1 = 0.15m_1(60 - m_1)$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$360 - 6m_1 - 3.6m_1 = 9m_1 - 0.15m_1^2$

$360 - 9.6m_1 = 9m_1 - 0.15m_1^2$

Перенесем все члены уравнения в левую часть и приведем подобные слагаемые, чтобы получить квадратное уравнение стандартного вида $ax^2 + bx + c = 0$:

$0.15m_1^2 - 9m_1 - 9.6m_1 + 360 = 0$

$0.15m_1^2 - 18.6m_1 + 360 = 0$

Чтобы избавиться от десятичных дробей, умножим обе части уравнения на 100:

$15m_1^2 - 1860m_1 + 36000 = 0$

Для упрощения разделим уравнение на 15:

$m_1^2 - 124m_1 + 2400 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-124)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2400 = 15376 - 9600 = 5776$

Найдем корни уравнения, зная, что $\sqrt{5776} = 76$:

$m_1 = \frac{-(-124) \pm \sqrt{5776}}{2 \cdot 1} = \frac{124 \pm 76}{2}$

Уравнение имеет два корня:

$m_{1,1} = \frac{124 + 76}{2} = \frac{200}{2} = 100$

$m_{1,2} = \frac{124 - 76}{2} = \frac{48}{2} = 24$

Корень $m_1 = 100$ кг не является решением задачи, так как масса одного сплава не может превышать их общую массу (60 кг).

Следовательно, масса первого сплава равна $m_1 = 24$ кг.

Теперь найдем массу второго сплава, используя первое уравнение:

$m_2 = 60 - m_1 = 60 - 24 = 36$ кг.

Проверка:
Концентрация меди в первом сплаве: $p_1 = \frac{6}{24} = 0.25$ (или 25%).
Концентрация меди во втором сплаве: $p_2 = \frac{3.6}{36} = 0.1$ (или 10%).
Разница концентраций: $25\% - 10\% = 15\%$, что соответствует условию.

Ответ: масса первого сплава — 24 кг, масса второго сплава — 36 кг.

826. Сплав меди с цинком, содержащий 6 кг цинка, сплавили с 13 кг цинка. В результате содержание меди в сплаве понизилось на 26%. Какова была первоначальная масса сплава?

Пусть х кг - первоначальная масса сплава, тогда (x-6)кг - масса меди в сплаве и $\frac{x-6}{x}·100\mathrm{\%}\backslash frac\{x-6\}\{x\}\; \backslash cdot\; 100\backslash \%$ содержится меди в сплаве. После того как добавили 13кг цинка, масса сплава равна (x+13)кг и содержание меди в новом сплаве равно $\frac{x-6}{x+13}·100\mathrm{\%}.$ Зная, что содержание меди в сплаве понизилось на 26%, составим и решим уравнение:

$$\begin{gathered} \frac{x-6}{x}·100-\frac{x-6}{x+13}·100=26 \\ 100\left(\frac{x-6}{x}-\frac{x-6}{x+13}\right)=26 \\ \frac{x-6}{x}-\frac{x-6}{x+13}=\frac{26}{100} \\ \frac{x-6}{x}-\frac{x-6}{x+13}=\frac{13}{50}\mathrm{/}·50x\left(x+13\right) \\ 50\left(x-6\right)\left(x+13\right)-50\left(x-6\right)x=13x\left(x+13\right) \\ 50\left(\left(x^2+13x-6x-78\right)-\left(x^2-6x\right)\right)=13x^2+169x \\ 50\left(x^2+7x-78-x^2+6x\right)=13x^2+169x \\ 50\left(13x-78\right)=13x^2+169x \\ 13x^2+169x-650x+3900=0 \\ 13x^2-481x+3900=0 \\ {x}^2-37x+300=0 \\ D={\left(-37\right)}^2-4·1·300=1369-1200=169 \\ x=\frac{37\pm \sqrt{169}}{2}; x=\frac{37\pm 13}{2} \\ {x}_1=25; x_2=12 \end{gathered}$$

Если x=25, то x(x+13)=25(25+13)≠0,

Если x=12, то x(x+13)=12(12+13)≠0

Ответ: 25кг или 12кг

Пусть первоначальная масса меди в сплаве равна $x$ кг. Тогда, учитывая, что в сплаве было 6 кг цинка, первоначальная масса всего сплава составляет $M_1 = x + 6$ кг.

