Страница 181 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

805. Найдите значения переменной y, при которых:

а) сумма дробей 6y + 1 и yy - 2 равна их произведению;

б) сумма дробей 2y - 3 и 6y + 3 равна их частному;

в) разность дробей y + 12y - 4 и yy + 4 равна их произведению.

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}\frac{6}{y+1}+\frac{y}{y-2}=\frac{6}{y+1}·\frac{y}{y-2} \\ \frac{6\left(y-2\right)+y\left(y+1\right)}{\left(y+1\right)\left(y-2\right)}=\frac{6y}{\left(y+1\right)\left(y-2\right)} \\ \frac{6y-12+y^2+y-6y=0}{\left(y+1\right)\left(y-2\right)}\mathrm{/}·\left(y+1\right)\left(y-2\right) \\ {y}^2+y-12=0 \\ D=1^2-4·1·\left(-12\right)=1+48=49 \\ y=\frac{-1\pm \sqrt{49}}{2}; y=\frac{-1\pm 7}{2} \\ {y}_1=3; y_2=-4 \end{gathered}$$

Если $y=3y=3$, то $\left(y+1\right)\left(y-2\right)=\left(3+1\right)\left(3-2\right)\mathrm{\ne }0(y+1)(y-2)=(3+1)(3-2)\backslash neq\; 0$,

если $y=-4y=-4$, то $\left(y+1\right)\left(y-2\right)=\left(-4+1\right)\left(-4-2\right)\mathrm{\ne }0(y+1)(y-2)=(-4+1)(-4-2)\backslash neq\; 0$

Ответ: -4; 3

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}\frac{2}{y-3}+\frac{6}{y+3}=\frac{2}{y-3}:\frac{6}{y+3} \\ \frac{2\left(y+3\right)+6\left(y-3\right)}{\left(y-3\right)\left(y+3\right)}=\frac{2\left(y+3\right)}{6\left(y-3\right)} \\ \frac{2y+6+6y-18}{\left(y-3\right)\left(y+3\right)}=\frac{y+3}{3\left(y-3\right)}=0 \\ \frac{\left(8y-12\right)·3-{\left(y+3\right)}^2}{3\left(y-3\right)\left(y+3\right)}=0 \mathrm{/}·3\left(y-3\right)\left(y+3\right) \\ 24y-36-y^2-6y-9=0 \\ -y^2+18y-45=0 \\ D=18^2-4·\left(-1\right)·\left(-45\right)=324-180=144 \\ y=\frac{-18\pm \sqrt{144}}{-2}; y=\frac{-18\pm 12}{-2} \\ {y}_1=3; y_2=15 \end{gathered}$$

Если у=3, то ${у}^2-9=3^2-9=0,$

если у=15, по ${у}^2-9={15}^2-9\ne 0$

Ответ: 15

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}\frac{y+12}{y-4}-\frac{y}{y+4}=\frac{y+12}{y-4}·\frac{y}{y+4} \\ \frac{\left(y+12\right)\left(y+4\right)-y\left(y-4\right)}{\left(y-4\right)\left(y+4\right)}=\frac{y\left(y+12\right)}{\left(y-4\right)\left(y+4\right)} \\ \frac{y^2+4y+12y+48-y^2+4y}{\left(y-4\right)\left(y+4\right)}=\frac{y^2+12y}{\left(y-4\right)\left(y+4\right)}=0 \\ \frac{20y+48-y^2-12y}{\left(y-4\right)\left(y+4\right)}=0 /·(y-4)y+4) \\ -y^2+8y+48=0 \\ D=8^2-4(-1)·48=64+192=256 \\ y=\frac{-8\pm \sqrt{256}}{-2}; y=\frac{-8\pm 16}{-2} \\ {y}_1=-4; y_2=12 \end{gathered}$$

Если y=-4, то $y^2-16={(-4)}^2-16=0,$

если y=12, то $y^2-16={12}^2-16\ne 0$

Ответ: 12

а) Согласно условию, сумма дробей $\frac{6}{y+1}$ и $\frac{y}{y-2}$ равна их произведению. Составим и решим уравнение:

$\frac{6}{y+1} + \frac{y}{y-2} = \frac{6}{y+1} \cdot \frac{y}{y-2}$

Область допустимых значений (ОДЗ) переменной $y$ определяется условиями $y+1 \neq 0$ и $y-2 \neq 0$, то есть $y \neq -1$ и $y \neq 2$.

Приведем левую часть уравнения к общему знаменателю и выполним преобразования:

$\frac{6(y-2) + y(y+1)}{(y+1)(y-2)} = \frac{6y}{(y+1)(y-2)}$

Поскольку знаменатели дробей в обеих частях уравнения равны и не обращаются в ноль в ОДЗ, мы можем приравнять их числители:

$6(y-2) + y(y+1) = 6y$

$6y - 12 + y^2 + y = 6y$

$y^2 + 7y - 12 = 6y$

$y^2 + y - 12 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна $-1$, а их произведение равно $-12$. Следовательно, корни уравнения:

$y_1 = 3$, $y_2 = -4$.

