Номер 782, страница 178 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 7. Дополнительные упражнения к главе III. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 782, страница 178.

782. Известно, что уравнение x² + px + q = 0 имеет корни x₁ и x₂. Составьте квадратное уравнение, корнями которого являются числа x₁x₂ и x₂x₁.

$$\begin{gathered} x^2+px+q=0, x_1\text{ и }{x}_2\text{ - его корни} \\ {x}_1+x_2=-p; x_1{x}_2=q \\ \frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}=\frac{x_1^2+x_2^2}{x_1{x}_2}=\frac{x_1^2+2x_1{x}_2+x_2^2-2x_1{x}_2}{x_1{x}_2}= \\ =\frac{{\left(x_1+x_2\right)}^2-2x_1{x}_2}{x_1{x}_2}=\frac{p^2-2q}{q} \\ \frac{x_1}{x_2}·\frac{x}{x_1}=1 \\ {x}^2-\frac{p^2-2q}{q}x+1=0 \mathrm{/}·q \\ q{x}^2-\left(p^2-2q\right)x+q=0 \end{gathered}$$

Пусть дано приведённое квадратное уравнение $x^2 + px + q = 0$, корнями которого являются $x_1$ и $x_2$. Согласно теореме Виета, для этого уравнения справедливы следующие соотношения:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -p$

Произведение корней: $x_1 x_2 = q$

Нам необходимо составить новое квадратное уравнение, корнями которого будут числа $y_1 = \frac{x_1}{x_2}$ и $y_2 = \frac{x_2}{x_1}$. Для того чтобы эти корни существовали, необходимо, чтобы знаменатели не равнялись нулю, то есть $x_1 \neq 0$ и $x_2 \neq 0$. Это, в свою очередь, означает, что их произведение $q = x_1 x_2 \neq 0$.

Воспользуемся теоремой, обратной теореме Виета. Если известны корни $y_1$ и $y_2$ некоторого приведённого квадратного уравнения, то его можно записать в виде $y^2 - (y_1 + y_2)y + y_1 y_2 = 0$. Для этого нам нужно найти сумму и произведение новых корней.

1. Найдём сумму новых корней $S = y_1 + y_2$: $S = \frac{x_1}{x_2} + \frac{x_2}{x_1} = \frac{x_1^2 + x_2^2}{x_1 x_2}$ Чтобы выразить числитель через известные нам $p$ и $q$, воспользуемся тождеством: $x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2$ Подставим в это тождество соотношения из теоремы Виета для исходного уравнения: $x_1^2 + x_2^2 = (-p)^2 - 2q = p^2 - 2q$ Теперь можем вычислить сумму новых корней: $S = y_1 + y_2 = \frac{p^2 - 2q}{q}$

2. Найдём произведение новых корней $P = y_1 \cdot y_2$: $P = \frac{x_1}{x_2} \cdot \frac{x_2}{x_1} = 1$

3. Теперь подставим найденные значения суммы $S$ и произведения $P$ в общую формулу приведённого квадратного уравнения: $y^2 - S \cdot y + P = 0$ $y^2 - \left(\frac{p^2 - 2q}{q}\right)y + 1 = 0$

Чтобы получить уравнение с целыми коэффициентами (относительно $p$ и $q$), умножим обе части уравнения на $q$ (мы уже выяснили, что $q \neq 0$): $q \cdot y^2 - q \cdot \left(\frac{p^2 - 2q}{q}\right)y + q \cdot 1 = q \cdot 0$ $q y^2 - (p^2 - 2q)y + q = 0$

Это и есть искомое квадратное уравнение.

Ответ: $q y^2 - (p^2 - 2q)y + q = 0$