Номер 783, страница 178 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 8. Дополнительные упражнения к главе III. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 783, страница 178.

783. Найдите корни квадратного трёхчлена:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}\frac{1}{6}{x}^2+\frac{2}{3}x-2=0 \mathrm{/}·6 \\ {x}^2+4x-12=0 \\ D=4^2-4·1·\left(-12\right)=16+48=64 \\ x=\frac{-4\pm \sqrt{64}}{2}; x=\frac{-4\pm 8}{2} \\ {x}_1=2; x_2=-6 \end{gathered}$$

Ответ: -6; 2

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}\frac{1}{2}{x}^2-\frac{1}{3}x-\frac{1}{4}=0 \mathrm{/}·12 \\ 6x^2-4x-3=0 \\ D={\left(-4\right)}^2-4·6·\left(-3\right)=16+72=88 \\ x=\frac{4\pm \sqrt{88}}{12}; x=\frac{4\pm 2\sqrt{22}}{12} \\ {x}_1=\frac{2\left(2+\sqrt{22}\right)}{12}=\frac{2+\sqrt{22}}{6} \\ {x}_2=\frac{2\left(2-\sqrt{22}\right)}{12}=\frac{2-\sqrt{22}}{6} \end{gathered}$$

Ответ: $\frac{2+\sqrt{22}}{6}\backslash frac\{2\; +\; \backslash sqrt\{22\}\}\{6\}$, $\frac{2-\sqrt{22}}{6}\backslash frac\{2\; -\; \backslash sqrt\{22\}\}\{6\}$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в)}} -x^2+4x-2\frac{2}{4}=0 \\ {x}^2+4x-2,5=0 \\ D=4^2-4·\left(1\right)·\left(-2,5\right)=16-10=6 \\ x=\frac{-4\pm \sqrt{6}}{-2}; x=\frac{-4\pm \sqrt{6}}{-2} \\ {x}_1=\frac{4+\sqrt{6}}{2}; x_2=\frac{4-\sqrt{6}}{2} \end{gathered}$$

Ответ: $\frac{4+\sqrt{6}}{2}\backslash frac\{4\; +\; \backslash sqrt\{6\}\}\{2\}$; $\frac{4-\sqrt{6}}{2}\backslash frac\{4\; -\; \backslash sqrt\{6\}\}\{2\}$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г) }}0,4x^2-x+0,2=0 \\ D={\left(-1\right)}^2-4·0,4·0,2=1-0,32=0,68=\frac{68}{100}=\frac{17}{25} \\ x=\frac{1\pm \sqrt{{\displaystyle \frac{17}{25}}}}{0,8}; x=\frac{1\pm {\displaystyle \frac{\sqrt{17}}{5}}}{0,8} \\ {x}_1=\frac{1+{\displaystyle \frac{\sqrt{17}}{5}}}{0,8}=\frac{5+\sqrt{17}}{5}·\frac{10}{8}=\frac{2\left(5+\sqrt{17}\right)}{8}= \\ =\frac{5+\sqrt{17}}{4} \\ {x}_2=\frac{1-{\displaystyle \frac{\sqrt{17}}{5}}}{0,8}=\frac{5-\sqrt{17}}{5}·\frac{10}{8}=\frac{2\left(5-\sqrt{17}\right)}{8}= \\ =\frac{5-\sqrt{17}}{4} \end{gathered}$$

Ответ: $\frac{5+\sqrt{17}}{4}\backslash frac\{5\; +\; \backslash sqrt\{17\}\}\{4\}$; $\frac{5-\sqrt{17}}{4}\backslash frac\{5\; -\; \backslash sqrt\{17\}\}\{4\}$

а) Чтобы найти корни квадратного трёхчлена $ \frac{1}{6}x^2 + \frac{2}{3}x - 2 $, необходимо приравнять его к нулю и решить полученное уравнение:

$ \frac{1}{6}x^2 + \frac{2}{3}x - 2 = 0 $

Для удобства вычислений умножим обе части уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей (6 и 3), то есть на 6:

$ 6 \cdot \left(\frac{1}{6}x^2 + \frac{2}{3}x - 2\right) = 6 \cdot 0 $

$ x^2 + 4x - 12 = 0 $

Это приведённое квадратное уравнение вида $ ax^2 + bx + c = 0 $, где $ a=1, b=4, c=-12 $.

