Номер 792, страница 179 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 8. Дополнительные упражнения к главе III. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 792, страница 179.

792. Сумма положительных чисел a и b равна 40. При каких значениях a и b их произведение будет наибольшим?

$$\begin{gathered} a>0, b>0 \\ a+b=40; a=40-b \\ ab=\left(40-b\right)b=-b^2+40b=-\left(b^2-40b\right)= \\ =-\left(b^2-2·20b+20^2-20^2\right)= \\ =-\left({\left(b-20\right)}^2-400\right)=-{\left(b-20\right)}^2+400 \end{gathered}$$

Произведение ab будет наибольшим при $b=20b=20$, тогда $a=40-b=40-20=20a=40-b=40-20=20$

Ответ: при $a=20, b=20$

По условию задачи, сумма двух положительных чисел $a$ и $b$ равна 40. Это можно записать в виде уравнения:

$a + b = 40$, где $a > 0$ и $b > 0$.

Нам необходимо найти такие значения $a$ и $b$, при которых их произведение $P = a \cdot b$ будет наибольшим.

Для решения этой задачи выразим одну переменную через другую. Из уравнения $a + b = 40$ выразим $b$:

$b = 40 - a$

Теперь подставим это выражение в формулу для произведения $P$:

$P = a \cdot (40 - a)$

$P(a) = 40a - a^2$

Мы получили функцию $P(a)$, которая представляет собой квадратичную зависимость. Графиком этой функции является парабола. Поскольку коэффициент при $a^2$ отрицательный (равен -1), ветви параболы направлены вниз. Это означает, что парабола имеет точку максимума в своей вершине.

Координату $a$ вершины параболы $y = Ax^2 + Bx + C$ находят по формуле $a_в = - \frac{B}{2A}$.

В нашем случае, для функции $P(a) = -a^2 + 40a$, коэффициенты равны $A = -1$ и $B = 40$. Найдем значение $a$, при котором произведение достигает максимума:

$a = - \frac{40}{2 \cdot (-1)} = - \frac{40}{-2} = 20$

Мы нашли значение $a$. Теперь найдем соответствующее значение $b$, используя связь $a+b=40$:

$b = 40 - a = 40 - 20 = 20$

Найденные значения $a=20$ и $b=20$ являются положительными, что удовлетворяет условию задачи. Таким образом, произведение будет наибольшим, когда числа равны.

Ответ: Произведение будет наибольшим при значениях $a = 20$ и $b = 20$.