Номер 786, страница 178 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 8. Дополнительные упражнения к главе III. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 786, страница 178.

786. Докажите, что квадратный трёхчлен имеет корни, и найдите их сумму и произведение:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}2x^2-10x+3=0 \\ D={\left(-10\right)}^2-4·2·3=100-24=76>0 \\ {x}^2-5x+1,5=0 \\ {x}_1+x_2=5 \\ {x}_1·x_2=1,5 \end{gathered}$$

Ответ: 5; 1,5

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}\frac{1}{3}{x}^2+7x-2=0 \\ D=7^2-4·\frac{1}{3}·\left(-2\right)=49+\frac{8}{3}=51\frac{2}{3}>0 \\ {x}^2+21x-6=0 \\ {x}_1+x_2=-21;x_1·x_2=-6 \end{gathered}$$

Ответ: -21; -6

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}0,5x^2+6x+1=0 \\ D=6^2-4·0,5·1=36-2=34>0 \\ {x}^2+12x+2=0 \\ {x}_1+x_2=-12;x_1·x_2=2 \end{gathered}$$

Ответ: -12; 2

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г) }}-\frac{1}{2}{x}^2+\frac{1}{3}x+\frac{1}{2}=0 \\ D={\left(\frac{1}{3}\right)}^2-4·\left(-\frac{1}{2}\right)·\frac{1}{2}=\frac{1}{9}+1=1\frac{1}{9}>0 \\ {x}^2-\frac{2}{3}x-1=0 \\ {x}_1+x_2=\frac{2}{3};x_1·x_2=-1 \end{gathered}$$

Ответ: $\frac{2}{3}; -1$

а) Для квадратного трёхчлена $2x^2 - 10x + 3$ коэффициенты равны $a=2, b=-10, c=3$.
Чтобы доказать, что трёхчлен имеет корни, необходимо найти его дискриминант $D = b^2 - 4ac$.
$D = (-10)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 100 - 24 = 76$.
Поскольку дискриминант $D = 76 > 0$, квадратный трёхчлен имеет два различных действительных корня.
Сумму и произведение корней найдём по теореме Виета:
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{-10}{2} = 5$.
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{3}{2} = 1,5$.
Ответ: существование корней доказано ($D>0$), сумма корней равна 5, произведение корней равно 1,5.

б) Для квадратного трёхчлена $\frac{1}{3}x^2 + 7x - 2$ коэффициенты равны $a=\frac{1}{3}, b=7, c=-2$.
Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = 7^2 - 4 \cdot \frac{1}{3} \cdot (-2) = 49 + \frac{8}{3} = \frac{147+8}{3} = \frac{155}{3}$.
Поскольку дискриминант $D = \frac{155}{3} > 0$, трёхчлен имеет два различных действительных корня.
Согласно теореме Виета:
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{7}{1/3} = -21$.
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{-2}{1/3} = -6$.
Ответ: существование корней доказано ($D>0$), сумма корней равна -21, произведение корней равно -6.

в) для квадратного трёхчлена $0,5x^2 + 6x + 1$ коэффициенты равны $a=0,5, b=6, c=1$.
Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = 6^2 - 4 \cdot 0,5 \cdot 1 = 36 - 2 = 34$.
Поскольку дискриминант $D = 34 > 0$, трёхчлен имеет два различных действительных корня.
Согласно теореме Виета:
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{6}{0,5} = -12$.
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{1}{0,5} = 2$.
Ответ: существование корней доказано ($D>0$), сумма корней равна -12, произведение корней равно 2.

г) Для квадратного трёхчлена $\frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{3}x + \frac{1}{2}$ коэффициенты равны $a=\frac{1}{2}, b=\frac{1}{3}, c=\frac{1}{2}$.
Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = (\frac{1}{3})^2 - 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{9} - 1 = -\frac{8}{9}$.
Поскольку дискриминант $D < 0$, трёхчлен не имеет действительных корней. Однако в множестве комплексных чисел любой многочлен имеет корни (согласно основной теореме алгебры). Следовательно, данный трёхчлен имеет два комплексных корня.
Теорема Виета справедлива и для комплексных корней:
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{1/3}{1/2} = -\frac{2}{3}$.
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{1/2}{1/2} = 1$.
Ответ: существование корней (в поле комплексных чисел) доказано ($D<0$), сумма корней равна $-\frac{2}{3}$, произведение корней равно 1.