Вычислим дискриминант по формуле $ D = b^2 - 4ac $:

$ D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 16 + 48 = 64 $

Так как $ D > 0 $, уравнение имеет два действительных корня. Найдём их по формуле $ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} $:

$ x_1 = \frac{-4 + \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 + 8}{2} = \frac{4}{2} = 2 $

$ x_2 = \frac{-4 - \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 - 8}{2} = \frac{-12}{2} = -6 $

Ответ: $ -6; 2 $.

б) Чтобы найти корни квадратного трёхчлена $ \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{3}x - \frac{1}{4} $, приравняем его к нулю:

$ \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{3}x - \frac{1}{4} = 0 $

Умножим обе части уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей (2, 3 и 4), то есть на 12:

$ 12 \cdot \left(\frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{3}x - \frac{1}{4}\right) = 12 \cdot 0 $

$ 6x^2 - 4x - 3 = 0 $

Коэффициенты уравнения: $ a=6, b=-4, c=-3 $.

Вычислим дискриминант $ D = b^2 - 4ac $:

$ D = (-4)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-3) = 16 + 72 = 88 $

Найдём корни по формуле $ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} $:

$ x_{1,2} = \frac{-(-4) \pm \sqrt{88}}{2 \cdot 6} = \frac{4 \pm \sqrt{4 \cdot 22}}{12} = \frac{4 \pm 2\sqrt{22}}{12} $

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 2:

$ x_{1,2} = \frac{2(2 \pm \sqrt{22})}{12} = \frac{2 \pm \sqrt{22}}{6} $

Ответ: $ \frac{2 - \sqrt{22}}{6}; \frac{2 + \sqrt{22}}{6} $.

в) Чтобы найти корни квадратного трёхчлена $ -x^2 + 4x - 2\frac{2}{4} $, приравняем его к нулю. Сначала упростим свободный член:

$ 2\frac{2}{4} = 2\frac{1}{2} = 2,5 $

Получаем уравнение:

$ -x^2 + 4x - 2,5 = 0 $

Умножим обе части уравнения на -2, чтобы избавиться от десятичной дроби и сделать старший коэффициент положительным:

$ -2(-x^2 + 4x - 2,5) = -2 \cdot 0 $

$ 2x^2 - 8x + 5 = 0 $

Коэффициенты: $ a=2, b=-8, c=5 $.

Вычислим дискриминант $ D = b^2 - 4ac $:

$ D = (-8)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 5 = 64 - 40 = 24 $

Найдём корни по формуле $ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} $:

$ x_{1,2} = \frac{-(-8) \pm \sqrt{24}}{2 \cdot 2} = \frac{8 \pm \sqrt{4 \cdot 6}}{4} = \frac{8 \pm 2\sqrt{6}}{4} $

Сократим дробь на 2:

$ x_{1,2} = \frac{2(4 \pm \sqrt{6})}{4} = \frac{4 \pm \sqrt{6}}{2} $

Ответ: $ \frac{4 - \sqrt{6}}{2}; \frac{4 + \sqrt{6}}{2} $.

г) Чтобы найти корни квадратного трёхчлена $ 0,4x^2 - x + 0,2 $, приравняем его к нулю:

$ 0,4x^2 - x + 0,2 = 0 $

Умножим обе части уравнения на 10, чтобы избавиться от десятичных дробей:

$ 10(0,4x^2 - x + 0,2) = 10 \cdot 0 $

$ 4x^2 - 10x + 2 = 0 $

Для упрощения разделим обе части уравнения на 2:

$ 2x^2 - 5x + 1 = 0 $

Коэффициенты: $ a=2, b=-5, c=1 $.

Вычислим дискриминант $ D = b^2 - 4ac $:

$ D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 25 - 8 = 17 $

Найдём корни по формуле $ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} $:

$ x_{1,2} = \frac{-(-5) \pm \sqrt{17}}{2 \cdot 2} = \frac{5 \pm \sqrt{17}}{4} $

Ответ: $ \frac{5 - \sqrt{17}}{4}; \frac{5 + \sqrt{17}}{4} $.