Номер 804, страница 180 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 9. Дополнительные упражнения к главе III. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 804, страница 180.

804. Решите уравнение:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}\frac{2x+1}{2x-1}-\frac{3\left(2x-1\right)}{7\left(2x+1\right)}+\frac{8}{1-4x^2}=0 \\ \frac{2x+1}{2x-1}-\frac{3\left(2x-1\right)}{7\left(2x+1\right)}+\frac{8}{\left(1-2x\right)\left(1+2x\right)}=0 \\ \frac{2x+1}{2x-1}-\frac{3\left(2x-1\right)}{7\left(2x+1\right)}-\frac{8}{\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)}=0 \\ \frac{7{\left(2x+1\right)}^2-3{\left(2x-1\right)}^2-7·8}{7\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)}=0 \mathrm{/}·7\left(2x-1\right)\left(2x+1\right) \\ 7\left(4x^2+4x+1\right)-3\left(4x^2-4x+1\right)-56=0 \\ 28x^2+28x+7-12x^2+12x-3-56=0 \\ 16x^2+40x-52=0\mathrm{/}:4 \\ 4x^2+10x-13=0 \\ D=10^2-4·4·\left(-13\right)=100+208=308 \\ x=\frac{-10\pm \sqrt{308}}{8}; x=\frac{-10\pm \sqrt{4·77}}{8} \\ x=\frac{-10\pm 2\sqrt{77}}{8};x=\frac{2\left(-5\pm \sqrt{77}\right)}{8} \\ {x}_1=\frac{-5+\sqrt{77}}{4};x_2=\frac{-5-\sqrt{77}}{4} \end{gathered}$$

Если $x=\frac{-5+\sqrt{77}}{4}x\; =\; \backslash frac\{-5\; +\; \backslash sqrt\{77\}\}\{4\}$, то $4x^2-1=4{\left(\frac{\sqrt{77}-5}{4}\right)}^2-1\ne 0,$

если $x=\frac{-5-\sqrt{77}}{4}x\; =\; \backslash frac\{-5\; -\; \backslash sqrt\{77\}\}\{4\}$, то $4x^2-1=4{\left(\frac{-5-\sqrt{77}}{4}\right)}^2-1\ne 0$

Ответ: $\frac{-5+\sqrt{77}}{4}; \frac{-5-\sqrt{77}}{4}$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}\frac{y}{y^2-9}-\frac{1}{y^2+3y}+\frac{3}{6y+2y^2}=0 \\ \frac{y}{\left(y-3\right)\left(y+3\right)}-\frac{1}{y\left(y+3\right)}+\frac{3}{2y\left(3+y\right)}=0 \\ \frac{2y^2-2\left(y-3\right)+3\left(y-3\right)}{2y\left(y-3\right)\left(y+3\right)}=0\mathrm{/}·2y\left(y-3\right)\left(y+3\right) \\ {y}^2-2y+6+3y-9=0 \\ {y}^2-y-3=0 \\ D=1^2-4·2·(-3)=1+24=25 \\ y=\frac{-1\pm \sqrt{25}}{4}; y=\frac{-1\pm 5}{4} \\ {y}_1=1; y_2=-1,5 \end{gathered}$$

Если y=1, то $y\left(y^2-9\right)=1\left(1^2-9\right)\ne 0,$

если y=-1,5, то $y\left(y^2-9\right)=-1,5\left({(-1,5)}^2-9\right)\ne 0$

Ответ: -1,5; 1

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}\frac{2y-1}{14y^2+7y}+\frac{8}{12y^2-3}-\frac{2y+1}{6y^2-3y} \\ \frac{2y-1}{7y\left(2y+1\right)}+\frac{8}{3\left(4y^2-1\right)}-\frac{2y+11}{3y\left(2y-1\right)} \\ \frac{2y-1}{7y\left(2y+1\right)}+\frac{8}{3\left(2y-1\right)\left(2y+1\right)}-\frac{2y+11}{3y\left(2y-1\right)}=0 \end{gathered}$$

$\frac{3{\left(2y-1\right)}^2+8·7y-7{(2y+1)}^2}{7·3y(2y-1)(2y+1)}=0$$/·21y\left(2y-1\right)\left(2y+1\right)$

$$\begin{gathered} 3\left(4y^2-4y+1\right)+56y-7\left(4y^2+4y+1\right)=0 \\ 12y^2-12y+3+56y-28y^2-28y-7=0 \\ -16y^2+16y-4=0 /:(-4) \\ 4y^2-4y+1=0 \\ {(2y-1)}^2=0 \\ 2y-1=0 \\ 2y=1 \\ y=0,5 \end{gathered}$$

