Номер 788, страница 178 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 8. Дополнительные упражнения к главе III. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 788, страница 178.

788. Пусть a и b — корни трёхчлена x² + px + q, причём ab = 4 и a + b = 3. Чему равно a и чему равно b?

$$\begin{gathered} x^2+px+q=0 \\ {x}_1=a, x_2=b \end{gathered}$$

$\left\{\begin{array}{l}ab=4\\ \sqrt{a}+\sqrt{b}=3\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}ab=4\\ {\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}^2=3^2\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}ab=4\\ a+2\sqrt{ab}+b=9\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}ab=4\\ a+2\sqrt{4}+b=9\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}ab=4\\ a+b+4=9\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}ab=4\\ a+b=5\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}a=5-b\\ \left(5-b\right)b=4\end{array}\right.$

$$\begin{gathered} 5b-b^2=4=0 \\ {b}^2-5b+4=0 \\ D={\left(-5\right)}^2-4·1·4=25-16=9 \\ b=\frac{5\pm \sqrt{9}}{2}, b=\frac{5\pm 3}{2} \\ {b}_1=4; b_2=1 \end{gathered}$$

Если b=4, то 4a=4; a=1,

Если b=1, то a=4

Ответ: 1 и 4

По условию, $a$ и $b$ являются корнями трёхчлена $x^2 + px + q$. Согласно теореме Виета, для приведённого квадратного уравнения ($x^2 + px + q = 0$) справедливы следующие соотношения между корнями и коэффициентами:

Сумма корней: $a + b = -p$

Произведение корней: $ab = q$

В задаче даны два условия:

1. $ab = 4$

2. $\sqrt{a} + \sqrt{b} = 3$

Из первого условия и теоремы Виета мы можем сразу определить коэффициент $q$: $q = ab = 4$.

Теперь найдём значения $a$ и $b$, используя систему из двух данных уравнений. Отметим, что для существования $\sqrt{a}$ и $\sqrt{b}$ в области действительных чисел, должно выполняться $a \ge 0$ и $b \ge 0$.

Возведём обе части второго уравнения в квадрат:

$(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 = 3^2$

$(\sqrt{a})^2 + 2\sqrt{a}\sqrt{b} + (\sqrt{b})^2 = 9$

$a + 2\sqrt{ab} + b = 9$

Теперь мы можем подставить в это уравнение значение $ab$ из первого условия ($ab = 4$):

$a + b + 2\sqrt{4} = 9$

$a + b + 2 \cdot 2 = 9$

$a + b + 4 = 9$

Отсюда находим сумму $a$ и $b$:

$a + b = 9 - 4 = 5$

Таким образом, мы получили новую систему уравнений для нахождения $a$ и $b$:

$\begin{cases} a + b = 5 \\ ab = 4 \end{cases}$

Согласно обратной теореме Виета, числа $a$ и $b$, удовлетворяющие этой системе, являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (a+b)t + ab = 0$. Подставив найденные значения суммы и произведения, получим уравнение:

$t^2 - 5t + 4 = 0$

Это квадратное уравнение легко решается, например, путём разложения на множители. Найдём два числа, произведение которых равно 4, а сумма равна 5. Это числа 1 и 4. Таким образом:

$(t - 1)(t - 4) = 0$

Корнями этого уравнения являются $t_1 = 1$ и $t_2 = 4$.

Следовательно, искомые числа $a$ и $b$ — это 1 и 4. Поскольку исходная система уравнений симметрична относительно $a$ и $b$, то возможны два варианта: $a = 1, b = 4$ или $a = 4, b = 1$.

Проверим решение, подставив значения, например, $a=4$ и $b=1$ в исходные условия:

1. $ab = 4 \cdot 1 = 4$ (верно)

2. $\sqrt{a} + \sqrt{b} = \sqrt{4} + \sqrt{1} = 2 + 1 = 3$ (верно)

Оба условия выполняются.

Ответ: Значения $a$ и $b$ равны 1 и 4.