Номер 798, страница 179 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 9. Дополнительные упражнения к главе III. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 798, страница 179.

798. Решите уравнение:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}\frac{x+1}{6}+\frac{20}{x-1}=4 /·6\left(x-1\right) \\ \left(x+1\right)\left(x-1\right)+20·6=24\left(x-1\right) \\ {x}^2-1+120=24x-24 \\ {x}^2-24x+24-1+120=0 \\ {x}^2-24x+143=0 \\ D={\left(-24\right)}^2-4·1·143=576-572=4 \\ x=\frac{24\pm \sqrt{4}}{2}; x=\frac{24\pm 2}{2} \\ {x}_1=13; x_2=11 \end{gathered}$$

Если x=13, то x-1=13-1=12≠0,

если x=11, то x-1=11-1=10≠0

Ответ: 11; 13

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}\frac{x+15}{4}-\frac{21}{x+2}=2 /·4\left(x+2\right) \\ \left(x+15\right)\left(x+2\right)-21·4=8\left(x+2\right) \\ {x}^2+2x+15x+30-84=8x+16 \\ {x}^2+17x-54-8x-16=0 \\ {x}^2+9x-70=0 \\ D=9^2-4·1·\left(-70\right)=81+280=361 \\ x=\frac{-9\pm \sqrt{361}}{2}; x=\frac{-9\pm 19}{2} \\ {x}_1=5; x_2=-14 \end{gathered}$$

Если x=5, то x+2=5+2=7≠0,

если x=-14, то x+2=-14+2=-12≠0

Ответ: -14; 5

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}\frac{12}{x-1}-\frac{8}{x+1}=1 /·\left(x-1\right)\left(x+1\right) \\ 12\left(x+1\right)-8\left(x-1\right)=\left(x-1\right)\left(x+1\right) \\ 12x+12-8x+8=x^2-1 \\ 4x+20=x^2-1 \\ {x}^2-4x-20-1=0 \\ {x}^2-4x-21=0 \\ D={\left(-4\right)}^2-4·1·\left(-21\right)=16+84=100 \\ x=\frac{4\pm \sqrt{100}}{2}; x=\frac{4\pm 10}{2} \\ {x}_1=7; x_2=-3 \end{gathered}$$

Если x = 7, то $x^2-1=7^2-1=49-1=48\ne 0,$

если x=-14, то $x^2-1=(-3)-1=9-1=8\ne 0$

Ответ: -3; 7

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г) }}\frac{16}{x-3}+\frac{30}{1-x}=3 /·\left(x-3\right)\left(1-x\right) \\ 16\left(1-x\right)+30\left(x-3\right)=3\left(x-3\right)\left(1-x\right) \\ 16-16x+30x-90=3\left(x-x^2-3+3x\right) \\ 16+14x-90=3\left(4x-x^2-3\right) \\ 14x-74=12x-3x^2-9 \\ 3x^2+14x-74-12x+9=0 \\ 3x^2+2x-65=0 \\ D=2^2-4·3·\left(-65\right)=4+780=784 \\ x=\frac{-2\pm \sqrt{784}}{6}; x=\frac{-2\pm 28}{6} \\ {x}_1=\frac{26}{6}=\frac{13}{3}=4\frac{1}{3} \\ {x}_2=-5 \end{gathered}$$

Если $x=4\frac{1}{3}x\; =\; 4\backslash frac\{1\}\{3\}$, то $\left(x-3\right)\left(1-x\right)=\left(4\frac{1}{3}-3\right)\left(1-4\frac{1}{3}\right)\ne 0,$

если $x=-5x\; =\; -5$, то $\left(x-3\right)\left(1-x\right)=\left(-5-3\right)\left(1+5\right)\ne 0$

Ответ: -5; $4\frac{1}{3}4\backslash frac\{1\}\{3\}$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{д) }}\frac{3}{1-x}+\frac{1}{1+x}=\frac{28}{1-x^2} /·\left(1-x\right)\left(1+x\right) \\ 3\left(1+x\right)+\left(1-x\right)=28 \\ 3+3x+1-x=28 \\ 2x+4=28 \\ 2x=24 \\ x=12 \end{gathered}$$

если $x=12x\; =\; 12$, то $\left(1-12\right)\left(1+12\right)\mathrm{\ne }0(1-12)(1+12)\; \backslash neq\; 0$

Ответ: 12

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{e) }}\frac{5}{x-2}-\frac{3}{x+2}=\frac{20}{x^2-4} /·\left(x-2\right)\left(x+2\right) \\ 5\left(x+2\right)-3\left(x-2\right)=20 \\ 5x+10-3x+6=20 \\ 2x=20-10-6 \\ 2x=4 \\ x=2 \end{gathered}$$