Если y=0,5, то $y\left(2y-1\right)(2y+1)=0,5(2·0,5-1)(2·0,5+1)=0$

Ответ: нет корней.

$$\begin{gathered} \frac{3}{x^2-9}-\frac{1}{9-6x+x^2}-\frac{3}{2x^2+6x} \\ \frac{3}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}-\frac{1}{{\left(x-3\right)}^2}-\frac{3}{2x\left(x+3\right)}=0 \end{gathered}$$

$\frac{3·2x\left(x-3\right)-2x\left(x+3\right)-3{\left(x-3\right)}^2}{2x{\left(x-3\right)}^2\left(x+3\right)}=0$$/·2x{\left(x-3\right)}^2\left(x+3\right)$

$$\begin{gathered} 6x^2-18x-2x^2-6x-3(x^2-6x+9)=0 \\ 4x^2-24x-3x^2+18x-27=0 \\ {x}^2-6x-27=0 \\ D={\left(-6\right)}^2-4·1·\left(-27\right)=36+108=144 \\ x=\frac{6\pm \sqrt{144}}{2};x=\frac{6\pm 12}{2} \\ {x}_1=9; x_2=-3 \end{gathered}$$

Если x=9, то $9(9-3{)}^2(9+3)\ne 0,$

если x=-3, то $-3·{(-3-3)}^2(-3+3)=0$

Ответ: 9

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{д) }}\frac{9x+12}{x^2-64}-\frac{1}{x^2+4x+16}-\frac{1}{x-4} \\ \frac{9x+12}{\left(x-4\right)(x^2+4x+16)}-\frac{1}{x^2+4x+16}-\frac{1}{x-4}=0 \\ \frac{9x+12-\left(x-4\right)-(x^2+4x+16)}{\left(x-4\right)(x^2+4x+16)}=0 \end{gathered}$$

$\frac{9x+12-x+4-x^2-4x-16}{(x-4)(x^2+4x+16)}=0$$/·\left(x-4\right)(x^2+4x+16)$

$$\begin{gathered} -x^2+4x=0 \\ -x\left(x-4\right)=0 \\ \begin{array}{ccc}x=0& \text{или}& x-4=0\\ & & x=4\end{array} \end{gathered}$$

Если x=0, то $(0-4)\left(0^2+4·0+16\right)=-64\ne 0$

Если x=4, то $(4-4)\left(4^2+4·4+16\right)=0$

Ответ: 0

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{e) }}\frac{3}{8y^3+1}-\frac{1}{2y+1}-\frac{y+3}{4y^2-2y+1} \\ \frac{3}{\left(2y+1\right)(4y^2-2y+1)}-\frac{1}{2y+1}-\frac{y+3}{4y^2-2y+1}=0 \\ \frac{3-(4y^2-2y+1)-\left(y+3\right)\left(2y+1\right)}{\left(2y+1\right)(4y^2-2y+1)}=0 \end{gathered}$$

$\frac{3-4y^2+2y-1-(2y^2+y+6y+3)}{\left(2y+1\right)(4y^2-2y+1)}=0$$/·\left(2y+1\right)(4y^2-2y+1)$

$$\begin{gathered} 2-4y^2+2y-2y^2-7y-3=0 \\ -6y^2-5y-1=0 /·\left(-1\right) \\ 6y^2+5y+1=0 \\ D=5^2-4·6·1=25-24=1 \\ y=\frac{-5\pm \sqrt{1}}{12};y=\frac{-5\pm 1}{12} \\ {y}_1=-\frac{1}{3}; y_2=-\frac{1}{2} \end{gathered}$$

Если $y=-\frac{1}{3}$, то $8y^3+1=8·{\left(-\frac{1}{3}\right)}^3+1\ne 0,$

если $y=-\frac{1}{2}$, то $8y^3+1=8·{\left(-\frac{1}{2}\right)}^3+1\ne 0$

Ответ: $-\frac{1}{3}$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{ж) }}\frac{32}{x^3-2x^2-x+2}+\frac{1}{(x-1)(x-2)}=\frac{1}{x+1} \\ \frac{32}{x^2\left(x-2\right)-\left(x-2\right)}+\frac{1}{\left(x-1\right)\left(x-2\right)}-\frac{1}{x+1}=0 \\ \frac{32}{\left(x-2\right)(x^2-1)}+\frac{1}{\left(x-1\right)\left(x-2\right)}-\frac{1}{x+1}=0 \\ \frac{32}{\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+1\right)}+\frac{x+1}{\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+1\right)}- \\ -\frac{\left(x-2\right)\left(x-1\right)}{\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+1\right)}=0 /·\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+1\right) \\ 33+x-x^2+3x-2=0 \\ -x^2+4x+31=0 \\ D=4^2-4·\left(-1\right)·31=16+124=140 \\ x=\frac{-4\pm \sqrt{140}}{-2}; x=\frac{-4\pm \sqrt{35·4}}{-2} \\ x=\frac{-4\pm 2\sqrt{35}}{-2}; x=\frac{2\left(2\pm \sqrt{35}\right)}{-2} \\ {x}_1=2+\sqrt{35}; x_2=2-\sqrt{35} \end{gathered}$$

