Номер 823, страница 183 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 9. Дополнительные упражнения к главе III. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 823, страница 183.

823. Первая мастерская должна была сшить 160 костюмов, а вторая за тот же срок — на 25% меньше. Первая мастерская шила в день на 10 костюмов больше, чем вторая, и выполнила задание за 2 дня до намеченного срока. Сколько костюмов в день шила вторая мастерская, если ей для выполнения задания понадобилось дополнительно 2 дня?

1) 160-0,25*160=160-40=120(к.) - сшить должна вторая мастерская

2) Пусть х костюмов в день шила вторая мастерская, тогда x+10 костюмов в день шила первая мастерская. Зная, что первая мастерская выполнила задание за 2 дня до намеченного срока, а второй понадобилось дополнительно 2 дня, составим и решим уравнение:

$$\begin{gathered} \frac{160}{x+10}+2=\frac{120}{x}-2 \\ \frac{120}{x}-\frac{160}{x+10}=4 /·x\left(x+10\right) \\ 120\left(x+10\right)-160x=4x\left(x+10\right) \\ 120x+1200-160x=4x^2+40x \\ 1200-40x=4x^2+40x \\ 4x^2+40x+40x-1200=0 \\ 4x^2+80x-1200=0 /:4 \\ {x}^2+20x-300=0 \\ D=20^2-4·1·\left(-300\right)=400+1200=1600 \\ x=\frac{-20\pm \sqrt{1600}}{2}, x=\frac{-20\pm 40}{2} \end{gathered}$$

$x_1=10; x_2=-30$ - не удовлетворяет условию задачи x>0

Ответ: 10 костюмов

Для решения задачи введем переменные. Пусть $x$ — это количество костюмов, которое в день шила вторая мастерская. Это искомая величина.

Согласно условию, первая мастерская шила в день на 10 костюмов больше, чем вторая. Следовательно, ее производительность составляла $x + 10$ костюмов в день.

Определим плановое количество костюмов для каждой мастерской. Первая мастерская должна была сшить 160 костюмов. Вторая — на 25% меньше.

Количество костюмов для второй мастерской: $160 - 160 \times 0.25 = 160 \times 0.75 = 120$ костюмов.

Пусть $T$ — это намеченный срок выполнения задания в днях.

Первая мастерская выполнила задание за 2 дня до намеченного срока, то есть за $T - 2$ дня. Фактическое время работы второй мастерской составило $T + 2$ дня, так как ей понадобилось дополнительно 2 дня.

Используя формулу "Работа = Производительность ? Время", составим систему уравнений:

Для первой мастерской: $160 = (x + 10)(T - 2)$.

Для второй мастерской: $120 = x(T + 2)$.

Получаем систему:

$\begin{cases} (x + 10)(T - 2) = 160 \\ x(T + 2) = 120 \end{cases}$

Для решения системы выразим $T$ из второго уравнения:

$T + 2 = \frac{120}{x} \implies T = \frac{120}{x} - 2$.

Теперь подставим это выражение для $T$ в первое уравнение:

$(x + 10)\left(\left(\frac{120}{x} - 2\right) - 2\right) = 160$

$(x + 10)\left(\frac{120}{x} - 4\right) = 160$

Раскроем скобки:

$x \cdot \frac{120}{x} - 4x + 10 \cdot \frac{120}{x} - 40 = 160$

$120 - 4x + \frac{1200}{x} - 40 = 160$

$80 - 4x + \frac{1200}{x} = 160$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$80 - 160 - 4x + \frac{1200}{x} = 0$

$-80 - 4x + \frac{1200}{x} = 0$

Умножим обе части на $-x$ (при $x \neq 0$), чтобы избавиться от дроби и отрицательного старшего коэффициента:

$80x + 4x^2 - 1200 = 0$

Приведем к стандартному виду и разделим на 4 для упрощения:

$4x^2 + 80x - 1200 = 0 \quad | :4$

$x^2 + 20x - 300 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 20^2 - 4(1)(-300) = 400 + 1200 = 1600$

Найдем корни:

$x_1 = \frac{-20 + \sqrt{1600}}{2} = \frac{-20 + 40}{2} = 10$

$x_2 = \frac{-20 - \sqrt{1600}}{2} = \frac{-20 - 40}{2} = -30$

Поскольку $x$ представляет собой количество сшитых костюмов в день, это значение не может быть отрицательным. Таким образом, единственное подходящее решение — $x = 10$.

Ответ: 10 костюмов.