Номер 785, страница 178 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 8. Дополнительные упражнения к главе III. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 785, страница 178.

785. При каком значении р выражение 2px² – 2x – 2p – 3 становится квадратным трёхчленом, одним из корней которого является число нуль? Найдите другой корень.

$$\begin{gathered} 2p{x}^2-2x-2p-3 \\ {x}_1=0 \\ 2p·0^2-2·0-2p-3=0 \\ -2p-3=0 \\ -2p=3 \\ p=-1,5 \\ 2·\left(-1,5\right)x^2-2x-2·\left(-1,5\right)-3=0 \\ -3x^2-2x+3-3=0 \\ -3x^2-2x=0 \\ x\left(-3x-2\right)=0 \\ \begin{array}{ccl}x=0& \text{или}& -3x-2=0\\ & & -3x=2\\ & & x=-\frac{2}{3}\end{array} \end{gathered}$$

Ответ: при $p=-1,5; x_2=-\frac{2}{3}$

При каком значении p выражение становится квадратным трёхчленом, одним из корней которого является число ноль?

Выражение $2px^2 - 2x - 2p - 3$ является квадратным трёхчленом, если коэффициент при $x^2$ не равен нулю. В данном случае это означает, что $2p \neq 0$, следовательно, $p \neq 0$.

Если число ноль является корнем квадратного трёхчлена, то при подстановке $x=0$ в выражение, оно должно обратиться в ноль. Приравняем выражение к нулю и подставим $x=0$:

$2px^2 - 2x - 2p - 3 = 0$

$2p(0)^2 - 2(0) - 2p - 3 = 0$

$0 - 0 - 2p - 3 = 0$

$-2p - 3 = 0$

Теперь решим это линейное уравнение относительно $p$:

$-2p = 3$

$p = -\frac{3}{2}$

Это значение удовлетворяет условию $p \neq 0$, так как $-\frac{3}{2} \neq 0$.

Ответ: $p = -3/2$.

Найдите другой корень.

Подставим найденное значение $p = -3/2$ в исходное уравнение $2px^2 - 2x - 2p - 3 = 0$:

$2(-\frac{3}{2})x^2 - 2x - 2(-\frac{3}{2}) - 3 = 0$

Упростим полученное уравнение:

$-3x^2 - 2x - (-3) - 3 = 0$

$-3x^2 - 2x + 3 - 3 = 0$

$-3x^2 - 2x = 0$

Для нахождения корней вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(-3x - 2) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два корня:

1. $x_1 = 0$ (этот корень был дан в условии).

2. $-3x - 2 = 0$, откуда $-3x = 2$, и, следовательно, $x_2 = -\frac{2}{3}$.

Таким образом, другой корень уравнения равен $-2/3$.

Ответ: $-\frac{2}{3}$.