Номер 815, страница 182 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 9. Дополнительные упражнения к главе III. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 815, страница 182.

815. Теплоход отправился от пристани А до пристани В, расстояние между которыми 225 км. Через 1,5 ч после отправления он был задержан на 12 ч и, чтобы прийти в пункт назначения вовремя, увеличил скорость на 10 км/ч. Найдите первоначальную скорость теплохода.

Пусть x км/ч - первоначальная скорость теплохода, тогда (x+10)км/ч увеличенная скорость теплохода. Зная, что через 1,5ч после отправления он был задержан на $\frac{1}{2}$ч, найдем расстояния, пройденные со скоростью x км/ч и (x+10)км/ч: 1,5x км и (225-1,5x)км соответственно. Значит, время, потраченное не весь путь равно $\left(1,5+\frac{1}{2}+\frac{215-1,5x}{x+10}\right)(1,5+\backslash frac\{1\}\{2\}\; +\; \backslash frac\{215-1,5x\}\{x+10\})$ч

Составим и решим уравнение

$$\begin{gathered} 1,5+\frac{1}{2}+\frac{225-1,5x}{x+10}=\frac{265}{x} \\ 2+\frac{225-152}{x+10}=\frac{225}{x} /·x(x+10) \\ 2\left(x+10\right)x+\left(225-1,5x\right)x=225\left(\mathrm{x}+10\right) \\ 2x^2+20x+225x-1,5x^2=225x+2250 \\ 0,5x^2+20x-2250=0 \mathrm{/}·2 \\ {x}^2+40x-4500=0 \\ D={40}^2-4·1·(-4500)-1600+18000=19600 \\ x=\frac{-40\pm \sqrt{19600}}{2}, x=\frac{-40\pm 140}{2} \end{gathered}$$

$x_1=50; x_2=-90$ - не удовлетворяет условию задачи x>0

Ответ: 50 км/ч

Решение:

Пусть $v$ км/ч — первоначальная скорость теплохода. Тогда плановое время, за которое теплоход должен был пройти весь путь, составляет $t_{план} = \frac{225}{v}$ часов.

Теплоход двигался 1,5 часа с первоначальной скоростью $v$. За это время он прошел расстояние $S_1 = v \cdot 1.5 = 1.5v$ км.

После этого теплоход был задержан на $\frac{1}{2}$ часа (или 0,5 часа).

Оставшееся расстояние, которое ему нужно было пройти, составляет $S_2 = 225 - 1.5v$ км.

Чтобы прибыть вовремя, теплоход увеличил скорость на 10 км/ч. Новая скорость стала $(v + 10)$ км/ч.

Время, затраченное на оставшийся путь с новой скоростью, составляет $t_2 = \frac{225 - 1.5v}{v + 10}$ часов.

Общее время, которое теплоход затратил на весь путь, складывается из времени движения на первом участке, времени задержки и времени движения на втором участке: $t_{факт} = 1.5 + 0.5 + \frac{225 - 1.5v}{v + 10} = 2 + \frac{225 - 1.5v}{v + 10}$ часов.

По условию задачи, теплоход прибыл в пункт назначения вовремя, значит, фактическое время равно плановому: $t_{факт} = t_{план}$.

Составим уравнение:

$\frac{225}{v} = 2 + \frac{225 - 1.5v}{v + 10}$

Перенесем 2 в левую часть:

$\frac{225}{v} - 2 = \frac{225 - 1.5v}{v + 10}$

Приведем левую часть к общему знаменателю:

$\frac{225 - 2v}{v} = \frac{225 - 1.5v}{v + 10}$

Воспользуемся свойством пропорции (перекрестное умножение), учитывая, что $v > 0$:

$(225 - 2v)(v + 10) = v(225 - 1.5v)$

Раскроем скобки:

$225v + 2250 - 2v^2 - 20v = 225v - 1.5v^2$

Приведем подобные слагаемые и перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$225v - 225v - 2v^2 + 1.5v^2 - 20v + 2250 = 0$

$-0.5v^2 - 20v + 2250 = 0$

Умножим обе части уравнения на -2, чтобы избавиться от дроби и отрицательного коэффициента при $v^2$:

$v^2 + 40v - 4500 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 40^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4500) = 1600 + 18000 = 19600$

Найдем корни уравнения:

$v_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-40 + \sqrt{19600}}{2 \cdot 1} = \frac{-40 + 140}{2} = \frac{100}{2} = 50$

$v_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-40 - \sqrt{19600}}{2 \cdot 1} = \frac{-40 - 140}{2} = \frac{-180}{2} = -90$

Так как скорость не может быть отрицательной величиной, корень $v_2 = -90$ не является решением задачи. Следовательно, первоначальная скорость теплохода равна 50 км/ч.

Ответ: 50 км/ч.