Номер 827, страница 183 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 9. Дополнительные упражнения к главе III. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 827, страница 183.

827. За 4 дня совместной работы двумя тракторами было вспахано $\frac{2}{3}$ поля. За сколько дней можно было бы вспахать всё поле каждым трактором, если первым его можно вспахать на 5 дней быстрее, чем вторым?

Пусть за х дней вспахивает поле первый трактор, тогда (х+5) дней пашет поле второй трактор.

Примем всю работу за 1, тогда $\frac{1}{x}\backslash frac\{1\}\{x\}$ - производительность (скорость) первого трактора и $\frac{1}{x+5}\backslash frac\{1\}\{x+5\}$ - производительность (скорость) второго трактора.

Зная, что за 4 дня они вместе вспахали $\frac{2}{3}\backslash frac\{2\}\{3\}$ поля, то их общая производительность (скорость) равна $\frac{2}{3}:4=\frac{2}{3·4}=\frac{1}{6}.$ Составим и решим уравнение:

$$\begin{gathered} \frac{1}{x}+\frac{1}{x+5}=\frac{1}{6} /·6x(x+5) \\ 6\left(x+5\right)+6x=x\left(x+5\right) \\ 6x+30+6x=x^2+5x \\ {x}^2+5x-12x-30=0 \\ {x}^2-7x-30=0 \\ D={\left(-7\right)}^2-4·1·\left(-30\right)=49+120=169 \\ x=\frac{7\pm \sqrt{169}}{2}; x=\frac{7\pm 13}{2} \end{gathered}$$

$x_1=10, x_2=-3$ - не удовлетворяет условию задачи х>0

10+5=15 (дн.) - пашет поле второй трактор

Ответ: 10 и 15 дней

Обозначим всю работу по вспахиванию поля за 1. Пусть второй трактор может вспахать все поле за $x$ дней. Тогда его производительность (часть поля, вспахиваемая за один день) составляет $\frac{1}{x}$ поля/день.

По условию, первый трактор может вспахать поле на 5 дней быстрее, значит, ему потребуется $x-5$ дней. Его производительность составляет $\frac{1}{x-5}$ поля/день. Очевидно, что $x > 5$, так как время работы не может быть отрицательным.

При совместной работе их производительности складываются. Совместная производительность двух тракторов равна $\frac{1}{x-5} + \frac{1}{x}$ поля/день.

Из условия известно, что за 4 дня совместной работы тракторы вспахали $\frac{2}{3}$ поля. Составим уравнение, используя формулу: Работа = Производительность ? Время.

$(\frac{1}{x-5} + \frac{1}{x}) \times 4 = \frac{2}{3}$

Разделим обе части уравнения на 4:

$\frac{1}{x-5} + \frac{1}{x} = \frac{2}{3 \times 4}$

$\frac{1}{x-5} + \frac{1}{x} = \frac{1}{6}$

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $x(x-5)$:

$\frac{x + (x-5)}{x(x-5)} = \frac{1}{6}$

$\frac{2x - 5}{x^2 - 5x} = \frac{1}{6}$

Используем свойство пропорции (перекрестное умножение):

$6(2x - 5) = 1(x^2 - 5x)$

$12x - 30 = x^2 - 5x$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$x^2 - 5x - 12x + 30 = 0$

$x^2 - 17x + 30 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-17)^2 - 4 \times 1 \times 30 = 289 - 120 = 169$

$\sqrt{D} = \sqrt{169} = 13$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{17 + 13}{2} = \frac{30}{2} = 15$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{17 - 13}{2} = \frac{4}{2} = 2$

Теперь проверим оба корня.
1. Если $x = 15$, то время работы второго трактора 15 дней. Время работы первого трактора $x-5 = 15-5 = 10$ дней. Оба значения положительны и удовлетворяют условию $x > 5$. Этот корень подходит.
2. Если $x = 2$, то время работы второго трактора 2 дня. Время работы первого трактора $x-5 = 2-5 = -3$ дня. Время не может быть отрицательной величиной, поэтому этот корень не является решением задачи.

Таким образом, второму трактору для вспахивания всего поля потребуется 15 дней, а первому — 10 дней.

Ответ: первый трактор может вспахать поле за 10 дней, а второй — за 15 дней.