Номер 806, страница 181 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 9. Дополнительные упражнения к главе III. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 806, страница 181.

806. На перегоне в 600 км после прохождения 14 пути поезд был задержан на 1 ч 30 мин. Чтобы прийти на конечную станцию вовремя, машинист увеличил скорость поезда на 15 км/ч. Сколько времени поезд был в пути?

1) $600·\frac{1}{4}=150$(км) - расстояние, которое прошёл поезд до задержки

2) 600-150=450(км) - расстояние, которое прошёл поезд после задержки

3) Пусть x км/ч - скорость поезда до задержки, тогда (x+15)км/ч - скорость поезда после задержки. Зная, что поезд был задержан на 1ч30мин, составим и решим уравнение.

$$\begin{gathered} \frac{150}{x}+1,5+\frac{450}{x+15}=\frac{600}{x} \\ \frac{150\left(x+15\right)+1,5x\left(x+15\right)+450x}{x\left(x+15\right)}=\frac{600}{x} \\ \frac{150x+2250+1,5x^2+22,5x+450x}{x\left(x+15\right)}- \\ -\frac{600}{x}=0 /·x(x+15) \\ 1,5x^2+622,5x+2250-600\left(x+15\right)=0 \\ 1,5x^2+622,5x+2250-600x-9000=0 \\ 1,5x^2+22,5x-6750=0 /·10 \\ 15x^2+225x-67500=0 /:15 \\ {x}^2+15x-4500=0 \\ D=15^2-4·1·\left(-4500\right)=225+18000=18225 \\ x=\frac{-15\pm \sqrt{18225}}{2}; x=\frac{-15\pm 135}{2} \end{gathered}$$

$x_1=60; x_2=-75$- не удовлетворяет условию задачи x>0

4) 600:60=10 (ч)

Ответ: 10ч

Пусть $S$ - общее расстояние, $v$ - первоначальная скорость поезда, а $t_{задержки}$ - время задержки. Из условия задачи имеем: $S = 600$ км. $t_{задержки} = 1$ час $30$ минут $= 1.5$ часа.

1. Определим расстояние, которое поезд проехал до задержки. Это $\frac{1}{4}$ всего пути: $S_1 = \frac{1}{4} \times S = \frac{1}{4} \times 600 = 150$ км.

2. Найдем оставшееся расстояние: $S_2 = S - S_1 = 600 - 150 = 450$ км.

3. Чтобы прибыть вовремя, поезд должен был компенсировать время задержки за счет увеличения скорости на оставшемся участке пути. Пусть $v$ (в км/ч) - первоначальная скорость поезда. Тогда время, которое он должен был потратить на второй участок по расписанию, равно $t_{план2} = \frac{S_2}{v} = \frac{450}{v}$ часов.

4. Фактически, на втором участке скорость поезда была $v + 15$ км/ч. Следовательно, фактическое время, затраченное на этот участок, составило $t_{факт2} = \frac{S_2}{v+15} = \frac{450}{v+15}$ часов.

5. Разница между плановым и фактическим временем прохождения второго участка пути равна времени задержки. Составим уравнение:
$\frac{450}{v} - \frac{450}{v+15} = 1.5$

6. Решим это уравнение для нахождения $v$:
$450 \left( \frac{1}{v} - \frac{1}{v+15} \right) = 1.5$
$450 \left( \frac{(v+15) - v}{v(v+15)} \right) = 1.5$
$450 \left( \frac{15}{v^2+15v} \right) = 1.5$
$\frac{6750}{v^2+15v} = 1.5$
$1.5(v^2+15v) = 6750$
$v^2+15v = \frac{6750}{1.5}$
$v^2+15v = 4500$
$v^2+15v - 4500 = 0$

7. Это квадратное уравнение. Найдем его корни, используя дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = 15^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4500) = 225 + 18000 = 18225$
$\sqrt{D} = \sqrt{18225} = 135$
$v_1 = \frac{-15 + 135}{2 \cdot 1} = \frac{120}{2} = 60$
$v_2 = \frac{-15 - 135}{2 \cdot 1} = \frac{-150}{2} = -75$
Поскольку скорость не может быть отрицательной, первоначальная скорость поезда равна $v = 60$ км/ч.

8. Вопрос задачи: "Сколько времени поезд был в пути?". Так как поезд прибыл на конечную станцию вовремя, общее время в пути равно плановому времени. Рассчитаем это время по первоначальной скорости:
$T_{общее} = \frac{S}{v} = \frac{600 \text{ км}}{60 \text{ км/ч}} = 10$ часов.

Для проверки можно сложить все отрезки времени: время движения на первом участке ($\frac{150}{60} = 2.5$ часа), время задержки ($1.5$ часа) и время движения на втором участке ($\frac{450}{60+15} = 6$ часов). Сумма $2.5 + 1.5 + 6 = 10$ часов, что подтверждает правильность расчетов.

Ответ: 10 часов.