Оба найденных значения входят в область допустимых значений, так как $3 \neq -1$, $3 \neq 2$ и $-4 \neq -1$, $-4 \neq 2$.

Ответ: $y = -4; y = 3$.

б) Согласно условию, сумма дробей $\frac{2}{y-3}$ и $\frac{6}{y+3}$ равна их частному. Составим и решим уравнение:

$\frac{2}{y-3} + \frac{6}{y+3} = \frac{2}{y-3} : \frac{6}{y+3}$

ОДЗ: $y-3 \neq 0 \Rightarrow y \neq 3$; $y+3 \neq 0 \Rightarrow y \neq -3$. Также делитель не должен быть равен нулю: $\frac{6}{y+3} \neq 0$, что выполняется для любого $y$ из ОДЗ.

Преобразуем уравнение, заменив деление на умножение на обратную дробь:

$\frac{2(y+3) + 6(y-3)}{(y-3)(y+3)} = \frac{2}{y-3} \cdot \frac{y+3}{6}$

$\frac{2y+6+6y-18}{y^2-9} = \frac{2(y+3)}{6(y-3)}$

$\frac{8y-12}{(y-3)(y+3)} = \frac{y+3}{3(y-3)}$

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $3(y-3)(y+3)$, чтобы избавиться от дробей (при $y \neq 3$ и $y \neq -3$):

$3(8y-12) = (y+3)(y+3)$

$24y - 36 = y^2 + 6y + 9$

$y^2 - 18y + 45 = 0$

Решим квадратное уравнение через дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-18)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 45 = 324 - 180 = 144 = 12^2$.

$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{18+12}{2} = 15$

$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{18-12}{2} = 3$

Проверим корни по ОДЗ. Корень $y_2=3$ является посторонним, так как при этом значении знаменатель $y-3$ обращается в ноль. Корень $y_1=15$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $y = 15$.

в) Согласно условию, разность дробей $\frac{y+12}{y-4}$ и $\frac{y}{y+4}$ равна их произведению. Составим и решим уравнение:

$\frac{y+12}{y-4} - \frac{y}{y+4} = \frac{y+12}{y-4} \cdot \frac{y}{y+4}$

ОДЗ: $y-4 \neq 0 \Rightarrow y \neq 4$; $y+4 \neq 0 \Rightarrow y \neq -4$.

Приведем левую часть к общему знаменателю:

$\frac{(y+12)(y+4) - y(y-4)}{(y-4)(y+4)} = \frac{y(y+12)}{(y-4)(y+4)}$

Приравняем числители, так как знаменатели равны и не равны нулю в ОДЗ:

$(y+12)(y+4) - y(y-4) = y(y+12)$

Раскроем скобки и упростим:

$(y^2 + 4y + 12y + 48) - (y^2 - 4y) = y^2 + 12y$

$y^2 + 16y + 48 - y^2 + 4y = y^2 + 12y$

$20y + 48 = y^2 + 12y$

$y^2 - 8y - 48 = 0$

Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-48) = 64 + 192 = 256 = 16^2$.

$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{8+16}{2} = 12$

$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{8-16}{2} = -4$

Проверим корни по ОДЗ. Корень $y_2=-4$ является посторонним, так как при этом значении знаменатель $y+4$ обращается в ноль. Корень $y_1=12$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $y = 12$.

806. На перегоне в 600 км после прохождения 14 пути поезд был задержан на 1 ч 30 мин. Чтобы прийти на конечную станцию вовремя, машинист увеличил скорость поезда на 15 км/ч. Сколько времени поезд был в пути?

1) $600·\frac{1}{4}=150$(км) - расстояние, которое прошёл поезд до задержки

2) 600-150=450(км) - расстояние, которое прошёл поезд после задержки

3) Пусть x км/ч - скорость поезда до задержки, тогда (x+15)км/ч - скорость поезда после задержки. Зная, что поезд был задержан на 1ч30мин, составим и решим уравнение.

$$\begin{gathered} \frac{150}{x}+1,5+\frac{450}{x+15}=\frac{600}{x} \\ \frac{150\left(x+15\right)+1,5x\left(x+15\right)+450x}{x\left(x+15\right)}=\frac{600}{x} \\ \frac{150x+2250+1,5x^2+22,5x+450x}{x\left(x+15\right)}- \\ -\frac{600}{x}=0 /·x(x+15) \\ 1,5x^2+622,5x+2250-600\left(x+15\right)=0 \\ 1,5x^2+622,5x+2250-600x-9000=0 \\ 1,5x^2+22,5x-6750=0 /·10 \\ 15x^2+225x-67500=0 /:15 \\ {x}^2+15x-4500=0 \\ D=15^2-4·1·\left(-4500\right)=225+18000=18225 \\ x=\frac{-15\pm \sqrt{18225}}{2}; x=\frac{-15\pm 135}{2} \end{gathered}$$

$x_1=60; x_2=-75$- не удовлетворяет условию задачи x>0

4) 600:60=10 (ч)

Ответ: 10ч

Пусть $S$ - общее расстояние, $v$ - первоначальная скорость поезда, а $t_{задержки}$ - время задержки. Из условия задачи имеем: $S = 600$ км. $t_{задержки} = 1$ час $30$ минут $= 1.5$ часа.