Если $x=2x\; =\; 2$, то $\left(2-2\right)\left(2+2\right)=0(2-2)(2+2)\; =\; 0$

Ответ: нет корней

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{ж) }}\frac{x+2}{x+1}+\frac{x+3}{x-2}=\frac{29}{(x+1)(x-2)} /·\left(x+1\right)\left(x-2\right) \\ \left(x+2\right)\left(x-2\right)+\left(x+3\right)\left(x+1\right)=29 \\ {x}^2-4+x^2+x+3x+3-29=0 \\ 2x^2+4x-30=0 /:2 \\ {x}^2+2x-15=0 \\ D=2^2-4·1·\left(-15\right)=4+60=64 \\ x=\frac{-2\pm \sqrt{64}}{2}; x=\frac{-2\pm 8}{2} \\ {x}_1=3; x_2=-5 \end{gathered}$$

Если $x=3x\; =\; 3$, то $\left(x+1\right)\left(x-2\right)=\left(3+1\right)\left(3-2\right)\ne 0,$

если $x=-5x\; =\; -5$, то $\left(x+1\right)\left(x-2\right)=\left(-5+1\right)\left(-5-2\right)\mathrm{\ne }0(x+1)(x-2)\; =\; (-5+1)(-5-2)\; \backslash neq\; 0$

Ответ: -5; 3

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{з) }}\frac{x+2}{x+3}-\frac{x+1}{x-1}=\frac{4}{\left(x+3\right)\left(x-1\right)} /·\left(x+3\right)\left(x-1\right) \\ \left(x+2\right)\left(x-1\right)-\left(x+1\right)\left(x+3\right)=4 \\ {x}^2-x+2x-2-\left(x^2+3x+x+3\right)=4 \\ {x}^2+x-2-x^2-4x-3-4=0 \\ -3x-9=4 \\ -3x=9 \\ x=-3 \end{gathered}$$

Если $x=-3x\; =\; -3$, то $\left(x+3\right)\left(x-1\right)=\left(-3+3\right)\left(-3-1\right)=0$

Ответ: нет корней

а) $\frac{x+1}{6} + \frac{20}{x-1} = 4$

Область допустимых значений (ОДЗ): знаменатель $x-1$ не должен быть равен нулю, поэтому $x \neq 1$.

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $6(x-1)$, чтобы избавиться от дробей:

$(x+1)(x-1) + 20 \cdot 6 = 4 \cdot 6(x-1)$

Раскроем скобки и упростим:

$x^2 - 1 + 120 = 24(x-1)$

$x^2 + 119 = 24x - 24$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 - 24x + 119 + 24 = 0$

$x^2 - 24x + 143 = 0$

Решим это уравнение. Можно использовать теорему Виета ($x_1+x_2 = 24$, $x_1 \cdot x_2 = 143$) или формулу для корней через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-24)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 143 = 576 - 572 = 4$

Корни уравнения:

$x_1 = \frac{24 + \sqrt{4}}{2} = \frac{24 + 2}{2} = \frac{26}{2} = 13$

$x_2 = \frac{24 - \sqrt{4}}{2} = \frac{24 - 2}{2} = \frac{22}{2} = 11$

Оба корня, 11 и 13, удовлетворяют ОДЗ ($x \neq 1$).

Ответ: 11; 13.

б) $\frac{x+15}{4} - \frac{21}{x+2} = 2$

ОДЗ: $x+2 \neq 0$, следовательно $x \neq -2$.

Общий знаменатель $4(x+2)$. Умножим на него обе части уравнения:

$(x+15)(x+2) - 21 \cdot 4 = 2 \cdot 4(x+2)$

Раскроем скобки и упростим:

$x^2 + 2x + 15x + 30 - 84 = 8(x+2)$

$x^2 + 17x - 54 = 8x + 16$

Приведем к стандартному виду:

$x^2 + 17x - 8x - 54 - 16 = 0$

$x^2 + 9x - 70 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета: $x_1+x_2 = -9$, $x_1 \cdot x_2 = -70$. Корни 5 и -14.

Проверим через дискриминант:

$D = 9^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-70) = 81 + 280 = 361 = 19^2$

$x_1 = \frac{-9 + 19}{2} = \frac{10}{2} = 5$

$x_2 = \frac{-9 - 19}{2} = \frac{-28}{2} = -14$

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x \neq -2$).

Ответ: -14; 5.

в) $\frac{12}{x-1} - \frac{8}{x+1} = 1$

ОДЗ: $x-1 \neq 0$ и $x+1 \neq 0$, следовательно $x \neq 1$ и $x \neq -1$.

Общий знаменатель $(x-1)(x+1)$. Умножим на него обе части уравнения:

$12(x+1) - 8(x-1) = 1 \cdot (x-1)(x+1)$

Раскроем скобки:

$12x + 12 - 8x + 8 = x^2 - 1$

$4x + 20 = x^2 - 1$

Приведем к стандартному виду:

$x^2 - 4x - 21 = 0$

По теореме Виета: $x_1+x_2 = 4$, $x_1 \cdot x_2 = -21$. Корни 7 и -3.