Если $x=2+\sqrt{35}x=2+\backslash sqrt\{35\}$, то $\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+1\right)\mathrm{\ne }0(x-2)(x-1)(x+1)\backslash neq\; 0$,

если $x=2-\sqrt{35}x=2-\backslash sqrt\{35\}$, то $\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+1\right)\mathrm{\ne }0(x-2)(x-1)(x+1)\backslash neq\; 0$

Ответ: $2+\sqrt{35}2+\backslash sqrt\{35\}$, $2-\sqrt{35}2-\backslash sqrt\{35\}$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{з) }}\frac{1}{3\left(x-4\right)}+\frac{1}{2\left(x^2+3\right)}+\frac{1}{x^3-4x^2+3x-12}=0 \\ \frac{1}{3\left(x-4\right)}+\frac{1}{2\left(x^2+3\right)}+\frac{1}{x^2\left(x-4\right)+3\left(x-4\right)}=0 \\ \frac{1}{3\left(x-4\right)}+\frac{1}{2\left(x^2+3\right)}+\frac{1}{\left(x^2+3\right)\left(x-4\right)}=0 \\ \frac{2\left(x^2+3\right)+3\left(x-4\right)+6}{3·2\left(x^2+3\right)\left(x-4\right)}=0\mathrm{/}·6\left(x^2+3\right)\left(x-4\right) \\ 2x^2+6+3x-12+6=0 \\ 2x^2+3x=0 \\ x\left(2x+3\right)=0 \\ \begin{array}{ccl}x=0& \text{или}& 2x+3=0\\ & & 2x=-3 \\ x=-1,5\end{array} \end{gathered}$$

Если $x=0x=0$, то $\left(x^2+3\right)\left(x-4\right)=\left(0^2+3\right)\left(0-4\right)\mathrm{\ne }0(x^2+3)(x-4)=(0^2+3)(0-4)\backslash neq\; 0$,

если $x=-1,5x=-1,5$, то $\left(x^2+3\right)\left(x-4\right)=\left({\left(-1,5\right)}^2+3\right)\left(-1,5-4\right)\ne 0$

Ответ: -1,5; 0

а) $\frac{2x + 1}{2x - 1} - \frac{3(2x - 1)}{7(2x + 1)} + \frac{8}{1 - 4x^2} = 0$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели не должны равняться нулю: $2x - 1 \neq 0$, $2x + 1 \neq 0$, $1 - 4x^2 \neq 0$. Отсюда следует, что $x \neq \frac{1}{2}$ и $x \neq -\frac{1}{2}$.

Преобразуем знаменатель последней дроби, используя формулу разности квадратов: $1 - 4x^2 = -(4x^2 - 1) = -(2x - 1)(2x + 1)$.

Подставим это в уравнение:

$\frac{2x + 1}{2x - 1} - \frac{3(2x - 1)}{7(2x + 1)} - \frac{8}{(2x - 1)(2x + 1)} = 0$

Общий знаменатель для всех дробей — $7(2x - 1)(2x + 1)$. Умножим обе части уравнения на общий знаменатель, чтобы избавиться от дробей:

$7(2x + 1)(2x + 1) - 3(2x - 1)(2x - 1) - 8 \cdot 7 = 0$

$7(2x + 1)^2 - 3(2x - 1)^2 - 56 = 0$

Раскроем скобки, используя формулы квадрата суммы и квадрата разности:

$7(4x^2 + 4x + 1) - 3(4x^2 - 4x + 1) - 56 = 0$

$28x^2 + 28x + 7 - 12x^2 + 12x - 3 - 56 = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$(28-12)x^2 + (28+12)x + (7-3-56) = 0$

$16x^2 + 40x - 52 = 0$

Разделим все уравнение на 4 для упрощения:

$4x^2 + 10x - 13 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 10^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-13) = 100 + 208 = 308$

Найдем корни: $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$

$x = \frac{-10 \pm \sqrt{308}}{2 \cdot 4} = \frac{-10 \pm \sqrt{4 \cdot 77}}{8} = \frac{-10 \pm 2\sqrt{77}}{8} = \frac{-5 \pm \sqrt{77}}{4}$

Полученные корни $x_1 = \frac{-5 + \sqrt{77}}{4}$ и $x_2 = \frac{-5 - \sqrt{77}}{4}$ не равны $\pm \frac{1}{2}$, значит, они удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $\frac{-5 \pm \sqrt{77}}{4}$.

