Номер 829, страница 183 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 9. Дополнительные упражнения к главе III. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 829, страница 183.

829. Для наполнения бассейна через первую трубу потребуется на 9 ч больше времени, чем при наполнении через первую и вторую трубы, и на 7 ч меньше, чем через одну вторую трубу. За сколько часов наполнится бассейн через обе трубы?

Пусть за x наполняют бассейн обе трубы, тогда за (x+9)ч может наполнить бассейн первая труба и за (x+9+7)ч - вторая труба.

Примем работу за 1. Тогда $\frac{1}{x+9}\backslash frac\{1\}\{x+9\}$ - производительность (скорость) первой трубы, $\frac{1}{x+9+7}\backslash frac\{1\}\{x+9+7\}$ производительность (скорость) второй трубы и $\frac{1}{x}\backslash frac\{1\}\{x\}$ - их общая производительность (скорость)

Составим и решим уравнение:

$$\begin{gathered} \frac{1}{x+9}+\frac{1}{x+9+7}=\frac{1}{x} \\ \frac{1}{x+9}+\frac{1}{x+16}=\frac{1}{x} /·x\left(x+9\right)\left(x+16\right) \\ x\left(x+16\right)+x\left(x+9\right)=\left(x+9\right)\left(x+16\right) \\ {x}^2+16x+x^2+9x=x^2+16x+9x+144 \\ {x}^2=144 \end{gathered}$$

$x_1=12; x_2=-12$ - не удовлетворяет условию задачи x>0

Ответ: за 12ч

Решение:

Обозначим за $x$ время в часах, за которое бассейн наполнится при одновременной работе двух труб. Это и есть искомая величина.

Пусть $t_1$ — время наполнения бассейна только через первую трубу, а $t_2$ — время наполнения только через вторую трубу.

Из условия задачи известно, что для наполнения через первую трубу требуется на 9 часов больше времени, чем при наполнении через обе трубы вместе. Следовательно, можем записать первое соотношение:

$t_1 = x + 9$

Также известно, что время наполнения через первую трубу на 7 часов меньше, чем через одну вторую трубу. Это означает, что вторая труба наполняет бассейн на 7 часов дольше, чем первая:

$t_2 = t_1 + 7$

Подставим в это равенство выражение для $t_1$, чтобы выразить $t_2$ через $x$:

$t_2 = (x + 9) + 7 = x + 16$

Теперь воспользуемся формулой совместной работы. Производительность (часть работы, выполняемая за единицу времени) обратно пропорциональна времени. Если принять объем всего бассейна за 1, то:

Производительность первой трубы: $P_1 = \frac{1}{t_1} = \frac{1}{x+9}$.

Производительность второй трубы: $P_2 = \frac{1}{t_2} = \frac{1}{x+16}$.

Совместная производительность двух труб: $P_{12} = \frac{1}{x}$.

Совместная производительность равна сумме производительностей каждой трубы: $P_{12} = P_1 + P_2$.

Подставим наши выражения в это уравнение:

$\frac{1}{x} = \frac{1}{x+9} + \frac{1}{x+16}$

Решим полученное уравнение. Для этого приведем дроби в правой части к общему знаменателю $(x+9)(x+16)$:

$\frac{1}{x} = \frac{(x+16) + (x+9)}{(x+9)(x+16)}$

$\frac{1}{x} = \frac{2x+25}{x^2 + 16x + 9x + 144}$

$\frac{1}{x} = \frac{2x+25}{x^2 + 25x + 144}$

Применим основное свойство пропорции (умножим крест-накрест), учитывая, что $x>0$, так как время не может быть отрицательным или нулевым:

$1 \cdot (x^2 + 25x + 144) = x \cdot (2x+25)$

$x^2 + 25x + 144 = 2x^2 + 25x$

Вычтем из обеих частей уравнения слагаемое $25x$:

$x^2 + 144 = 2x^2$

$144 = 2x^2 - x^2$

$x^2 = 144$

Так как $x$ — это время, выбираем только положительное значение корня:

$x = \sqrt{144} = 12$

Следовательно, бассейн наполнится через обе трубы за 12 часов.

Ответ: 12 часов.