Номер 800, страница 180 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 9. Дополнительные упражнения к главе III. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 800, страница 180.

800. При каком значении х:

а) значение функции y =5x - 7x² + 1 равно –6; 0; 0,8; 0,56;

б) значение функции y =x² - 2x + 6x + 4 равно 1,5; 3; 7?

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}y=\frac{5x-7}{x^2+1} \\ \mathit{y}\mathbf{=}\mathbf{-}\mathbf{6}\mathbf{;} \frac{5x-7}{x^2+1}=-6\mathrm{/}·\left(x^2+1\right) \\ 5x-7=-6\left(x^2+1\right) \\ 5x-7=-6x^2-6 \\ 6x^2+5x-7+6=0 \\ 6x^2+5x-1=0 \\ D=5^2-4·6·\left(-1\right)=25+24=49 \\ x=\frac{-5\pm \sqrt{49}}{12}; x=\frac{-5\pm 7}{12} \\ {x}_1=\frac{1}{6}, x_2=-1 \end{gathered}$$

Т.к $x^2+1>0x^2+1>0$, то $x_1=\frac{1}{6}x\_1=\backslash frac\{1\}\{6\}$ и $x_2=-1x\_2=-1$

Ответ: $\frac{1}{6}; -1$

$$\begin{gathered} \mathit{y}\mathbf{=}\mathbf{0}\mathbf{;}\mathbf{ }\frac{5x-7}{x^2+1}=0\mathrm{/}·\left(x^2+1\right) \\ 5x-7=0 \\ 5x=7 \\ x=1,4 \end{gathered}$$

Ответ. 1,4

$$\begin{gathered} \mathit{y}\mathbf{=}\mathbf{0}\mathbf{,}\mathbf{8}\mathbf{;} \frac{5x-7}{x^2+1}=0,8\mathrm{/}·\left(x^2+1\right) \\ 5x-7=0,8\left(x^2+1\right) \\ 5x-7=0,8x^2+0,8 \\ 0,8x^2-5x+0,8+7=0 \\ 0,8x^2-5x+7,8=0 \\ D={\left(-5\right)}^2-4·0,8·7,8=25-24,96=0,04 \\ x=\frac{5\pm \sqrt{0,04}}{1,6}; x=\frac{5\pm 0,2}{1,6} \\ {x}_1=3,25; x_2=3 \end{gathered}$$

Ответ: 3,25; 3

$$\begin{gathered} \mathit{y}\mathbf{=}\mathbf{0}\mathbf{,}\mathbf{56}\mathbf{;} \frac{5x-7}{x^2+1}=0,56\mathrm{/}·\left(x^2+1\right) \\ 5x-7=0,56\left(x^2+1\right) \\ 5x-7=0,56x^2+0,56 \\ 0,56x^2-5x+7+0,56=0 \\ 0,56x^2-5x+7,56=0 \\ D={\left(-5\right)}^2-4·0,56·7,56=25-16,9344=8,0656 \\ x=\frac{5\pm \sqrt{8,0656}}{1,12}; x=\frac{5\pm 2,84}{1,12} \\ {x}_1=7; x_2=\frac{2,16}{1,12}=\frac{216}{112}=\frac{27}{14}=1\frac{13}{14} \end{gathered}$$

Ответ: 7; $1\frac{13}{14}1\backslash frac\{13\}\{14\}$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}y=\frac{x^2-2x+6}{x+4} \\ \mathit{y}\mathbf{=}\mathbf{1}\mathbf{,}\mathbf{5}\mathbf{;} \frac{x^2-2x+6}{x+4}=1,5 \mathrm{/}·\left(x+4\right) \\ {x}^2-2x+6=1,5\left(x+4\right) \\ {x}^2-2x+6-1,5x-6=0 \\ {x}^2-2x-1,5x=0 \\ {x}^2-3,5x=0 \\ x\left(x-3,5\right)=0 \\ \begin{array}{ccl}x=0& \text{или}& x-3,5=0\\ & & x=3,5\end{array} \end{gathered}$$

Если x=0, то x+4=0+4≠0,

если x=3,5, то x+4=3,5+4≠0

Ответ: 0; 3,5

$$\begin{gathered} \mathit{y}\mathbf{=}\mathbf{3}\mathbf{;} \frac{x^2-2x+6}{x+4}=3 \mathrm{/}·\left(x+4\right) \\ {x}^2-2x+6=3\left(x+4\right) \\ {x}^2-2x+6=3x+12 \\ {x}^2-2x-3x+6-12=0 \\ {x}^2-5x-6=0 \\ D={\left(-5\right)}^2-4·1·\left(-6\right)=25+24=49 \\ x=\frac{5\pm \sqrt{49}}{2}; x=\frac{5\pm 7}{2} \\ {x}_1=6; x_2=-1 \end{gathered}$$

Если x=6, то x+4=6+4≠0,

если x=-1, то x+4=-1+4≠0

Ответ: -1; 6

$$\begin{gathered} \mathit{y}\mathbf{=}\mathbf{7}\mathbf{;} \frac{x^2-2x+6}{x+4}=7 \mathrm{/}·\left(x+4\right) \\ {x}^2-2x+6=7\left(x+4\right) \\ {x}^2-2x+6-7x-28=0 \\ {x}^2-9x-22=0 \\ D={\left(-9\right)}^2-4·1·\left(-22\right)=81+88=169 \\ x=\frac{9\pm \sqrt{169}}{2}; x=\frac{9\pm 13}{2} \\ {x}_1=11; x_2=-2 \end{gathered}$$

Если x=11, то x+4=11+4≠0

если x=-2, то x+4=-2+4≠0

Ответ: -2; 11

а) Для функции $y = \frac{5x - 7}{x^2 + 1}$ найдем значения $x$, при которых значение функции равно -6; 0; 0,8; 0,56.

