Номер 780, страница 177 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 7. Дополнительные упражнения к главе III. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 780, страница 177.

780. Известно, что x₁ и x₂ — корни уравнения x² – 8x + k = 0, причём 3x₁ + 4x₂ = 29. Найдите k.

$$\begin{gathered} x^2-8x+k=0 \\ \left\{\begin{array}{l}3x_1+4x_2=29\\ x_1+x_2=8\end{array}\right./·\left(-3\right) \left\{\begin{array}{l}3x_1+4x_2=29\\ -3x_1-3x_2=-24\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}{x}_2=5\\ x_1+x_2=8\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}{x}_2=5\\ x_1+5=8\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}{x}_2=5\\ x_1=8-5\end{array}\right.\left\{\begin{array}{c}{x}_2=5\\ x_1=3\end{array}\right. \\ k=x_1·x_2=3·5=15 \end{gathered}$$

Ответ: 15

Дано квадратное уравнение $x^2 - 8x + k = 0$ с корнями $x_1$ и $x_2$. Также известно, что выполняется условие $3x_1 + 4x_2 = 29$.

Для решения задачи воспользуемся теоремой Виета. Для приведенного квадратного уравнения вида $x^2 + px + q = 0$, теорема Виета устанавливает следующие соотношения между корнями $x_1$, $x_2$ и коэффициентами:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -p$

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = q$

В нашем уравнении $x^2 - 8x + k = 0$ коэффициенты равны $p = -8$ и $q = k$. Применяя теорему Виета, получаем:

$x_1 + x_2 = -(-8) = 8$

$x_1 \cdot x_2 = k$

Таким образом, мы имеем систему из двух линейных уравнений с двумя переменными $x_1$ и $x_2$, составленную из соотношения по теореме Виета и условия из задачи:

$ \begin{cases} x_1 + x_2 = 8 \\ 3x_1 + 4x_2 = 29 \end{cases} $

Решим эту систему. Из первого уравнения выразим $x_1$ через $x_2$:

$x_1 = 8 - x_2$

Теперь подставим это выражение во второе уравнение системы:

$3(8 - x_2) + 4x_2 = 29$

Раскроем скобки и найдем значение $x_2$:

$24 - 3x_2 + 4x_2 = 29$

$24 + x_2 = 29$

$x_2 = 29 - 24$

$x_2 = 5$

Зная $x_2$, найдем $x_1$:

$x_1 = 8 - x_2 = 8 - 5 = 3$

Итак, корни уравнения: $x_1 = 3$ и $x_2 = 5$.

Чтобы найти $k$, используем второе соотношение из теоремы Виета:

$k = x_1 \cdot x_2$

Подставим найденные значения корней:

$k = 3 \cdot 5 = 15$

Ответ: $15$