Номер 807, страница 181 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 9. Дополнительные упражнения к главе III. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 807, страница 181.

807. Туристы совершили три перехода в 12,5 км, 18 км и 14 км, причём скорость на первом переходе была на 1 км/ч меньше скорости на втором переходе и на столько же больше скорости на третьем. На третий переход они затратили на 30 мин больше, чем на второй. Сколько времени заняли все переходы?

Пусть x км/ч - скорость на первом переходе, тогда (х+1)км/ч - скорость на втором переходе и (х-1)км/ч - скорость на третьем переходе.

Зная, что на третий переход было затрачено на 0,5ч больше, чем на второй, составим и решим уравнение:

$$\begin{gathered} \frac{18}{x+1}+0,5=\frac{14}{x-1} /·(x+1)(x-1) \\ 18(x-1)+0,5(x+1)(x-1)=14(x+1) \\ 18x-18+0,5(x^2-1)-14(x+1)=0 \\ 18x-18 +0,5x^2-0,5-14x-14=0 \\ 0,5x^2+4x-32,5=0 /·10 \\ 5x^2+40x-325=0 /:5 \\ {x}^2+8x-65=0 \\ D=8^2-4·1·\left(-65\right)=64+260=324 \\ x=\frac{-8\pm \sqrt{324}}{2}; x=\frac{-8\pm 18}{2} \end{gathered}$$

$x_1=5; x_2=-13$ -не удовлетворяет условию задачи x>0

$\frac{12,5}{5}+\frac{18}{6}+\frac{14}{4}=2,5+3+3,5=9\left(\text{ч}\right)$

Ответ: 9ч

Для решения задачи введем переменные и систематизируем данные из условия:

• Расстояние первого перехода: $S_1 = 12.5$ км.
• Расстояние второго перехода: $S_2 = 18$ км.
• Расстояние третьего перехода: $S_3 = 14$ км.
• Скорости на переходах: $v_1, v_2, v_3$.
• Время на переходах: $t_1, t_2, t_3$.

Из условия известны соотношения между скоростями:

• Скорость на первом переходе ($v_1$) была на 1 км/ч меньше скорости на втором ($v_2$): $v_1 = v_2 - 1$.
• Скорость на первом переходе ($v_1$) была на 1 км/ч больше скорости на третьем ($v_3$): $v_1 = v_3 + 1$.

Для удобства выразим все скорости через одну переменную. Обозначим скорость на первом переходе за $x$ км/ч, т.е. $v_1 = x$. Тогда:

• $v_2 = v_1 + 1 = x + 1$ км/ч.
• $v_3 = v_1 - 1 = x - 1$ км/ч.

Поскольку скорость движения должна быть положительной, $v_3 > 0$, следовательно, $x - 1 > 0$, что означает $x > 1$.

Время каждого перехода вычисляется по формуле $t = S/v$. Выразим время каждого перехода через $x$:

• $t_1 = \frac{S_1}{v_1} = \frac{12.5}{x}$ ч.
• $t_2 = \frac{S_2}{v_2} = \frac{18}{x + 1}$ ч.
• $t_3 = \frac{S_3}{v_3} = \frac{14}{x - 1}$ ч.

По условию, на третий переход туристы затратили на 30 минут (то есть на 0,5 часа) больше, чем на второй. Составим уравнение на основе этого условия:

$t_3 = t_2 + 0.5$

Подставим в это уравнение выражения для $t_2$ и $t_3$:

$\frac{14}{x - 1} = \frac{18}{x + 1} + 0.5$

Теперь решим полученное уравнение. Перенесем член с переменной в левую часть:

$\frac{14}{x - 1} - \frac{18}{x + 1} = 0.5$

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $(x - 1)(x + 1) = x^2 - 1$:

$\frac{14(x + 1) - 18(x - 1)}{(x - 1)(x + 1)} = 0.5$

$\frac{14x + 14 - 18x + 18}{x^2 - 1} = 0.5$

$\frac{32 - 4x}{x^2 - 1} = 0.5$

Используя свойство пропорции, получим:

$32 - 4x = 0.5(x^2 - 1)$

Умножим обе части на 2, чтобы избавиться от десятичной дроби:

$2(32 - 4x) = x^2 - 1$

$64 - 8x = x^2 - 1$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2+bx+c=0$:

$x^2 + 8x - 65 = 0$

Решим это уравнение. Можно использовать теорему Виета или формулу для корней квадратного уравнения. Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-65) = 64 + 260 = 324$

Корни уравнения:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 \pm \sqrt{324}}{2} = \frac{-8 \pm 18}{2}$

$x_1 = \frac{-8 + 18}{2} = \frac{10}{2} = 5$

$x_2 = \frac{-8 - 18}{2} = \frac{-26}{2} = -13$

Корень $x_2 = -13$ не удовлетворяет условию $x > 1$, так как скорость не может быть отрицательной. Следовательно, скорость на первом переходе $v_1 = x = 5$ км/ч.

Теперь мы можем найти скорости на втором и третьем переходах:

• $v_2 = x + 1 = 5 + 1 = 6$ км/ч.
• $v_3 = x - 1 = 5 - 1 = 4$ км/ч.

Рассчитаем время, затраченное на каждый переход:

• $t_1 = \frac{12.5}{5} = 2.5$ часа.
• $t_2 = \frac{18}{6} = 3$ часа.
• $t_3 = \frac{14}{4} = 3.5$ часа.

Проверим: $t_3 - t_2 = 3.5 - 3 = 0.5$ часа, что соответствует 30 минутам. Условие выполнено.

Чтобы найти, сколько времени заняли все переходы, сложим время каждого из них:

$T_{общ} = t_1 + t_2 + t_3 = 2.5 + 3 + 3.5 = 9$ часов.

Ответ: все переходы заняли 9 часов.