Доля (концентрация) меди в первоначальном сплаве равна: $$ C_1 = \frac{\text{масса меди}}{\text{масса сплава}} = \frac{x}{x+6} $$

После того как к сплаву добавили 13 кг цинка, масса меди осталась прежней ($x$ кг), а масса всего сплава увеличилась. Новая масса сплава: $$ M_2 = (x + 6) + 13 = x + 19 \text{ кг} $$

Новая доля меди в сплаве стала равна: $$ C_2 = \frac{x}{x+19} $$

По условию задачи, содержание меди в сплаве понизилось на 26%. Это означает, что разница между начальной и конечной концентрациями составляет 0,26.

Составление и решение уравнения

На основе условия задачи составим уравнение: $$ C_1 - C_2 = 0.26 $$ $$ \frac{x}{x+6} - \frac{x}{x+19} = 0.26 $$

Для решения уравнения приведем дроби в левой части к общему знаменателю: $$ \frac{x(x+19) - x(x+6)}{(x+6)(x+19)} = 0.26 $$ Упростим числитель: $$ \frac{x^2 + 19x - x^2 - 6x}{x^2 + 25x + 114} = 0.26 $$ $$ \frac{13x}{x^2 + 25x + 114} = 0.26 $$

Заменим десятичную дробь 0,26 на обыкновенную: $0.26 = \frac{26}{100} = \frac{13}{50}$. $$ \frac{13x}{x^2 + 25x + 114} = \frac{13}{50} $$

Так как масса меди $x$ должна быть положительной ($x > 0$), мы можем разделить обе части уравнения на 13: $$ \frac{x}{x^2 + 25x + 114} = \frac{1}{50} $$

Применим правило пропорции (перекрестное умножение): $$ 50x = x^2 + 25x + 114 $$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение: $$ x^2 + 25x - 50x + 114 = 0 $$ $$ x^2 - 25x + 114 = 0 $$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта: $$ D = b^2 - 4ac = (-25)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 114 = 625 - 456 = 169 = 13^2 $$ Корни уравнения: $$ x_{1} = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{25 + 13}{2} = \frac{38}{2} = 19 $$ $$ x_{2} = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{25 - 13}{2} = \frac{12}{2} = 6 $$

Нахождение первоначальной массы сплава

Мы получили два положительных значения для массы меди, $x_1=19$ кг и $x_2=6$ кг. Оба значения являются физически возможными, поэтому задача имеет два решения. Найдем первоначальную массу сплава для каждого случая.

1. Если начальная масса меди была 19 кг:
Первоначальная масса сплава $M_1 = x + 6 = 19 + 6 = 25$ кг.
Проверка: Начальная концентрация меди $C_1 = \frac{19}{25} = 0.76$ (76%). Новая концентрация $C_2 = \frac{19}{19+19} = 0.5$ (50%). Понижение составило $76\% - 50\% = 26\%$.

2. Если начальная масса меди была 6 кг:
Первоначальная масса сплава $M_1 = x + 6 = 6 + 6 = 12$ кг.
Проверка: Начальная концентрация меди $C_1 = \frac{6}{12} = 0.5$ (50%). Новая концентрация $C_2 = \frac{6}{6+19} = \frac{6}{25} = 0.24$ (24%). Понижение составило $50\% - 24\% = 26\%$.

Оба случая удовлетворяют условию задачи.

Ответ: первоначальная масса сплава была 25 кг или 12 кг.

827. За 4 дня совместной работы двумя тракторами было вспахано $\frac{2}{3}$ поля. За сколько дней можно было бы вспахать всё поле каждым трактором, если первым его можно вспахать на 5 дней быстрее, чем вторым?

Пусть за х дней вспахивает поле первый трактор, тогда (х+5) дней пашет поле второй трактор.

Примем всю работу за 1, тогда $\frac{1}{x}\backslash frac\{1\}\{x\}$ - производительность (скорость) первого трактора и $\frac{1}{x+5}\backslash frac\{1\}\{x+5\}$ - производительность (скорость) второго трактора.