б) $\frac{y}{y^2 - 9} - \frac{1}{y^2 + 3y} + \frac{3}{6y + 2y^2} = 0$

Разложим знаменатели на множители:

$y^2 - 9 = (y - 3)(y + 3)$

$y^2 + 3y = y(y + 3)$

$6y + 2y^2 = 2y(3 + y)$

ОДЗ: $y \neq 0$, $y \neq 3$, $y \neq -3$.

Перепишем уравнение: $\frac{y}{(y - 3)(y + 3)} - \frac{1}{y(y + 3)} + \frac{3}{2y(y + 3)} = 0$.

Общий знаменатель $2y(y - 3)(y + 3)$. Умножим на него обе части уравнения:

$y \cdot 2y - 1 \cdot 2(y - 3) + 3 \cdot (y - 3) = 0$

$2y^2 - 2(y - 3) + 3(y - 3) = 0$

$2y^2 + (y-3) = 0$

$2y^2 + y - 3 = 0$

Решим квадратное уравнение: $D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 1 + 24 = 25 = 5^2$.

$y = \frac{-1 \pm 5}{4}$

$y_1 = \frac{-1 + 5}{4} = 1$; $y_2 = \frac{-1 - 5}{4} = -\frac{6}{4} = -\frac{3}{2}$.

Оба корня ($1$ и $-\frac{3}{2}$) входят в ОДЗ.

Ответ: $1; -\frac{3}{2}$.

в) $\frac{2y - 1}{14y^2 + 7y} + \frac{8}{12y^2 - 3} = \frac{2y + 1}{6y^2 - 3y}$

Разложим знаменатели на множители:

$14y^2 + 7y = 7y(2y + 1)$

$12y^2 - 3 = 3(4y^2 - 1) = 3(2y - 1)(2y + 1)$

$6y^2 - 3y = 3y(2y - 1)$

ОДЗ: $y \neq 0$, $y \neq \frac{1}{2}$, $y \neq -\frac{1}{2}$.

Общий знаменатель $21y(2y - 1)(2y + 1)$. Умножим на него обе части уравнения:

$3(2y - 1)(2y - 1) + 8 \cdot 7y = 7(2y + 1)(2y + 1)$

$3(2y - 1)^2 + 56y = 7(2y + 1)^2$

$3(4y^2 - 4y + 1) + 56y = 7(4y^2 + 4y + 1)$

$12y^2 - 12y + 3 + 56y = 28y^2 + 28y + 7$

$12y^2 + 44y + 3 = 28y^2 + 28y + 7$

Перенесем все члены в правую часть:

$(28-12)y^2 + (28-44)y + (7-3) = 0$

$16y^2 - 16y + 4 = 0$

Разделим на 4: $4y^2 - 4y + 1 = 0$.

Это полный квадрат: $(2y - 1)^2 = 0$.

Отсюда $2y - 1 = 0$, то есть $y = \frac{1}{2}$.

Этот корень не удовлетворяет ОДЗ, так как $y \neq \frac{1}{2}$. Следовательно, он является посторонним.

Ответ: корней нет.

г) $\frac{3}{x^2 - 9} - \frac{1}{9 - 6x + x^2} = \frac{3}{2x^2 + 6x}$

Разложим знаменатели на множители:

$x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$

$9 - 6x + x^2 = (x - 3)^2$

$2x^2 + 6x = 2x(x + 3)$

ОДЗ: $x \neq 0$, $x \neq 3$, $x \neq -3$.

Общий знаменатель $2x(x - 3)^2(x + 3)$. Умножим на него:

$3 \cdot 2x(x - 3) - 1 \cdot 2x(x + 3) = 3 \cdot (x - 3)^2$

$6x^2 - 18x - (2x^2 + 6x) = 3(x^2 - 6x + 9)$

$6x^2 - 18x - 2x^2 - 6x = 3x^2 - 18x + 27$

$4x^2 - 24x = 3x^2 - 18x + 27$

$x^2 - 6x - 27 = 0$

По теореме Виета, сумма корней равна 6, а их произведение -27. Это корни $x_1 = 9$ и $x_2 = -3$.

Корень $x = -3$ не входит в ОДЗ, поэтому является посторонним. Корень $x = 9$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $9$.