1. Найдем $x$, при котором значение функции равно -6.

Для этого решим уравнение:

$\frac{5x - 7}{x^2 + 1} = -6$

Так как знаменатель $x^2 + 1 > 0$ при любом значении $x$, мы можем умножить обе части уравнения на $x^2 + 1$:

$5x - 7 = -6(x^2 + 1)$

$5x - 7 = -6x^2 - 6$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

$6x^2 + 5x - 1 = 0$

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-1) = 25 + 24 = 49$.

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 + \sqrt{49}}{2 \cdot 6} = \frac{-5 + 7}{12} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 - \sqrt{49}}{2 \cdot 6} = \frac{-5 - 7}{12} = \frac{-12}{12} = -1$

Ответ: при $x = -1$ и $x = \frac{1}{6}$.

2. Найдем $x$, при котором значение функции равно 0.

$\frac{5x - 7}{x^2 + 1} = 0$

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Знаменатель $x^2 + 1$ всегда положителен.

$5x - 7 = 0$

$5x = 7$

$x = \frac{7}{5} = 1,4$

Ответ: при $x = 1,4$.

3. Найдем $x$, при котором значение функции равно 0,8.

$\frac{5x - 7}{x^2 + 1} = 0,8$

$5x - 7 = 0,8(x^2 + 1)$

$5x - 7 = 0,8x^2 + 0,8$

$0,8x^2 - 5x + 7,8 = 0$

Умножим уравнение на 10, чтобы избавиться от десятичных дробей, а затем разделим на 2 для упрощения:

$8x^2 - 50x + 78 = 0$

$4x^2 - 25x + 39 = 0$

Дискриминант $D = (-25)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 39 = 625 - 624 = 1$.

$x_1 = \frac{25 + \sqrt{1}}{2 \cdot 4} = \frac{26}{8} = \frac{13}{4} = 3,25$

$x_2 = \frac{25 - \sqrt{1}}{2 \cdot 4} = \frac{24}{8} = 3$

Ответ: при $x = 3$ и $x = 3,25$.

4. Найдем $x$, при котором значение функции равно 0,56.

$\frac{5x - 7}{x^2 + 1} = 0,56$

$5x - 7 = 0,56(x^2 + 1)$

$5x - 7 = 0,56x^2 + 0,56$

$0,56x^2 - 5x + 7,56 = 0$

Умножим уравнение на 100, а затем разделим на 4:

$56x^2 - 500x + 756 = 0$

$14x^2 - 125x + 189 = 0$

Дискриминант $D = (-125)^2 - 4 \cdot 14 \cdot 189 = 15625 - 10584 = 5041 = 71^2$.

$x_1 = \frac{125 + 71}{2 \cdot 14} = \frac{196}{28} = 7$

$x_2 = \frac{125 - 71}{2 \cdot 14} = \frac{54}{28} = \frac{27}{14}$

Ответ: при $x = 7$ и $x = \frac{27}{14}$.

---

б) Для функции $y = \frac{x^2 - 2x + 6}{x + 4}$ найдем значения $x$, при которых значение функции равно 1,5; 3; 7.

Область допустимых значений (ОДЗ) для этой функции: $x + 4 \neq 0$, то есть $x \neq -4$.

1. Найдем $x$, при котором значение функции равно 1,5.

$\frac{x^2 - 2x + 6}{x + 4} = 1,5$

Умножим обе части на $x+4$ (при $x \neq -4$):

$x^2 - 2x + 6 = 1,5(x + 4)$

$x^2 - 2x + 6 = 1,5x + 6$

$x^2 - 2x - 1,5x = 0$

$x^2 - 3,5x = 0$

$x(x - 3,5) = 0$

Отсюда $x_1 = 0$ или $x_2 = 3,5$. Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: при $x = 0$ и $x = 3,5$.

2. Найдем $x$, при котором значение функции равно 3.

$\frac{x^2 - 2x + 6}{x + 4} = 3$

$x^2 - 2x + 6 = 3(x + 4)$

$x^2 - 2x + 6 = 3x + 12$

$x^2 - 5x - 6 = 0$

По теореме Виета, сумма корней равна 5, а их произведение равно -6. Корни: $x_1 = 6$ и $x_2 = -1$. Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: при $x = -1$ и $x = 6$.

3. Найдем $x$, при котором значение функции равно 7.

$\frac{x^2 - 2x + 6}{x + 4} = 7$

$x^2 - 2x + 6 = 7(x + 4)$

$x^2 - 2x + 6 = 7x + 28$

$x^2 - 9x - 22 = 0$

По теореме Виета, сумма корней равна 9, а их произведение равно -22. Корни: $x_1 = 11$ и $x_2 = -2$. Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: при $x = -2$ и $x = 11$.