Зная, что за 4 дня они вместе вспахали $\frac{2}{3}\backslash frac\{2\}\{3\}$ поля, то их общая производительность (скорость) равна $\frac{2}{3}:4=\frac{2}{3·4}=\frac{1}{6}.$ Составим и решим уравнение:

$$\begin{gathered} \frac{1}{x}+\frac{1}{x+5}=\frac{1}{6} /·6x(x+5) \\ 6\left(x+5\right)+6x=x\left(x+5\right) \\ 6x+30+6x=x^2+5x \\ {x}^2+5x-12x-30=0 \\ {x}^2-7x-30=0 \\ D={\left(-7\right)}^2-4·1·\left(-30\right)=49+120=169 \\ x=\frac{7\pm \sqrt{169}}{2}; x=\frac{7\pm 13}{2} \end{gathered}$$

$x_1=10, x_2=-3$ - не удовлетворяет условию задачи х>0

10+5=15 (дн.) - пашет поле второй трактор

Ответ: 10 и 15 дней

Обозначим всю работу по вспахиванию поля за 1. Пусть второй трактор может вспахать все поле за $x$ дней. Тогда его производительность (часть поля, вспахиваемая за один день) составляет $\frac{1}{x}$ поля/день.

По условию, первый трактор может вспахать поле на 5 дней быстрее, значит, ему потребуется $x-5$ дней. Его производительность составляет $\frac{1}{x-5}$ поля/день. Очевидно, что $x > 5$, так как время работы не может быть отрицательным.

При совместной работе их производительности складываются. Совместная производительность двух тракторов равна $\frac{1}{x-5} + \frac{1}{x}$ поля/день.

Из условия известно, что за 4 дня совместной работы тракторы вспахали $\frac{2}{3}$ поля. Составим уравнение, используя формулу: Работа = Производительность ? Время.

$(\frac{1}{x-5} + \frac{1}{x}) \times 4 = \frac{2}{3}$

Разделим обе части уравнения на 4:

$\frac{1}{x-5} + \frac{1}{x} = \frac{2}{3 \times 4}$

$\frac{1}{x-5} + \frac{1}{x} = \frac{1}{6}$

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $x(x-5)$:

$\frac{x + (x-5)}{x(x-5)} = \frac{1}{6}$

$\frac{2x - 5}{x^2 - 5x} = \frac{1}{6}$

Используем свойство пропорции (перекрестное умножение):

$6(2x - 5) = 1(x^2 - 5x)$

$12x - 30 = x^2 - 5x$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$x^2 - 5x - 12x + 30 = 0$

$x^2 - 17x + 30 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-17)^2 - 4 \times 1 \times 30 = 289 - 120 = 169$

$\sqrt{D} = \sqrt{169} = 13$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{17 + 13}{2} = \frac{30}{2} = 15$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{17 - 13}{2} = \frac{4}{2} = 2$

Теперь проверим оба корня.
1. Если $x = 15$, то время работы второго трактора 15 дней. Время работы первого трактора $x-5 = 15-5 = 10$ дней. Оба значения положительны и удовлетворяют условию $x > 5$. Этот корень подходит.
2. Если $x = 2$, то время работы второго трактора 2 дня. Время работы первого трактора $x-5 = 2-5 = -3$ дня. Время не может быть отрицательной величиной, поэтому этот корень не является решением задачи.

Таким образом, второму трактору для вспахивания всего поля потребуется 15 дней, а первому — 10 дней.

Ответ: первый трактор может вспахать поле за 10 дней, а второй — за 15 дней.

828. Два хлопкоуборочных комбайна могут собрать хлопок с поля на 9 дней быстрее, чем один первый комбайн, и на 4 дня быстрее, чем один второй. За сколько дней каждый комбайн может собрать весь хлопок?

Пусть х дней собирают хлопок с поля два хлопкоуборочных комбайна, тогда х+9 дней понадобится для уборки хлопка первому комбайну и х+4 дней - второму комбайну.

Примем всю работу за 1. Тогда $\frac{1}{x+9}\backslash frac\{1\}\{x+9\}$ - производительность (скорость) первого комбайна, $\frac{1}{x+4}\backslash frac\{1\}\{x+4\}$ - производительность (скорость) второго комбайна, а $\frac{1}{x}\backslash frac\{1\}\{x\}$ - их общая производительность (скорость).

