Номер 833, страница 184 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 10. Дополнительные упражнения к главе III. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 833, страница 184.

833. Сколько решений имеет система уравнений:

a) $\left\{\begin{array}{c}3x-6y=5\\ 2x+3y=7\end{array}\right.\left\{\begin{array}{c}6y=3x-5\\ 3y=7-2x\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{c}y=\frac{3x-5}{6}\\ y=\frac{7-2x}{3}\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}y=\frac{x}{2}-\frac{5}{6}\\ y=-\frac{2}{3}x+\frac{7}{3}\end{array}\right.$

Т.к. $k_1=\frac{1}{2}k\_1\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}$; $k_2=-\frac{2}{3}k\_2\; =\; -\backslash frac\{2\}\{3\}$; $k_1\mathrm{\ne }{k}_{2}k\_1\; \backslash neq\; k\_2$, то прямые пересекаются

Ответ: одно решение

б) $\left\{\begin{array}{c}4x-3y=12\\ \frac{1}{3}x-\frac{1}{4}y=1\end{array}\right.\left\{\begin{array}{c}3y=4x-12\\ \frac{1}{4}y=\frac{1}{3}x-1\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{c}y=\frac{4x-12}{3}\\ y=\frac{{\displaystyle \frac{1}{3}x-1}}{{\displaystyle \frac{1}{4}}}\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}y=\frac{4}{3}x-4\\ y=\frac{4}{3}x-4\end{array}\right.$

Т.к. $k_1=k_2=\frac{4}{3}k\_1\; =\; k\_2\; =\; \backslash frac\{4\}\{3\}$; $b_1=b_2=-4b\_1\; =\; b\_2\; =\; -4$, то прямые совпадают

Ответ: бесконечное множество решений

в) $\left\{\begin{array}{l}0,5x+2y=0,8 /·\left(5\right)\\ 2,5x+10y=6\end{array}\right.\left\{\begin{array}{c}2,5x+10y=4\\ 2,5x+10y=6\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{c}10y=4-2,5x\\ 10y=6-2,5x\end{array}\right.\left\{\begin{array}{c}y=0,4-0,25x\\ y=0,6-0,25x\end{array}\right.$

Т.к. $k_1=k_2=-0,25k\_1\; =\; k\_2\; =\; -0,25$; $b_1=0,4b\_1\; =\; 0,4$; $b_2=0,6b\_2\; =\; 0,6$; $b_1\mathrm{\ne }{b}_{2}b\_1\; \backslash neq\; b\_2$, то прямые параллельны

Ответ: нет решений

г) $\left\{\begin{array}{l}2x-0,3y=1 /·2\\ 4x+0,6y=1\end{array}\right.\left\{\begin{array}{c}4x-0,6y=2\\ 4x+0,6y=1\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{c}0,6y=4x-2\\ 0,6y=1-4x\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{c}y=\frac{4x-2}{0,6}\\ y=\frac{1-4x}{0,6}\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}y=\frac{40}{6}x-\frac{20}{6}\\ y=\frac{10}{6}-\frac{40}{6}x\end{array}\right.$

Т.к. $k_1=\frac{40}{6}k\_1\; =\; \backslash frac\{40\}\{6\}$, $k_2=-\frac{40}{6}k\_2\; =\; -\backslash frac\{40\}\{6\}$, $k_1\mathrm{\ne }{k}_{2}k\_1\; \backslash neq\; k\_2$, то прямые пересекаются

Ответ: одно решение

а) $ \begin{cases} 3x - 6y = 5 \\ 2x + 3y = 7 \end{cases} $

Для определения количества решений системы линейных уравнений вида $ \begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases} $ сравним отношения коэффициентов при переменных.

В данном случае $a_1 = 3, b_1 = -6$ и $a_2 = 2, b_2 = 3$.

Найдем отношение коэффициентов при $x$: $ \frac{a_1}{a_2} = \frac{3}{2} $.

Найдем отношение коэффициентов при $y$: $ \frac{b_1}{b_2} = \frac{-6}{3} = -2 $.

Поскольку $ \frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2} $ (так как $ \frac{3}{2} \neq -2 $), прямые, являющиеся графиками уравнений, пересекаются в одной точке. Следовательно, система имеет одно единственное решение.

Ответ: одно решение.

б) $ \begin{cases} 4x - 3y = 12 \\ \frac{1}{3}x - \frac{1}{4}y = 1 \end{cases} $

Упростим второе уравнение, умножив обе его части на 12 (наименьшее общее кратное знаменателей 3 и 4), чтобы избавиться от дробей:

$ 12 \cdot (\frac{1}{3}x - \frac{1}{4}y) = 12 \cdot 1 $

$ 4x - 3y = 12 $

Теперь система выглядит так: $ \begin{cases} 4x - 3y = 12 \\ 4x - 3y = 12 \end{cases} $

Оба уравнения в системе идентичны. Это означает, что графики уравнений совпадают. Можно также проверить это через отношения коэффициентов: $a_1=4, b_1=-3, c_1=12$ и $a_2=\frac{1}{3}, b_2=-\frac{1}{4}, c_2=1$.

$ \frac{a_1}{a_2} = \frac{4}{1/3} = 12 $, $ \frac{b_1}{b_2} = \frac{-3}{-1/4} = 12 $, $ \frac{c_1}{c_2} = \frac{12}{1} = 12 $.

Так как $ \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} $, система имеет бесконечно много решений.

Ответ: бесконечно много решений.

в) $ \begin{cases} 0,5x + 2y = 0,8 \\ 2,5x + 10y = 6 \end{cases} $

Сравним отношения коэффициентов.

$a_1 = 0,5, b_1 = 2, c_1 = 0,8$

$a_2 = 2,5, b_2 = 10, c_2 = 6$

Отношение коэффициентов при $x$: $ \frac{a_1}{a_2} = \frac{0,5}{2,5} = \frac{1}{5} $.

Отношение коэффициентов при $y$: $ \frac{b_1}{b_2} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5} $.

Отношение свободных членов: $ \frac{c_1}{c_2} = \frac{0,8}{6} = \frac{8}{60} = \frac{2}{15} $.

Так как $ \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2} $ ($ \frac{1}{5} = \frac{1}{5} \neq \frac{2}{15} $), графики уравнений являются параллельными прямыми, которые не совпадают. Следовательно, система не имеет решений.

Ответ: нет решений.

г) $ \begin{cases} 2x - 0,3y = 1 \\ 4x + 0,6y = 1 \end{cases} $

Сравним отношения коэффициентов.

$a_1 = 2, b_1 = -0,3$ и $a_2 = 4, b_2 = 0,6$.

Отношение коэффициентов при $x$: $ \frac{a_1}{a_2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} $.

Отношение коэффициентов при $y$: $ \frac{b_1}{b_2} = \frac{-0,3}{0,6} = -\frac{3}{6} = -\frac{1}{2} $.

Поскольку $ \frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2} $ (так как $ \frac{1}{2} \neq -\frac{1}{2} $), прямые, являющиеся графиками уравнений, пересекаются в одной точке. Следовательно, система имеет одно единственное решение.

Ответ: одно решение.