д) $\frac{9x + 12}{x^3 - 64} - \frac{1}{x^2 + 4x + 16} = \frac{1}{x - 4}$

Разложим знаменатель $x^3 - 64$ по формуле разности кубов: $x^3 - 4^3 = (x - 4)(x^2 + 4x + 16)$.

ОДЗ: $x - 4 \neq 0$, т.е. $x \neq 4$. (Выражение $x^2 + 4x + 16$ всегда положительно, т.к. его дискриминант отрицателен).

Общий знаменатель $(x - 4)(x^2 + 4x + 16)$. Умножим на него:

$(9x + 12) - 1(x - 4) = 1(x^2 + 4x + 16)$

$9x + 12 - x + 4 = x^2 + 4x + 16$

$8x + 16 = x^2 + 4x + 16$

$x^2 - 4x = 0$

$x(x - 4) = 0$

Корни: $x_1 = 0$ и $x_2 = 4$.

Корень $x = 4$ не входит в ОДЗ. Корень $x = 0$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $0$.

е) $\frac{3}{8y^3 + 1} - \frac{1}{2y + 1} = \frac{y + 3}{4y^2 - 2y + 1}$

Разложим $8y^3 + 1$ по формуле суммы кубов: $(2y)^3 + 1^3 = (2y + 1)(4y^2 - 2y + 1)$.

ОДЗ: $2y + 1 \neq 0$, т.е. $y \neq -\frac{1}{2}$. (Выражение $4y^2 - 2y + 1$ всегда положительно).

Общий знаменатель $(2y + 1)(4y^2 - 2y + 1)$. Умножим на него:

$3 - 1(4y^2 - 2y + 1) = (y + 3)(2y + 1)$

$3 - 4y^2 + 2y - 1 = 2y^2 + y + 6y + 3$

$-4y^2 + 2y + 2 = 2y^2 + 7y + 3$

$6y^2 + 5y + 1 = 0$

Решим квадратное уравнение: $D = 5^2 - 4 \cdot 6 \cdot 1 = 25 - 24 = 1$.

$y = \frac{-5 \pm \sqrt{1}}{12} = \frac{-5 \pm 1}{12}$

$y_1 = \frac{-4}{12} = -\frac{1}{3}$; $y_2 = \frac{-6}{12} = -\frac{1}{2}$.

Корень $y = -\frac{1}{2}$ не входит в ОДЗ. Корень $y = -\frac{1}{3}$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $-\frac{1}{3}$.

ж) $\frac{32}{x^3 - 2x^2 - x + 2} + \frac{1}{(x - 1)(x - 2)} = \frac{1}{x + 1}$

Разложим знаменатель $x^3 - 2x^2 - x + 2$ на множители: $x^2(x - 2) - (x - 2) = (x^2 - 1)(x - 2) = (x - 1)(x + 1)(x - 2)$.

ОДЗ: $x \neq 1$, $x \neq -1$, $x \neq 2$.

Общий знаменатель $(x - 1)(x + 1)(x - 2)$. Умножим на него:

$32 + 1(x + 1) = 1(x - 1)(x - 2)$

$x + 33 = x^2 - 2x - x + 2$

$x + 33 = x^2 - 3x + 2$

$x^2 - 4x - 31 = 0$

Решим квадратное уравнение: $D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-31) = 16 + 124 = 140$.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{140}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{35}}{2} = 2 \pm \sqrt{35}$.

Оба корня $x_1 = 2 + \sqrt{35}$ и $x_2 = 2 - \sqrt{35}$ удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $2 \pm \sqrt{35}$.

з) $\frac{1}{3(x - 4)} + \frac{1}{2(x^2 + 3)} + \frac{1}{x^3 - 4x^2 + 3x - 12} = 0$

Разложим знаменатель $x^3 - 4x^2 + 3x - 12$ на множители: $x^2(x - 4) + 3(x - 4) = (x - 4)(x^2 + 3)$.

ОДЗ: $x - 4 \neq 0$, т.е. $x \neq 4$. (Выражение $x^2 + 3$ всегда положительно).

Общий знаменатель $6(x - 4)(x^2 + 3)$. Умножим на него:

$1 \cdot 2(x^2 + 3) + 1 \cdot 3(x - 4) + 1 \cdot 6 = 0$

$2x^2 + 6 + 3x - 12 + 6 = 0$

$2x^2 + 3x = 0$

$x(2x + 3) = 0$

Корни: $x_1 = 0$ и $2x + 3 = 0 \Rightarrow x_2 = -\frac{3}{2}$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $0; -\frac{3}{2}$.