Номер 830, страница 184 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 9. Дополнительные упражнения к главе III. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 830, страница 184.

830. Два слесаря получили заказ. Сначала 1 ч работал первый слесарь, затем 4 ч они работали вместе. В результате было выполнено 40% заказа. За сколько часов мог выполнить заказ каждый слесарь, если первому для этого понадобилось бы на 5 ч больше, чем второму?

Пусть за x ч мог выполнить всю работу второй слесарь, тогда за (x+5)ч мог выполнить всю работу первый слесарь. Зная, что сначала 1ч работал первый слесарь и затем 4ч они работали вместе и выполнили 40% заказа, составим и решим уравнение:

$$\begin{gathered} 1·\frac{1}{x+5}+4·\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{x+5}\right)=0,4·1 \\ \frac{1}{x+5}+\frac{4}{x}+\frac{4}{x+5}=0,4 \\ \frac{5}{x+5}+\frac{4}{x}=0,4 /·x\left(x+5\right) \\ 5x+4\left(x+5\right)=0,4x\left(x+5\right) \\ 5x+4x+20=0,4x^2+2x \\ 0,4x^2+2x-9x-20=0 \\ 0,4x^2-7x-20=0 \\ D={\left(-7\right)}^2-4·0,4·\left(-20\right)=49+32=81 \\ x=\frac{7\pm \sqrt{81}}{0,8}; x=\frac{7\pm 9}{0,8} \end{gathered}$$

$x_1=20; x_2=-\frac{20}{8}<0$ - не удовлетворяет условию задачи x>0

20+5=25(ч) - мог выполнить всю работу первый слесарь

Ответ: 25ч и 20ч

Пусть $x$ часов — время, за которое второй слесарь может выполнить весь заказ, работая самостоятельно. Тогда его производительность (часть работы, выполняемая за 1 час) составляет $\frac{1}{x}$.

По условию, первому слесарю для выполнения заказа в одиночку понадобится на 5 часов больше, чем второму. Следовательно, время первого слесаря составляет $(x + 5)$ часов, а его производительность — $\frac{1}{x+5}$.

Сначала 1 час работал первый слесарь. Объем выполненной им работы равен:$1 \cdot \frac{1}{x+5} = \frac{1}{x+5}$

Затем 4 часа они работали вместе. Их совместная производительность равна сумме их индивидуальных производительностей:$\frac{1}{x+5} + \frac{1}{x}$

За 4 часа совместной работы они выполнили объем работы, равный:$4 \cdot (\frac{1}{x+5} + \frac{1}{x})$

В результате было выполнено 40% заказа, что в долях составляет 0,4. Составим уравнение, сложив объемы работ, выполненные на каждом этапе:$\frac{1}{x+5} + 4 \cdot (\frac{1}{x+5} + \frac{1}{x}) = 0,4$

Раскроем скобки и упростим уравнение:$\frac{1}{x+5} + \frac{4}{x+5} + \frac{4}{x} = 0,4$$\frac{5}{x+5} + \frac{4}{x} = 0,4$

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $x(x+5)$:$\frac{5x + 4(x+5)}{x(x+5)} = 0,4$$\frac{5x + 4x + 20}{x^2 + 5x} = 0,4$$\frac{9x + 20}{x^2 + 5x} = 0,4$

Теперь решим это уравнение. Умножим обе части на $x^2 + 5x$ (при условии, что $x \neq 0$ и $x \neq -5$, что выполняется, так как $x$ — время):$9x + 20 = 0,4(x^2 + 5x)$$9x + 20 = 0,4x^2 + 2x$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:$0,4x^2 + 2x - 9x - 20 = 0$$0,4x^2 - 7x - 20 = 0$

Для удобства умножим все уравнение на 10, чтобы избавиться от десятичной дроби:$4x^2 - 70x - 200 = 0$

Разделим уравнение на 2 для упрощения:$2x^2 - 35x - 100 = 0$

Найдем корни квадратного уравнения с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:$D = (-35)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-100) = 1225 + 800 = 2025$$\sqrt{D} = \sqrt{2025} = 45$

$x_1 = \frac{-(-35) + 45}{2 \cdot 2} = \frac{35 + 45}{4} = \frac{80}{4} = 20$$x_2 = \frac{-(-35) - 45}{2 \cdot 2} = \frac{35 - 45}{4} = \frac{-10}{4} = -2,5$

Корень $x_2 = -2,5$ не имеет физического смысла, так как время не может быть отрицательным. Поэтому время работы второго слесаря $x = 20$ часов.

Время работы первого слесаря:$x + 5 = 20 + 5 = 25$ часов.

Ответ: первому слесарю для выполнения заказа потребовалось бы 25 часов, а второму — 20 часов.