Номер 831, страница 184 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 9. Дополнительные упражнения к главе III. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 831, страница 184.

831. При совместной работе двух копировальных машин можно снять ксерокопию с рукописи за 6 мин. Если сначала снять ксерокопию с половины рукописи одной машиной, а затем с оставшейся части — другой машиной, то вся работа будет закончена через 12,5 мин. За какое время можно снять ксерокопию с рукописи каждой машиной в отдельности?

Примем работу за 1, тогда $\frac{1}{6}$ - общая производительность (скорость) копировальных машин. Пусть х - производительность первой машины, тогда $\frac{1}{6}-x$ - производительность второй машини. Время, за которое первая машина выполнила $\frac{1}{2}$ работы равно $\frac{1}{2x}$мин, а время, за которое выполнила $\frac{1}{2}$ работы вторая машина равно $\frac{1}{2\left(\frac{1}{6}-x\right)}$мин

Зная, что всю работу они закончили через 12,5мин, составим и решим уравнение

$$\begin{gathered} \frac{1}{2x}+\frac{1}{2\left({\displaystyle \frac{1}{6}-x}\right)}=12,5 \\ \frac{1}{2x}+\frac{1}{{\displaystyle \frac{1}{3}-2x}}=12,5 \\ \frac{1}{2x}+\frac{1}{{\displaystyle \frac{1-6x}{3}}}=12,5 \\ \frac{1}{2x}+\frac{3}{1-6x}=12,5 /·2x\left(1-6x\right) \\ 1-6x+3·2x=12,5·2x\left(1-6x\right) \\ 1-6x+6x=25x-150x^2 \\ 150x^2-25x+1=0 \\ D={\left(-25\right)}^2-4·150·1=625-600=25 \\ x=\frac{25\pm \sqrt{25}}{300}; x=\frac{25\pm 5}{300} \\ {x}_1=\frac{1}{10}; x_2=\frac{1}{15} \end{gathered}$$

Если $x=\frac{1}{10}x\; =\; \backslash frac\{1\}\{10\}$, то $2·\frac{1}{10}\left(1-6·\frac{1}{10}\right)\ne 0,$

если $x=\frac{1}{15}x\; =\; \backslash frac\{1\}\{15\}$, то $2·\frac{1}{15}\left(1-6·\frac{1}{15}\right)\ne 0$

$1:\frac{1}{10}=1·10=10$(мин) - выполнит всю работу первая машина или $1:\frac{1}{15}=1·15=15\left(\text{мин}\right)1\; :\; \backslash frac\{1\}\{15\}\; =\; 1\; \backslash cdot\; 15\; =\; 15\; (мин)$

Если $x=\frac{1}{10}x\; =\; \backslash frac\{1\}\{10\}$, то $\frac{1}{6}-x=\frac{1}{6}-\frac{1}{10}=\frac{5-3}{30}=\frac{2}{30}=\frac{1}{15},$

Если $x=\frac{1}{15}x\; =\; \backslash frac\{1\}\{15\}$, то $\frac{1}{6}-x=\frac{1}{6}-\frac{1}{15}=\frac{5-2}{30}=\frac{3}{30}=\frac{1}{10}\backslash frac\{1\}\{6\}\; -\; x\; =\; \backslash frac\{1\}\{6\}\; -\; \backslash frac\{1\}\{15\}\; =\; \backslash frac\{5-2\}\{30\}\; =\; \backslash frac\{3\}\{30\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{10\}$

Следовательно, если за 10мин выполнит всю работу первая машина, то вторая машина её выполнит за 15 мин и, наоборот, если первая машина её выполнит за 15мин, то вторая - за 10мин

Ответ: 15 мин и 10 мин

Обозначим всю работу по ксерокопированию рукописи за 1 (единицу).

Пусть $t_1$ – время (в минутах), за которое первая копировальная машина может выполнить всю работу самостоятельно, а $t_2$ – время (в минутах), за которое вторая машина может выполнить всю работу.

Тогда производительность первой машины (скорость работы) равна $p_1 = \frac{1}{t_1}$ (часть работы в минуту), а производительность второй машины – $p_2 = \frac{1}{t_2}$ (часть работы в минуту).

Согласно первому условию, при совместной работе две машины выполняют всю работу за 6 минут. Их совместная производительность равна $p_1 + p_2$. Можем составить первое уравнение, используя формулу "работа = производительность ? время":

$(p_1 + p_2) \cdot 6 = 1$

Подставим выражения для производительностей через время:

$(\frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2}) \cdot 6 = 1$

Разделив обе части на 6, получим:

$\frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} = \frac{1}{6}$

Согласно второму условию, сначала одна машина выполняет половину работы (объем работы равен $\frac{1}{2}$), а затем другая машина выполняет оставшуюся половину. Общее время работы составляет 12,5 минут.

Время, которое первая машина тратит на выполнение половины работы, равно $\frac{\text{объем работы}}{\text{производительность}} = \frac{1/2}{p_1} = \frac{1/2}{1/t_1} = \frac{t_1}{2}$.

Аналогично, время, которое вторая машина тратит на выполнение своей половины работы, равно $\frac{1/2}{p_2} = \frac{1/2}{1/t_2} = \frac{t_2}{2}$.

Суммарное время равно 12,5 минут. Составляем второе уравнение:

$\frac{t_1}{2} + \frac{t_2}{2} = 12,5$

Умножим обе части уравнения на 2:

$t_1 + t_2 = 25$

Теперь решим систему из двух полученных уравнений:

$\begin{cases} \frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} = \frac{1}{6} \\ t_1 + t_2 = 25 \end{cases}$

Из второго уравнения выразим $t_2$ через $t_1$:

$t_2 = 25 - t_1$

Подставим это выражение в первое уравнение системы:

$\frac{1}{t_1} + \frac{1}{25 - t_1} = \frac{1}{6}$

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $t_1(25 - t_1)$:

$\frac{(25 - t_1) + t_1}{t_1(25 - t_1)} = \frac{1}{6}$

$\frac{25}{25t_1 - t_1^2} = \frac{1}{6}$

Используя основное свойство пропорции ("крест-накрест"), получаем:

$1 \cdot (25t_1 - t_1^2) = 25 \cdot 6$

$25t_1 - t_1^2 = 150$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$t_1^2 - 25t_1 + 150 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта. Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.

$D = (-25)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 150 = 625 - 600 = 25$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня. Найдем их:

$t_{1,1} = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{25 + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{25 + 5}{2} = \frac{30}{2} = 15$

$t_{1,2} = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{25 - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{25 - 5}{2} = \frac{20}{2} = 10$

Мы получили два возможных значения для времени работы первой машины. Теперь найдем соответствующие значения для $t_2$, используя уравнение $t_2 = 25 - t_1$:

1. Если $t_1 = 15$ минут, то $t_2 = 25 - 15 = 10$ минут.

2. Если $t_1 = 10$ минут, то $t_2 = 25 - 10 = 15$ минут.

Оба решения указывают на то, что одна из машин выполняет всю работу за 10 минут, а другая – за 15 минут.

Ответ: одна копировальная машина может снять ксерокопию с рукописи за 10 минут, а другая – за 15 минут.