Составим и решим уравнение:

$$\begin{gathered} \frac{1}{x+9}+\frac{1}{x+4}=\frac{1}{x} /·x\left(x+9\right)\left(x+4\right) \\ x\left(x+4\right)+x\left(x+9\right)=\left(x+9\right)\left(x+4\right) \\ {x}^2+4x+x^2+9x=x^2+4x+9x+36 \\ {x}^2=36 \end{gathered}$$

$x\pm 6; x=-6$ - не удовлетворяет условию задачи х>0

6+9=15 (дн.) понадобится первому комбайну

6+4=10 (дн.) понадобится второму комбайну

Ответ: 15 и 10 дней

Для решения этой задачи введем переменные и составим систему уравнений. Пусть вся работа по сбору хлопка с поля равна 1.

• Пусть $t_1$ — время в днях, за которое первый комбайн может собрать весь хлопок, работая в одиночку.

• Пусть $t_2$ — время в днях, за которое второй комбайн может собрать весь хлопок, работая в одиночку.

• Пусть $t_{12}$ — время в днях, за которое два комбайна соберут весь хлопок, работая вместе.

Производительность (скорость работы) каждого комбайна — это величина, обратная времени выполнения всей работы:

• Производительность первого комбайна: $P_1 = \frac{1}{t_1}$ (часть поля в день).

• Производительность второго комбайна: $P_2 = \frac{1}{t_2}$ (часть поля в день).

При совместной работе их производительности складываются: $P_{12} = P_1 + P_2 = \frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2}$.

Время совместной работы равно: $t_{12} = \frac{1}{P_{12}} = \frac{1}{\frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2}}$.

Решение

Теперь используем условия из задачи, чтобы составить уравнения:

1. Два комбайна вместе работают на 9 дней быстрее, чем один первый: $t_{12} = t_1 - 9$.

2. Два комбайна вместе работают на 4 дня быстрее, чем один второй: $t_{12} = t_2 - 4$.

Из этих двух уравнений выразим $t_1$ и $t_2$ через $t_{12}$:

$t_1 = t_{12} + 9$

$t_2 = t_{12} + 4$

Теперь подставим эти выражения в формулу для времени совместной работы. Для удобства обозначим $t_{12}$ как $x$.

$x = \frac{1}{\frac{1}{x+9} + \frac{1}{x+4}}$

Приведем дроби в знаменателе к общему знаменателю:

$x = \frac{1}{\frac{(x+4) + (x+9)}{(x+9)(x+4)}}$

Упростим выражение:

$x = \frac{(x+9)(x+4)}{2x + 13}$

Теперь решим это уравнение. Умножим обе части на $(2x + 13)$:

$x(2x + 13) = (x+9)(x+4)$

$2x^2 + 13x = x^2 + 4x + 9x + 36$

$2x^2 + 13x = x^2 + 13x + 36$

Перенесем все члены в левую часть:

$2x^2 - x^2 + 13x - 13x - 36 = 0$

$x^2 - 36 = 0$

$x^2 = 36$

$x = \pm\sqrt{36}$

Получаем два корня: $x_1 = 6$ и $x_2 = -6$. Поскольку $x$ представляет собой время, оно не может быть отрицательным. Следовательно, $x = 6$ дней.

Это означает, что время совместной работы двух комбайнов $t_{12} = 6$ дней.

Теперь найдем время работы для каждого комбайна в отдельности:

Время работы первого комбайна: $t_1 = x + 9 = 6 + 9 = 15$ дней.

Время работы второго комбайна: $t_2 = x + 4 = 6 + 4 = 10$ дней.

Проверка

Проверим, выполняются ли условия задачи с найденными значениями:

• Первый комбайн работает 15 дней, второй — 10 дней. Время совместной работы — 6 дней.

• Совместная работа (6 дней) на 9 дней быстрее, чем работа первого комбайна (15 дней): $15 - 6 = 9$. Верно.

• Совместная работа (6 дней) на 4 дня быстрее, чем работа второго комбайна (10 дней): $10 - 6 = 4$. Верно.

