Номер 778, страница 177 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 7. Дополнительные упражнения к главе III. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 778, страница 177.

778. Квадрат разности корней уравнения x² + px + 405 = 0 равен 144. Найдите p.

$$\begin{gathered} x^2+px+405=0 \\ {\left(x_1-x_2\right)}^2=144 \\ {x}_1^2-2x_1{x}_2+x_2^2=144 \\ {x}_1^2+x_2^2-2·405=144 \\ {x}_1^2+x_2^2=144+810 \\ {x}_1^2+2x_1{x}_2+x_2^2-2x_1{x}_2=954 \\ {\left(x_1+x_2\right)}^2=954+2·405 \\ {\left(x_1+x_2\right)}^2=1764 \\ {x}_1+x_2=\pm \sqrt{1764} \\ {x}_1+x_2=\pm 42 \\ {x}_1+x_2=-p=\pm 42;p=\pm 42 \end{gathered}$$

Ответ: ±42

Дано квадратное уравнение $x^2 + px + 405 = 0$. Пусть его корни — $x_1$ и $x_2$.

Согласно условию задачи, квадрат разности этих корней равен 144. Это можно записать в виде уравнения:

$(x_1 - x_2)^2 = 144$

Для нахождения параметра $p$ воспользуемся теоремой Виета. Для приведенного квадратного уравнения вида $x^2 + bx + c = 0$ сумма корней равна $x_1 + x_2 = -b$, а произведение корней равно $x_1 \cdot x_2 = c$.

В нашем случае коэффициенты равны $b = p$ и $c = 405$. Таким образом, имеем:

$x_1 + x_2 = -p$

$x_1 \cdot x_2 = 405$

Теперь преобразуем выражение для квадрата разности корней, используя их сумму и произведение. Воспользуемся известным тождеством:

$(x_1 - x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2$

Подставим в это тождество известные нам значения:

$144 = (-p)^2 - 4 \cdot 405$

Выполним вычисления в правой части уравнения:

$144 = p^2 - 1620$

Выразим $p^2$, перенеся 1620 в левую часть:

$p^2 = 144 + 1620$

$p^2 = 1764$

Чтобы найти $p$, извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения. Следует помнить, что корень может быть как положительным, так и отрицательным:

$p = \pm\sqrt{1764}$

Поскольку $42^2 = 1764$, получаем два возможных значения для $p$: $42$ и $-42$.

Ответ: $p = 42$ или $p = -42$.