Номер 784, страница 178 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 8. Дополнительные упражнения к главе III. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 784, страница 178.

784. Составьте какой-нибудь квадратный трёхчлен, корнями которого являются числа:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}{x}_1=-7; x_2=2 \\ -p=x_1+x_2=-7+2=-5; p=5 \\ q=x_1·x_2=-7·2=-14 \\ {x}^2+5x-14 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}{x}_1=3-\sqrt{2}; x_2=3+\sqrt{2} \\ -p=x_1+x_2=3-\sqrt{2}+3+\sqrt{2}=6; p=-6 \\ q=x_1·x_2=\left(3-\sqrt{2}\right)\left(3+\sqrt{2}\right)=9-4=5 \\ {x}^2-6x+5 \end{gathered}$$

Чтобы составить квадратный трёхчлен по его корням $x_1$ и $x_2$, можно использовать формулу, основанную на обратной теореме Виета. Если выбрать старший коэффициент равным 1 (такой трёхчлен называется приведённым), то формула будет выглядеть так: $x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1x_2$.

а) Даны корни $x_1 = -7$ и $x_2 = 2$.
Найдём сумму корней: $x_1 + x_2 = -7 + 2 = -5$.
Найдём произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = -7 \cdot 2 = -14$.
Теперь подставим найденные значения в формулу:
$x^2 - (-5)x + (-14) = x^2 + 5x - 14$.
Ответ: $x^2 + 5x - 14$.

б) Даны корни $x_1 = 3 - \sqrt{2}$ и $x_2 = 3 + \sqrt{2}$.
Найдём сумму корней: $x_1 + x_2 = (3 - \sqrt{2}) + (3 + \sqrt{2}) = 3 - \sqrt{2} + 3 + \sqrt{2} = 6$.
Найдём произведение корней, используя формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$:
$x_1 \cdot x_2 = (3 - \sqrt{2})(3 + \sqrt{2}) = 3^2 - (\sqrt{2})^2 = 9 - 2 = 7$.
Подставим найденные значения в формулу:
$x^2 - (6)x + 7 = x^2 - 6x + 7$.
Ответ: $x^2 - 6x + 7$.