Все условия соблюдены, решение верное.

Ответ: первый комбайн может собрать весь хлопок за 15 дней, а второй комбайн — за 10 дней.

829. Для наполнения бассейна через первую трубу потребуется на 9 ч больше времени, чем при наполнении через первую и вторую трубы, и на 7 ч меньше, чем через одну вторую трубу. За сколько часов наполнится бассейн через обе трубы?

Пусть за x наполняют бассейн обе трубы, тогда за (x+9)ч может наполнить бассейн первая труба и за (x+9+7)ч - вторая труба.

Примем работу за 1. Тогда $\frac{1}{x+9}\backslash frac\{1\}\{x+9\}$ - производительность (скорость) первой трубы, $\frac{1}{x+9+7}\backslash frac\{1\}\{x+9+7\}$ производительность (скорость) второй трубы и $\frac{1}{x}\backslash frac\{1\}\{x\}$ - их общая производительность (скорость)

Составим и решим уравнение:

$$\begin{gathered} \frac{1}{x+9}+\frac{1}{x+9+7}=\frac{1}{x} \\ \frac{1}{x+9}+\frac{1}{x+16}=\frac{1}{x} /·x\left(x+9\right)\left(x+16\right) \\ x\left(x+16\right)+x\left(x+9\right)=\left(x+9\right)\left(x+16\right) \\ {x}^2+16x+x^2+9x=x^2+16x+9x+144 \\ {x}^2=144 \end{gathered}$$

$x_1=12; x_2=-12$ - не удовлетворяет условию задачи x>0

Ответ: за 12ч

Решение:

Обозначим за $x$ время в часах, за которое бассейн наполнится при одновременной работе двух труб. Это и есть искомая величина.

Пусть $t_1$ — время наполнения бассейна только через первую трубу, а $t_2$ — время наполнения только через вторую трубу.

Из условия задачи известно, что для наполнения через первую трубу требуется на 9 часов больше времени, чем при наполнении через обе трубы вместе. Следовательно, можем записать первое соотношение:

$t_1 = x + 9$

Также известно, что время наполнения через первую трубу на 7 часов меньше, чем через одну вторую трубу. Это означает, что вторая труба наполняет бассейн на 7 часов дольше, чем первая:

$t_2 = t_1 + 7$

Подставим в это равенство выражение для $t_1$, чтобы выразить $t_2$ через $x$:

$t_2 = (x + 9) + 7 = x + 16$

Теперь воспользуемся формулой совместной работы. Производительность (часть работы, выполняемая за единицу времени) обратно пропорциональна времени. Если принять объем всего бассейна за 1, то:

Производительность первой трубы: $P_1 = \frac{1}{t_1} = \frac{1}{x+9}$.

Производительность второй трубы: $P_2 = \frac{1}{t_2} = \frac{1}{x+16}$.

Совместная производительность двух труб: $P_{12} = \frac{1}{x}$.

Совместная производительность равна сумме производительностей каждой трубы: $P_{12} = P_1 + P_2$.

Подставим наши выражения в это уравнение:

$\frac{1}{x} = \frac{1}{x+9} + \frac{1}{x+16}$

Решим полученное уравнение. Для этого приведем дроби в правой части к общему знаменателю $(x+9)(x+16)$:

$\frac{1}{x} = \frac{(x+16) + (x+9)}{(x+9)(x+16)}$

$\frac{1}{x} = \frac{2x+25}{x^2 + 16x + 9x + 144}$

$\frac{1}{x} = \frac{2x+25}{x^2 + 25x + 144}$

Применим основное свойство пропорции (умножим крест-накрест), учитывая, что $x>0$, так как время не может быть отрицательным или нулевым:

$1 \cdot (x^2 + 25x + 144) = x \cdot (2x+25)$

$x^2 + 25x + 144 = 2x^2 + 25x$

Вычтем из обеих частей уравнения слагаемое $25x$:

$x^2 + 144 = 2x^2$

$144 = 2x^2 - x^2$

$x^2 = 144$

Так как $x$ — это время, выбираем только положительное значение корня:

$x = \sqrt{144} = 12$

Следовательно, бассейн наполнится через обе трубы за 12 часов.

Ответ: 12 часов.