Номер 822, страница 183 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 9. Дополнительные упражнения к главе III. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 822, страница 183.

822. Отец и сын прошли 240 м, при этом отец сделал на 100 шагов меньше, чем сын. Найдите длину шага каждого из них, если шаг отца длиннее шага сына на 20 см.

Пусть х м - длина шага сына, тогда (x+0,2)м - длина шали отца. Зная, что отец и сын прошли 240м, при этом отец сделал на 100 шагов меньше, составим и решим уравнение:

$$\begin{gathered} \frac{240}{x}-\frac{240}{x+0,2}+100 /·x\left(x+0,2\right) \\ 240\left(x+0,2\right)=240·x+100x\left(x+0,2\right) \\ 240x+48=240x+100x^2+20x \\ 100x^2+20x-48=0 /:4 \\ 25x^2+5x-12=0 \\ D=5^2-4·25·\left(-12\right)=25+1200=1225 \\ x=\frac{-5\pm \sqrt{1225}}{50}; x=\frac{-5\pm 35}{50} \end{gathered}$$

$x_1=\frac{3}{5}; x_2=-\frac{4}{5}$ - не удовлетворяют условно задачи x>0

$\frac{3}{5}=0,6$м - длина шага сына

0,6+0,2=0,8(м) - длина шага отца

0,6м=60см, 0,8м=80см

Ответ: 60см, 80см

Для решения задачи составим систему уравнений. Перед этим переведем все единицы измерения в метры: 20 см = 0.2 м.

1. Введем переменные

Пусть $L_c$ — длина шага сына в метрах, а $N_c$ — количество шагов сына.
Пусть $L_o$ — длина шага отца в метрах, а $N_o$ — количество шагов отца.

2. Сформулируем условия задачи в виде уравнений

Исходя из условий задачи, мы знаем:

1. Общее расстояние, которое они прошли, составляет 240 м. Это означает:
$N_c \cdot L_c = 240$
$N_o \cdot L_o = 240$

2. Отец сделал на 100 шагов меньше, чем сын:
$N_o = N_c - 100$

3. Шаг отца длиннее шага сына на 20 см (0.2 м):
$L_o = L_c + 0.2$

3. Составим и решим уравнение с одной переменной

Выразим количество шагов через длину шага из первого пункта:
$N_c = \frac{240}{L_c}$
$N_o = \frac{240}{L_o}$

Теперь подставим эти выражения, а также выражение для $L_o$, в уравнение для количества шагов ($N_o = N_c - 100$):
$\frac{240}{L_o} = \frac{240}{L_c} - 100$
Подставим $L_o = L_c + 0.2$:
$\frac{240}{L_c + 0.2} = \frac{240}{L_c} - 100$

Мы получили уравнение с одной неизвестной $L_c$. Для удобства решения, обозначим $L_c$ как $x$.
$\frac{240}{x + 0.2} = \frac{240}{x} - 100$

Перенесем члены уравнения:
$100 = \frac{240}{x} - \frac{240}{x + 0.2}$

Приведем дроби в правой части к общему знаменателю:
$100 = \frac{240(x + 0.2) - 240x}{x(x + 0.2)}$
$100 = \frac{240x + 48 - 240x}{x^2 + 0.2x}$
$100 = \frac{48}{x^2 + 0.2x}$

Умножим обе части на знаменатель $x^2 + 0.2x$ (при условии, что $x \neq 0$ и $x \neq -0.2$, что верно, так как длина шага положительна):
$100(x^2 + 0.2x) = 48$
$100x^2 + 20x - 48 = 0$

Мы получили квадратное уравнение. Разделим все его члены на 4 для упрощения:
$25x^2 + 5x - 12 = 0$

Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = 5^2 - 4 \cdot 25 \cdot (-12) = 25 + 1200 = 1225$
$\sqrt{D} = \sqrt{1225} = 35$

Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 + 35}{2 \cdot 25} = \frac{30}{50} = 0.6$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 - 35}{2 \cdot 25} = \frac{-40}{50} = -0.8$

Так как длина шага ($x$) не может быть отрицательной величиной, нам подходит только корень $x_1 = 0.6$.

4. Найдем длину шага каждого

Длина шага сына ($L_c$) равна $0.6$ м, что составляет $60$ см.
Длина шага отца ($L_o$) равна $L_c + 0.2 = 0.6 + 0.2 = 0.8$ м, что составляет $80$ см.

5. Проверка

Количество шагов сына: $N_c = \frac{240 \text{ м}}{0.6 \text{ м}} = 400$ шагов.
Количество шагов отца: $N_o = \frac{240 \text{ м}}{0.8 \text{ м}} = 300$ шагов.
Разница в количестве шагов: $400 - 300 = 100$ шагов. Условие выполняется.
Разница в длине шага: $80 \text{ см} - 60 \text{ см} = 20$ см. Условие выполняется.

Ответ: длина шага отца — 80 см, длина шага сына — 60 см.