Номер 776, страница 177 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 7. Дополнительные упражнения к главе III. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 776, страница 177.

776. Выразите через p и q сумму квадратов корней уравнения x² + px + q = 0.

$$\begin{gathered} x^2+px+q=0 \\ {x}_1+x_2=-p \\ {x}_1·x_2=q \\ {x}_1^2+x_2^2=x_1^2+2x_1{x}_2+x_2^2-2x_1{x}_2= \\ ={\left(x_1+x_2\right)}^2-2x_1{x}_2={(-p)}^2-2q=p^2-2q \end{gathered}$$

Для того чтобы выразить сумму квадратов корней уравнения через его коэффициенты, воспользуемся теоремой Виета.
Дано приведенное квадратное уравнение: $x^2 + px + q = 0$.
Пусть $x_1$ и $x_2$ — это корни данного уравнения.
Согласно теореме Виета, для этого уравнения выполняются следующие равенства:
1. Сумма корней: $x_1 + x_2 = -p$
2. Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = q$
Нам необходимо найти значение выражения $x_1^2 + x_2^2$.
Преобразуем это выражение, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. Из нее следует, что $a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab$.
Применим эту формулу к корням нашего уравнения:
$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$
Теперь подставим в это выражение значения суммы и произведения корней, которые мы получили из теоремы Виета:
$x_1^2 + x_2^2 = (-p)^2 - 2(q)$
Упростив выражение, получаем окончательный результат:
$x_1^2 + x_2^2 = p^2 - 2q$

Ответ: $p^2 - 2q$