Номер 789, страница 178 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 8. Дополнительные упражнения к главе III. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 789, страница 178.

789. Выделите квадрат двучлена из квадратного трёхчлена:

a) $2x^2-3x+7=2\left(x^2-\frac{3}{2}x+\frac{7}{2}\right)=$
$$\begin{gathered} =2\left(x^2-2·\frac{3}{4}x+{\left(\frac{3}{4}\right)}^2-{\left(\frac{3}{4}\right)}^2+\frac{7}{2}\right)= \\ =2\left({\left(x-\frac{3}{4}\right)}^2-\frac{9}{16}+\frac{56}{16}\right)=2\left({\left(x-\frac{3}{4}\right)}^2+\frac{47}{16}\right)= \\ =2{\left(x-\frac{3}{4}\right)}^2+\frac{47}{8}=2{\left(x-\frac{3}{4}\right)}^2+5\frac{7}{8} \end{gathered}$$

б) $-3x^2+4x-1=-3\left(x^2-\frac{4}{3}x+\frac{1}{3}\right)=$
$$\begin{gathered} =-3\left(x^2-2·\frac{2}{3}x+{\left(\frac{2}{3}\right)}^2-{\left(\frac{2}{3}\right)}^2+\frac{1}{3}\right)= \\ =-3\left({\left(x-\frac{2}{3}\right)}^2-\frac{4}{9}+\frac{3}{9}\right)=-3\left({\left(x-\frac{2}{3}\right)}^2-\frac{1}{9}\right)= \\ =-3{\left(x-\frac{2}{3}\right)}^2+\frac{1}{3} \end{gathered}$$

в) $5x^2-3x=5\left(x^2-\frac{3}{5}x\right)=5\left(x^2-2·\frac{3}{10}x\right)=$
$$\begin{gathered} =5\left(x^2-2·\frac{3}{10}x+{\left(\frac{3}{10}\right)}^2-{\left(\frac{3}{10}\right)}^2\right)= \\ =5\left({\left(x-\frac{3}{10}\right)}^2-\frac{9}{100}\right)=5{\left(x-\frac{3}{10}\right)}^2-\frac{9}{20} \end{gathered}$$

г) $-4x^2+8x=-\left(4x^2-8x\right)=-\left({\left(2x\right)}^2-2·2x·2\right)=$
$$\begin{gathered} =-\left({\left(2x\right)}^2-2·2x·2+2^2-2^2\right)= \\ =-\left({\left(2x-2\right)}^2-4\right)=-{\left(2x-2\right)}^2+4 \end{gathered}$$

а) $2x^2 - 3x + 7$

Для выделения квадрата двучлена из квадратного трехчлена $ax^2 + bx + c$ используется метод дополнения до полного квадрата. Этот метод основан на формулах квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ и квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

1. Вынесем коэффициент при $x^2$ за скобки из первых двух слагаемых:

$2x^2 - 3x + 7 = 2(x^2 - \frac{3}{2}x) + 7$.

2. В выражении в скобках $x^2 - \frac{3}{2}x$ член $-\frac{3}{2}x$ должен стать удвоенным произведением первого слагаемого ($x$) на второе. Чтобы найти второе слагаемое, разделим коэффициент при $x$ на 2: $(-\frac{3}{2}) \div 2 = -\frac{3}{4}$.

3. Чтобы получить полный квадрат, нам нужно добавить и вычесть квадрат второго слагаемого, то есть $(\frac{3}{4})^2 = \frac{9}{16}$, внутри скобок:

$2(x^2 - 2 \cdot x \cdot \frac{3}{4} + \frac{9}{16} - \frac{9}{16}) + 7$.

4. Первые три слагаемых в скобках теперь образуют полный квадрат разности $(x - \frac{3}{4})^2$:

$2((x - \frac{3}{4})^2 - \frac{9}{16}) + 7$.

