Номер 793, страница 179 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 8. Дополнительные упражнения к главе III. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 793, страница 179.

793. Разложите на множители квадратный трёхчлен:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}0,8x^2-19,8x-5=0 \\ D={\left(-19,8\right)}^2-4·0,8·\left(-5\right)=392,04+16=408,04 \\ x=\frac{19,8\pm \sqrt{408,04}}{1,6}; x=\frac{19,8\pm 20,2}{1,6} \\ {x}_1=\frac{40}{1,6}=\frac{400}{16}=25 \\ {x}_2=\frac{-0,4}{1,6}=-\frac{4}{16}=-\frac{1}{4} \\ 0,8x^2-19,8x-5=0,8\left(x-25\right)\left(x+\frac{1}{4}\right)= \\ =\left(x-25\right)\left(0,8x+0,2\right) \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}3,5-3\frac{1}{3}x+\frac{2}{3}{x}^2=0 \\ \frac{2}{3}{x}^2-\frac{10}{3}x+3,5=0\mathrm{/}·3 \\ 2x^2-10x+10,5=0 \\ D={\left(-10\right)}^2-4·2·10,5=100-84=16 \\ x=\frac{10\pm \sqrt{16}}{4}; x=\frac{10\pm 4}{4} \\ {x}_1=\frac{14}{4}=\frac{7}{2}=3,5 \\ {x}_2=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}=1,5 \\ 2x^2-10x+3,5=\frac{2}{3}\left(x-3,5\right)\left(x-1,5\right)= \\ =\left(2x-7\right)\left(\frac{x}{3}-0,5\right) \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}{x}^2+x\sqrt{2}-2=0 \\ D={\left(\sqrt{2}\right)}^2-4·1·\left(-2\right)=2+8=10 \\ x=\frac{-\sqrt{2}\pm \sqrt{10}}{2} \\ {x}^2+x\sqrt{2}-2=\left(x-\frac{\sqrt{10}-\sqrt{2}}{2}\right)\left(x+\frac{\sqrt{10}+\sqrt{2}}{2}\right) \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г) }}{x}^2-x\sqrt{6}+1=0 \\ D={\left(-\sqrt{6}\right)}^2-4·1·1=6-4=2 \\ x=\frac{\sqrt{6}\pm \sqrt{2}}{2} \\ {x}^2-x\sqrt{6}+1=\left(x-\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}\right)\left(x-\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}\right) \end{gathered}$$

Для разложения квадратного трёхчлена вида $ax^2+bx+c$ на множители используется формула $a(x-x_1)(x-x_2)$, где $x_1$ и $x_2$ — это корни соответствующего квадратного уравнения $ax^2+bx+c=0$. Корни находятся по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$, где $D = b^2 - 4ac$ — дискриминант.

а) $0,8x^2 - 19,8x - 5$

Сначала решим квадратное уравнение $0,8x^2 - 19,8x - 5 = 0$.

Коэффициенты: $a = 0,8$, $b = -19,8$, $c = -5$.

Для удобства вычислений умножим уравнение на 10, чтобы избавиться от десятичных дробей: $8x^2 - 198x - 50 = 0$.

Сократим уравнение, разделив его на 2: $4x^2 - 99x - 25 = 0$.

Теперь найдем дискриминант $D$ для этого уравнения:

$D = b^2 - 4ac = (-99)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-25) = 9801 + 400 = 10201$.

Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{10201} = 101$.

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{99 + 101}{2 \cdot 4} = \frac{200}{8} = 25$.

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{99 - 101}{2 \cdot 4} = \frac{-2}{8} = -\frac{1}{4} = -0,25$.

Теперь подставим корни $x_1=25$ и $x_2=-0,25$ и коэффициент $a = 0,8$ в формулу разложения:

$0,8x^2 - 19,8x - 5 = 0,8(x - 25)(x - (-0,25)) = 0,8(x - 25)(x + 0,25)$.

Ответ: $0,8(x - 25)(x + 0,25)$.

б) $3,5 - 3\frac{1}{3}x + \frac{2}{3}x^2$

Перепишем трёхчлен в стандартном виде $ax^2+bx+c$:

$\frac{2}{3}x^2 - 3\frac{1}{3}x + 3,5$.

Решим соответствующее уравнение $\frac{2}{3}x^2 - 3\frac{1}{3}x + 3,5 = 0$.

Преобразуем коэффициенты в обыкновенные дроби: $a = \frac{2}{3}$, $b = -3\frac{1}{3} = -\frac{10}{3}$, $c = 3,5 = \frac{7}{2}$.

Уравнение примет вид: $\frac{2}{3}x^2 - \frac{10}{3}x + \frac{7}{2} = 0$.

Умножим обе части уравнения на наименьший общий знаменатель (6), чтобы избавиться от дробей:

$6 \cdot (\frac{2}{3}x^2 - \frac{10}{3}x + \frac{7}{2}) = 0 \implies 4x^2 - 20x + 21 = 0$.

Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-20)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 21 = 400 - 336 = 64$.

Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{64} = 8$.

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{20 + 8}{2 \cdot 4} = \frac{28}{8} = \frac{7}{2}$.

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{20 - 8}{2 \cdot 4} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}$.

Подставим корни и коэффициент $a = \frac{2}{3}$ в формулу разложения:

$\frac{2}{3}(x - \frac{7}{2})(x - \frac{3}{2})$.

Ответ: $\frac{2}{3}(x - \frac{7}{2})(x - \frac{3}{2})$.

в) $x^2 + x\sqrt{2} - 2$

Решим уравнение $x^2 + x\sqrt{2} - 2 = 0$.

Коэффициенты: $a = 1$, $b = \sqrt{2}$, $c = -2$.

Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (\sqrt{2})^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 2 + 8 = 10$.

Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{10}$.

Найдем корни уравнения:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-\sqrt{2} \pm \sqrt{10}}{2}$.

Корни: $x_1 = \frac{-\sqrt{2} + \sqrt{10}}{2}$ и $x_2 = \frac{-\sqrt{2} - \sqrt{10}}{2}$.

Так как $a=1$, формула разложения имеет вид $(x-x_1)(x-x_2)$. Подставляем найденные корни:

$(x - \frac{-\sqrt{2} + \sqrt{10}}{2})(x - \frac{-\sqrt{2} - \sqrt{10}}{2})$.

Упростим выражение, раскрыв внутренние скобки:

$(x + \frac{\sqrt{2} - \sqrt{10}}{2})(x + \frac{\sqrt{2} + \sqrt{10}}{2})$.

Ответ: $(x + \frac{\sqrt{2} - \sqrt{10}}{2})(x + \frac{\sqrt{2} + \sqrt{10}}{2})$.

г) $x^2 - x\sqrt{6} + 1$

Решим уравнение $x^2 - x\sqrt{6} + 1 = 0$.

Коэффициенты: $a = 1$, $b = -\sqrt{6}$, $c = 1$.

Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-\sqrt{6})^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 6 - 4 = 2$.

Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{2}$.

Найдем корни уравнения:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-\sqrt{6}) \pm \sqrt{2}}{2 \cdot 1} = \frac{\sqrt{6} \pm \sqrt{2}}{2}$.

Корни: $x_1 = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2}$ и $x_2 = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2}$.

Подставим корни в формулу разложения $(x-x_1)(x-x_2)$:

$(x - \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2})(x - \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2})$.

Ответ: $(x - \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2})(x - \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2})$.