Номер 796, страница 179 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 8. Дополнительные упражнения к главе III. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 796, страница 179.

796. Сократите дробь:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}\frac{2m^2-8}{m^2+6m+8}=\frac{2\left(m^2-4\right)}{\left(m+2\right)\left(m+4\right)}= \\ =\frac{2\left(m-2\right)\left(m+2\right)}{\left(m+2\right)\left(m+4\right)}=\frac{2m-4}{m+4} \\ {m}^2+6m+8=0 \\ D=6^2-4·1·8=36-32=4 \\ m=\frac{-6\pm \sqrt{4}}{2}; m=\frac{-6\pm 2}{2} \\ {m}_1=-2; m_2=-4 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}\frac{2m^2-5m+2}{mn-2n-3m+6}=\frac{2\left(m-{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)\left(m-2\right)}{n\left(m-2\right)-3\left(m-2\right)}=\frac{2m-1}{n-3} \\ 2m^2-5m+2=0 \\ D={\left(-5\right)}^2-4·2·2=25-16=9 \\ m=\frac{5\pm \sqrt{9}}{4}; m=\frac{5\pm 3}{4} \\ {m}_1=2; m_2=\frac{1}{2} \end{gathered}$$

а) $ \frac{2m^2 - 8}{m^2 + 6m + 8} $

Чтобы сократить дробь, разложим на множители её числитель и знаменатель.

1. Разложим на множители числитель $ 2m^2 - 8 $. Сначала вынесем общий множитель 2 за скобки: $ 2(m^2 - 4) $. Затем применим формулу разности квадратов $ a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) $ к выражению в скобках:

$ 2(m^2 - 4) = 2(m-2)(m+2) $.

2. Разложим на множители знаменатель $ m^2 + 6m + 8 $. Это квадратный трёхчлен вида $ am^2+bm+c $. Для разложения на множители решим квадратное уравнение $ m^2 + 6m + 8 = 0 $. По теореме Виета, сумма корней равна $ -6 $, а их произведение равно $ 8 $. Легко подобрать корни: $ m_1 = -2 $ и $ m_2 = -4 $. Тогда разложение имеет вид $ a(m-m_1)(m-m_2) $:

$ m^2 + 6m + 8 = 1 \cdot (m - (-2))(m - (-4)) = (m+2)(m+4) $.

3. Подставим полученные разложения в исходную дробь и сократим общий множитель $ (m+2) $ (при условии, что $ m \neq -2 $):

$ \frac{2m^2 - 8}{m^2 + 6m + 8} = \frac{2(m-2)(m+2)}{(m+2)(m+4)} = \frac{2(m-2)}{m+4} $.

Ответ: $ \frac{2(m-2)}{m+4} $.

б) $ \frac{2m^2 - 5m + 2}{mn - 2n - 3m + 6} $

Для сокращения дроби разложим на множители её числитель и знаменатель.

1. Разложим на множители числитель $ 2m^2 - 5m + 2 $. Для этого решим квадратное уравнение $ 2m^2 - 5m + 2 = 0 $.

Найдем дискриминант: $ D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9 = 3^2 $.

Найдем корни уравнения: $ m_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5+3}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2 $; $ m_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5-3}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} $.

Используя формулу разложения $ a(m-m_1)(m-m_2) $, получаем: $ 2(m-2)(m-\frac{1}{2}) = (m-2)(2(m-\frac{1}{2})) = (m-2)(2m-1) $.

2. Разложим на множители знаменатель $ mn - 2n - 3m + 6 $, используя метод группировки.

Сгруппируем слагаемые: $ (mn - 2n) + (-3m + 6) $. Вынесем общие множители из каждой группы:

$ n(m-2) - 3(m-2) $.

Теперь вынесем общий множитель $ (m-2) $ за скобки: $ (m-2)(n-3) $.

3. Подставим полученные разложения в дробь и сократим общий множитель $ (m-2) $ (при условии, что $ m \neq 2 $):

$ \frac{2m^2 - 5m + 2}{mn - 2n - 3m + 6} = \frac{(m-2)(2m-1)}{(m-2)(n-3)} = \frac{2m-1}{n-3} $.

Ответ: $ \frac{2m-1}{n-3} $.