Номер 825, страница 183 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 9. Дополнительные упражнения к главе III. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 825, страница 183.

825. Масса двух сплавов меди и олова равна 60 кг. Первый сплав содержит 6 кг меди, а второй — 3,6 кг меди. Найдите массу каждого сплава, если известно, что содержание меди в первом сплаве на 15% больше, чем во втором.

Пусть x кг - масса первого сплава, тогда (60-x)кг - масса второго сплава. Так как первый сплав содержит 6кг меди, то $\frac{6}{x}·100\mathrm{\%}\backslash frac\{6\}\{x\}\; \backslash cdot\; 100\backslash \%$ меди в сплаве. Так как второй сплав содержит 3,6кг меди, то $\frac{3,6}{60-x}·100\mathrm{\%}$ меди в сплаве. Зная, что в первом сплаве меди на 15% больше, составим и решим уравнение:

$$\begin{gathered} \frac{6}{x}·100-\frac{3,6}{60-x}·100+15 \\ \frac{600}{x}-\frac{360}{60-x}+15 \mathrm{/}·x\left(60-x\right) \\ 600\left(60-x\right)=360x+15x\left(60-x\right) \\ 3600-600x=360x+900x-15x^2 \\ 15x^2-600x-360x-900x+3600=0 \\ 15x^2-1860x+3600=0 \\ {x}^2-124x+2400=0 \\ {x}^2-2,62x+2400=0 \\ {D}_1={\left(-62\right)}^2-1·2400=3844-2400=1444 \\ x=\frac{62\pm \sqrt{1444}}{1}; x=62\pm 38 \\ {x}_1=100; x_2=24 \end{gathered}$$

Если x=100, то x(60-x)=100(60-100)<0, что не удовлетворяет условию задачи 60-24=36(кг) - масса второго сплава

Ответ: 24кг и 36кг

Пусть $m_1$ кг — масса первого сплава, а $m_2$ кг — масса второго сплава.

Согласно условию задачи, общая масса двух сплавов равна 60 кг. Это можно записать в виде первого уравнения:

$m_1 + m_2 = 60$

Концентрация (массовая доля) меди в первом сплаве, который имеет массу $m_1$ и содержит 6 кг меди, определяется как $p_1 = \frac{6}{m_1}$.

Концентрация меди во втором сплаве, который имеет массу $m_2$ и содержит 3,6 кг меди, определяется как $p_2 = \frac{3.6}{m_2}$.

Из условия известно, что содержание меди в первом сплаве на 15% больше, чем во втором. Это означает, что разница их концентраций, выраженных в долях от единицы, составляет 0,15. Составим второе уравнение:

$p_1 - p_2 = 0.15$

Подставим выражения для концентраций в это уравнение:

$\frac{6}{m_1} - \frac{3.6}{m_2} = 0.15$

Таким образом, мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} m_1 + m_2 = 60 \\ \frac{6}{m_1} - \frac{3.6}{m_2} = 0.15 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $m_2$ через $m_1$:

$m_2 = 60 - m_1$

Подставим это выражение во второе уравнение:

$\frac{6}{m_1} - \frac{3.6}{60 - m_1} = 0.15$

Для решения этого уравнения умножим обе его части на общий знаменатель $m_1(60 - m_1)$, при условии, что $m_1 \neq 0$ и $m_1 \neq 60$:

$6(60 - m_1) - 3.6m_1 = 0.15m_1(60 - m_1)$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$360 - 6m_1 - 3.6m_1 = 9m_1 - 0.15m_1^2$

$360 - 9.6m_1 = 9m_1 - 0.15m_1^2$

Перенесем все члены уравнения в левую часть и приведем подобные слагаемые, чтобы получить квадратное уравнение стандартного вида $ax^2 + bx + c = 0$:

$0.15m_1^2 - 9m_1 - 9.6m_1 + 360 = 0$

$0.15m_1^2 - 18.6m_1 + 360 = 0$

Чтобы избавиться от десятичных дробей, умножим обе части уравнения на 100:

$15m_1^2 - 1860m_1 + 36000 = 0$

Для упрощения разделим уравнение на 15:

$m_1^2 - 124m_1 + 2400 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-124)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2400 = 15376 - 9600 = 5776$

Найдем корни уравнения, зная, что $\sqrt{5776} = 76$:

$m_1 = \frac{-(-124) \pm \sqrt{5776}}{2 \cdot 1} = \frac{124 \pm 76}{2}$

Уравнение имеет два корня:

$m_{1,1} = \frac{124 + 76}{2} = \frac{200}{2} = 100$

$m_{1,2} = \frac{124 - 76}{2} = \frac{48}{2} = 24$

Корень $m_1 = 100$ кг не является решением задачи, так как масса одного сплава не может превышать их общую массу (60 кг).

Следовательно, масса первого сплава равна $m_1 = 24$ кг.

Теперь найдем массу второго сплава, используя первое уравнение:

$m_2 = 60 - m_1 = 60 - 24 = 36$ кг.

Проверка:
Концентрация меди в первом сплаве: $p_1 = \frac{6}{24} = 0.25$ (или 25%).
Концентрация меди во втором сплаве: $p_2 = \frac{3.6}{36} = 0.1$ (или 10%).
Разница концентраций: $25\% - 10\% = 15\%$, что соответствует условию.

Ответ: масса первого сплава — 24 кг, масса второго сплава — 36 кг.