Номер 781, страница 178 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 7. Дополнительные упражнения к главе III. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 781, страница 178.

781. Зная, что уравнение x2 + px + q = 0 имеет корни x₁ и x₂, составьте квадратное уравнение, имеющее корни:

а) 3x₁ и 3x₂;

б) x₁ + 2 и x₂ + 2.

$x^2+px+q=0; x_1\text{ и }{x}_2$ - его корни

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}{x}_1+x_2=-p \\ 3x_1+3x_2=-3p \\ {x}^2+3px+9q=0 \\ {x}_1·x_2=q \\ 3x_1·3x_2=9x_1{x}_2=9q \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}{x}_1+x_2=-p \\ {x}_1+2+x_2+2=-p+4=-\left(p-4\right) \\ {x}_1·x_2=q \\ \left(x_1+2\right)\left(x_2+2\right)=x_1{x}_2+2x_1+2x_2+4=x_1{x}_2+ \\ +2\left(x_1+x_2\right)+4=q+2·\left(-p\right)+4=q-2p+4 \\ {x}^2+\left(p-4\right)x+\left(q-2p+4\right)=0 \end{gathered}$$

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой Виета. Для исходного приведенного квадратного уравнения $x^2 + px + q = 0$ с корнями $x_1$ и $x_2$ справедливы следующие соотношения:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -p$

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = q$

Чтобы составить новое квадратное уравнение вида $y^2 + p'y + q' = 0$ с корнями $y_1$ и $y_2$, нам нужно найти их сумму $y_1 + y_2$ и произведение $y_1 \cdot y_2$. Тогда коэффициенты нового уравнения будут равны $p' = -(y_1 + y_2)$ и $q' = y_1 \cdot y_2$.

а) Новые корни: $y_1 = 3x_1$ и $y_2 = 3x_2$.

Найдем их сумму:

$y_1 + y_2 = 3x_1 + 3x_2 = 3(x_1 + x_2)$

Подставим значение $x_1 + x_2 = -p$:

$y_1 + y_2 = 3(-p) = -3p$

Теперь найдем их произведение:

$y_1 \cdot y_2 = (3x_1) \cdot (3x_2) = 9(x_1 \cdot x_2)$

Подставим значение $x_1 \cdot x_2 = q$:

$y_1 \cdot y_2 = 9q$

Теперь составим новое квадратное уравнение $x^2 - (y_1+y_2)x + (y_1 \cdot y_2) = 0$.

$x^2 - (-3p)x + 9q = 0$

$x^2 + 3px + 9q = 0$

Ответ: $x^2 + 3px + 9q = 0$.

б) Новые корни: $y_1 = x_1 + 2$ и $y_2 = x_2 + 2$.

Найдем их сумму:

$y_1 + y_2 = (x_1 + 2) + (x_2 + 2) = (x_1 + x_2) + 4$

Подставим значение $x_1 + x_2 = -p$:

$y_1 + y_2 = -p + 4 = 4 - p$

Теперь найдем их произведение:

$y_1 \cdot y_2 = (x_1 + 2)(x_2 + 2) = x_1x_2 + 2x_1 + 2x_2 + 4 = x_1x_2 + 2(x_1 + x_2) + 4$

Подставим значения $x_1 \cdot x_2 = q$ и $x_1 + x_2 = -p$:

$y_1 \cdot y_2 = q + 2(-p) + 4 = q - 2p + 4$

Теперь составим новое квадратное уравнение $x^2 - (y_1+y_2)x + (y_1 \cdot y_2) = 0$.

$x^2 - (4 - p)x + (q - 2p + 4) = 0$

$x^2 + (p - 4)x + (q - 2p + 4) = 0$

Ответ: $x^2 + (p-4)x + q - 2p + 4 = 0$.