Проверим через дискриминант:

$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-21) = 16 + 84 = 100 = 10^2$

$x_1 = \frac{4 + 10}{2} = \frac{14}{2} = 7$

$x_2 = \frac{4 - 10}{2} = \frac{-6}{2} = -3$

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x \neq 1, x \neq -1$).

Ответ: -3; 7.

г) $\frac{16}{x-3} + \frac{30}{1-x} = 3$

ОДЗ: $x-3 \neq 0$ и $1-x \neq 0$, следовательно $x \neq 3$ и $x \neq 1$.

Общий знаменатель $(x-3)(1-x)$. Умножим на него обе части уравнения:

$16(1-x) + 30(x-3) = 3(x-3)(1-x)$

Раскроем скобки:

$16 - 16x + 30x - 90 = 3(x - x^2 - 3 + 3x)$

$14x - 74 = 3(-x^2 + 4x - 3)$

$14x - 74 = -3x^2 + 12x - 9$

Приведем к стандартному виду:

$3x^2 + 14x - 12x - 74 + 9 = 0$

$3x^2 + 2x - 65 = 0$

Решим через дискриминант:

$D = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-65) = 4 + 780 = 784 = 28^2$

$x_1 = \frac{-2 + 28}{2 \cdot 3} = \frac{26}{6} = \frac{13}{3}$

$x_2 = \frac{-2 - 28}{2 \cdot 3} = \frac{-30}{6} = -5$

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x \neq 3, x \neq 1$).

Ответ: -5; $\frac{13}{3}$.

д) $\frac{3}{1-x} + \frac{1}{1+x} = \frac{28}{1-x^2}$

ОДЗ: $1-x \neq 0$ и $1+x \neq 0$, следовательно $x \neq 1$ и $x \neq -1$.

Заметим, что $1-x^2 = (1-x)(1+x)$. Это общий знаменатель. Умножим на него обе части:

$3(1+x) + 1(1-x) = 28$

Раскроем скобки и решим линейное уравнение:

$3 + 3x + 1 - x = 28$

$2x + 4 = 28$

$2x = 24$

$x = 12$

Корень $x=12$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: 12.

е) $\frac{5}{x-2} - \frac{3}{x+2} = \frac{20}{x^2-4}$

ОДЗ: $x-2 \neq 0$ и $x+2 \neq 0$, следовательно $x \neq 2$ и $x \neq -2$.

Общий знаменатель $x^2-4 = (x-2)(x+2)$. Умножим на него обе части:

$5(x+2) - 3(x-2) = 20$

Раскроем скобки и решим:

$5x + 10 - 3x + 6 = 20$

$2x + 16 = 20$

$2x = 4$

$x = 2$

Полученный корень $x=2$ не удовлетворяет ОДЗ ($x \neq 2$). Следовательно, это посторонний корень.

Ответ: корней нет.

ж) $\frac{x+2}{x+1} + \frac{x+3}{x-2} = \frac{29}{(x+1)(x-2)}$

ОДЗ: $x+1 \neq 0$ и $x-2 \neq 0$, следовательно $x \neq -1$ и $x \neq 2$.

Общий знаменатель $(x+1)(x-2)$. Умножим на него обе части:

$(x+2)(x-2) + (x+3)(x+1) = 29$

Раскроем скобки:

$(x^2 - 4) + (x^2 + x + 3x + 3) = 29$

$x^2 - 4 + x^2 + 4x + 3 = 29$

$2x^2 + 4x - 1 = 29$

$2x^2 + 4x - 30 = 0$

Разделим уравнение на 2:

$x^2 + 2x - 15 = 0$

По теореме Виета: $x_1+x_2 = -2$, $x_1 \cdot x_2 = -15$. Корни 3 и -5.

$x_1 = 3$, $x_2 = -5$

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: -5; 3.

з) $\frac{x+2}{x+3} - \frac{x+1}{x-1} = \frac{4}{(x+3)(x-1)}$

ОДЗ: $x+3 \neq 0$ и $x-1 \neq 0$, следовательно $x \neq -3$ и $x \neq 1$.

Общий знаменатель $(x+3)(x-1)$. Умножим на него обе части:

$(x+2)(x-1) - (x+1)(x+3) = 4$

Раскроем скобки, обращая внимание на знак "минус" перед второй скобкой:

$(x^2 - x + 2x - 2) - (x^2 + 3x + x + 3) = 4$

$(x^2 + x - 2) - (x^2 + 4x + 3) = 4$

$x^2 + x - 2 - x^2 - 4x - 3 = 4$

$-3x - 5 = 4$

$-3x = 9$

$x = -3$

Полученный корень $x=-3$ не удовлетворяет ОДЗ ($x \neq -3$). Это посторонний корень.

Ответ: корней нет.