5. Раскроем скобки, умножив 2 на каждое слагаемое внутри них:

$2(x - \frac{3}{4})^2 - 2 \cdot \frac{9}{16} + 7 = 2(x - \frac{3}{4})^2 - \frac{18}{16} + 7 = 2(x - \frac{3}{4})^2 - \frac{9}{8} + 7$.

6. Приведем свободные члены к общему знаменателю и сложим их:

$-\frac{9}{8} + 7 = -\frac{9}{8} + \frac{56}{8} = \frac{47}{8}$.

В результате получаем:

$2(x - \frac{3}{4})^2 + \frac{47}{8}$.

Ответ: $2(x - \frac{3}{4})^2 + \frac{47}{8}$.

б) $-3x^2 + 4x - 1$

1. Вынесем коэффициент при $x^2$ за скобки:

$-3(x^2 - \frac{4}{3}x) - 1$.

2. Найдем второе слагаемое для полного квадрата, разделив коэффициент при $x$ на 2: $(-\frac{4}{3}) \div 2 = -\frac{2}{3}$.

3. Добавим и вычтем квадрат этого слагаемого, $(-\frac{2}{3})^2 = \frac{4}{9}$, внутри скобок:

$-3(x^2 - \frac{4}{3}x + \frac{4}{9} - \frac{4}{9}) - 1$.

4. Свернем первые три слагаемых в скобках в полный квадрат:

$-3((x - \frac{2}{3})^2 - \frac{4}{9}) - 1$.

5. Раскроем скобки:

$-3(x - \frac{2}{3})^2 - (-3) \cdot \frac{4}{9} - 1 = -3(x - \frac{2}{3})^2 + \frac{12}{9} - 1 = -3(x - \frac{2}{3})^2 + \frac{4}{3} - 1$.

6. Сложим свободные члены:

$\frac{4}{3} - 1 = \frac{4}{3} - \frac{3}{3} = \frac{1}{3}$.

Итоговое выражение:

$-3(x - \frac{2}{3})^2 + \frac{1}{3}$.

Ответ: $-3(x - \frac{2}{3})^2 + \frac{1}{3}$.

в) $5x^2 - 3x$

1. Вынесем коэффициент 5 за скобки:

$5(x^2 - \frac{3}{5}x)$.

2. Найдем второе слагаемое для полного квадрата: $(-\frac{3}{5}) \div 2 = -\frac{3}{10}$.

3. Добавим и вычтем квадрат этого слагаемого, $(-\frac{3}{10})^2 = \frac{9}{100}$, внутри скобок:

$5(x^2 - \frac{3}{5}x + \frac{9}{100} - \frac{9}{100})$.

4. Свернем полный квадрат:

$5((x - \frac{3}{10})^2 - \frac{9}{100})$.

5. Раскроем скобки:

$5(x - \frac{3}{10})^2 - 5 \cdot \frac{9}{100} = 5(x - \frac{3}{10})^2 - \frac{45}{100}$.

6. Сократим дробь $\frac{45}{100}$ на 5: $\frac{9}{20}$.

Итоговое выражение:

$5(x - \frac{3}{10})^2 - \frac{9}{20}$.

Ответ: $5(x - \frac{3}{10})^2 - \frac{9}{20}$.

г) $-4x^2 + 8x$

1. Вынесем коэффициент -4 за скобки:

$-4(x^2 - 2x)$.

2. Найдем второе слагаемое для полного квадрата: $(-2) \div 2 = -1$.

3. Добавим и вычтем квадрат этого слагаемого, $(-1)^2 = 1$, внутри скобок:

$-4(x^2 - 2x + 1 - 1)$.

4. Свернем полный квадрат:

$-4((x - 1)^2 - 1)$.

5. Раскроем скобки:

$-4(x - 1)^2 - (-4) \cdot 1 = -4(x - 1)^2 + 4$.

Ответ: $-4(x - 1)^2 + 4$.