Номер 837, страница 184 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 10. Дополнительные упражнения к главе III. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 837, страница 184.

837. График какой линейной функции проходит через точку (–2; 5) и точку пересечения прямых

3x – 2у = 16 и 4x + 3у = –7?

$y=kx+b;$ (-2;5)

$-2k+b=5-2k+b=5$ (1)

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{cc}3x-2y=16& \mathrm{/}·3\\ 4x+3y=-7& \mathrm{/}·2\end{array}\right.\left\{\begin{array}{c}9x-6y=48\\ 8x+6y=-14\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}17x=34\\ 3x-2y=16\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x=2\\ 3·2-2y=16\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x=2\\ 6-2y=16\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}x=2\\ 2y=6-16\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x=2\\ 2y=-10\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x=2\\ y=-5\end{array}\right. \left(2;-5\right) \\ 2k+b=-5 \left(2\right) \end{gathered}$$

Составим систему уравнений (1) и (2)

$\left\{\begin{array}{c}-2k+b=5\\ 2k+b=-5\end{array}\right.\left\{\begin{array}{c}2b=0\\ 2k+b=-5\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{c}b=0\\ 2k=-5\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}b=0\\ k=-2,5\end{array}\right.$

y=-2,5x

Чтобы найти уравнение искомой линейной функции, необходимо сначала определить координаты второй точки, через которую она проходит. Эта точка является точкой пересечения двух заданных прямых.

1. Нахождение точки пересечения прямых

Координаты точки пересечения прямых $3x - 2y = 16$ и $4x + 3y = -7$ являются решением системы уравнений:

$$\begin{cases} 3x - 2y = 16 \\ 4x + 3y = -7\end{cases}$$

Решим эту систему методом алгебраического сложения. Для этого умножим первое уравнение на 3, а второе — на 2, чтобы коэффициенты при переменной y стали противоположными числами:

$$\begin{cases} 3 \cdot (3x - 2y) = 3 \cdot 16 \\ 2 \cdot (4x + 3y) = 2 \cdot (-7)\end{cases}$$

$$\begin{cases} 9x - 6y = 48 \\ 8x + 6y = -14\end{cases}$$

Теперь сложим левые и правые части уравнений:

$(9x - 6y) + (8x + 6y) = 48 + (-14)$

$17x = 34$

$x = \frac{34}{17} = 2$

Подставим найденное значение $x = 2$ в первое исходное уравнение ($3x - 2y = 16$) для нахождения y:

$3(2) - 2y = 16$

$6 - 2y = 16$

$-2y = 16 - 6$

$-2y = 10$

$y = \frac{10}{-2} = -5$

Таким образом, точка пересечения двух прямых имеет координаты $(2; -5)$.

2. Нахождение уравнения линейной функции

Теперь нам нужно найти уравнение линейной функции вида $y = kx + b$, график которой проходит через две точки: A$(-2; 5)$ и B$(2; -5)$.

Подставим координаты каждой точки в уравнение $y = kx + b$, чтобы получить систему уравнений для нахождения коэффициентов k и b.

Для точки A$(-2; 5)$: $5 = k \cdot (-2) + b \implies -2k + b = 5$

Для точки B$(2; -5)$: $-5 = k \cdot 2 + b \implies 2k + b = -5$

Получаем систему:

$$\begin{cases} -2k + b = 5 \\ 2k + b = -5\end{cases}$$

Сложим два уравнения системы:

$(-2k + b) + (2k + b) = 5 + (-5)$

$2b = 0$

$b = 0$

Подставим $b = 0$ во второе уравнение системы ($2k + b = -5$):

$2k + 0 = -5$

$k = -\frac{5}{2} = -2.5$

Мы нашли коэффициенты: $k = -2.5$ и $b = 0$. Подставим их в уравнение линейной функции $y = kx + b$.

Искомое уравнение: $y = -2.5x + 0$ или $y = -2.5x$.

Ответ: $y = -2.5x$.