Номер 812, страница 181 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 9. Дополнительные упражнения к главе III. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 812, страница 181.

812. Из пункта А отправили по течению плот. Вслед за ним через 5 ч 20 мин из того же пункта вышел катер и догнал плот, пройдя 20 км. Сколько километров в час проходил плот, если катер шёл быстрее его на 12 км/ч?

Пусть x км/ч - скорость плота, тогда (12+x)км/ч - скорость катера. Зная, что плот и катер проплыли по 20км, а плот был в пути на 5ч20мин больше, чем катер, составим и решим уравнение

$$\begin{gathered} \frac{20}{x+12}+5\frac{20}{60}=\frac{20}{x} \\ \frac{20}{x+12}+5\frac{1}{3}=\frac{20}{x} /·3(x+12)x \\ 20·3x+16x\left(x+12\right)=20·3\left(x+12\right) \\ 60x+16x^2+192x=60x+720 \\ 16x^2+192x-720=0 /:16 \\ {x}^2+12x-45=0 \\ D=12^2-4·1·\left(-45\right)=144+180=324 \\ x=\frac{-12\pm \sqrt{324}}{2}; x=\frac{-12\pm 18}{2} \end{gathered}$$

$x_1=3; x_2=-15$ - не удовлетворяет условию задачи x>0

Ответ: 3 км/ч

Для решения задачи введем переменные. Пусть $v_п$ — скорость плота в км/ч. Поскольку плот движется по течению, его скорость равна скорости течения реки. Скорость катера по течению, $v_к$, по условию на 12 км/ч больше скорости плота.

Таким образом, мы можем записать соотношение скоростей:

$v_к = v_п + 12$ (км/ч)

Катер вышел вслед за плотом через 5 часов 20 минут. Переведем это время в часы:

$5 \text{ ч } 20 \text{ мин} = 5 + \frac{20}{60} \text{ ч} = 5 + \frac{1}{3} \text{ ч} = \frac{16}{3}$ ч.

Катер и плот встретились, когда катер прошел 20 км. Это означает, что к моменту встречи и плот, и катер прошли одинаковое расстояние $S = 20$ км от пункта А.

Обозначим время движения катера до встречи как $t_к$, а время движения плота как $t_п$.

Время движения катера можно выразить через расстояние и скорость:

$t_к = \frac{S}{v_к} = \frac{20}{v_п + 12}$

Время движения плота:

$t_п = \frac{S}{v_п} = \frac{20}{v_п}$

Поскольку плот был в пути на $\frac{16}{3}$ часа дольше, чем катер, мы можем составить уравнение:

$t_п - t_к = \frac{16}{3}$

Подставим выражения для $t_п$ и $t_к$ в это уравнение:

$\frac{20}{v_п} - \frac{20}{v_п + 12} = \frac{16}{3}$

Теперь решим это уравнение относительно $v_п$. Приведем левую часть к общему знаменателю:

$\frac{20(v_п + 12) - 20v_п}{v_п(v_п + 12)} = \frac{16}{3}$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{20v_п + 240 - 20v_п}{v_п^2 + 12v_п} = \frac{16}{3}$

$\frac{240}{v_п^2 + 12v_п} = \frac{16}{3}$

Используем свойство пропорции (перекрестное умножение):

$240 \cdot 3 = 16 \cdot (v_п^2 + 12v_п)$

$720 = 16v_п^2 + 192v_п$

Разделим обе части уравнения на 16 для упрощения:

$45 = v_п^2 + 12v_п$

Получили квадратное уравнение:

$v_п^2 + 12v_п - 45 = 0$

Решим его. Можно использовать теорему Виета или формулу для корней квадратного уравнения. По теореме Виета, произведение корней равно -45, а их сумма равна -12. Подходят числа -15 и 3.

$v_{п1} = -15$, $v_{п2} = 3$

Поскольку скорость не может быть отрицательной, корень $v_{п1} = -15$ не имеет физического смысла. Следовательно, скорость плота равна 3 км/ч.

Проверка:
Скорость плота $v_п = 3$ км/ч.
Скорость катера $v_к = 3 + 12 = 15$ км/ч.
Время движения плота $t_п = \frac{20}{3}$ ч.
Время движения катера $t_к = \frac{20}{15} = \frac{4}{3}$ ч.
Разница во времени $t_п - t_к = \frac{20}{3} - \frac{4}{3} = \frac{16}{3}$ ч, что соответствует 5 ч 20 мин. Решение верное.

Ответ: 3 км/ч.