1. Определим расстояние, которое поезд проехал до задержки. Это $\frac{1}{4}$ всего пути: $S_1 = \frac{1}{4} \times S = \frac{1}{4} \times 600 = 150$ км.

2. Найдем оставшееся расстояние: $S_2 = S - S_1 = 600 - 150 = 450$ км.

3. Чтобы прибыть вовремя, поезд должен был компенсировать время задержки за счет увеличения скорости на оставшемся участке пути. Пусть $v$ (в км/ч) - первоначальная скорость поезда. Тогда время, которое он должен был потратить на второй участок по расписанию, равно $t_{план2} = \frac{S_2}{v} = \frac{450}{v}$ часов.

4. Фактически, на втором участке скорость поезда была $v + 15$ км/ч. Следовательно, фактическое время, затраченное на этот участок, составило $t_{факт2} = \frac{S_2}{v+15} = \frac{450}{v+15}$ часов.

5. Разница между плановым и фактическим временем прохождения второго участка пути равна времени задержки. Составим уравнение:
$\frac{450}{v} - \frac{450}{v+15} = 1.5$

6. Решим это уравнение для нахождения $v$:
$450 \left( \frac{1}{v} - \frac{1}{v+15} \right) = 1.5$
$450 \left( \frac{(v+15) - v}{v(v+15)} \right) = 1.5$
$450 \left( \frac{15}{v^2+15v} \right) = 1.5$
$\frac{6750}{v^2+15v} = 1.5$
$1.5(v^2+15v) = 6750$
$v^2+15v = \frac{6750}{1.5}$
$v^2+15v = 4500$
$v^2+15v - 4500 = 0$

7. Это квадратное уравнение. Найдем его корни, используя дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = 15^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4500) = 225 + 18000 = 18225$
$\sqrt{D} = \sqrt{18225} = 135$
$v_1 = \frac{-15 + 135}{2 \cdot 1} = \frac{120}{2} = 60$
$v_2 = \frac{-15 - 135}{2 \cdot 1} = \frac{-150}{2} = -75$
Поскольку скорость не может быть отрицательной, первоначальная скорость поезда равна $v = 60$ км/ч.

8. Вопрос задачи: "Сколько времени поезд был в пути?". Так как поезд прибыл на конечную станцию вовремя, общее время в пути равно плановому времени. Рассчитаем это время по первоначальной скорости:
$T_{общее} = \frac{S}{v} = \frac{600 \text{ км}}{60 \text{ км/ч}} = 10$ часов.

Для проверки можно сложить все отрезки времени: время движения на первом участке ($\frac{150}{60} = 2.5$ часа), время задержки ($1.5$ часа) и время движения на втором участке ($\frac{450}{60+15} = 6$ часов). Сумма $2.5 + 1.5 + 6 = 10$ часов, что подтверждает правильность расчетов.

Ответ: 10 часов.

807. Туристы совершили три перехода в 12,5 км, 18 км и 14 км, причём скорость на первом переходе была на 1 км/ч меньше скорости на втором переходе и на столько же больше скорости на третьем. На третий переход они затратили на 30 мин больше, чем на второй. Сколько времени заняли все переходы?

Пусть x км/ч - скорость на первом переходе, тогда (х+1)км/ч - скорость на втором переходе и (х-1)км/ч - скорость на третьем переходе.

Зная, что на третий переход было затрачено на 0,5ч больше, чем на второй, составим и решим уравнение:

$$\begin{gathered} \frac{18}{x+1}+0,5=\frac{14}{x-1} /·(x+1)(x-1) \\ 18(x-1)+0,5(x+1)(x-1)=14(x+1) \\ 18x-18+0,5(x^2-1)-14(x+1)=0 \\ 18x-18 +0,5x^2-0,5-14x-14=0 \\ 0,5x^2+4x-32,5=0 /·10 \\ 5x^2+40x-325=0 /:5 \\ {x}^2+8x-65=0 \\ D=8^2-4·1·\left(-65\right)=64+260=324 \\ x=\frac{-8\pm \sqrt{324}}{2}; x=\frac{-8\pm 18}{2} \end{gathered}$$

$x_1=5; x_2=-13$ -не удовлетворяет условию задачи x>0

$\frac{12,5}{5}+\frac{18}{6}+\frac{14}{4}=2,5+3+3,5=9\left(\text{ч}\right)$

Ответ: 9ч

Для решения задачи введем переменные и систематизируем данные из условия:

• Расстояние первого перехода: $S_1 = 12.5$ км.
• Расстояние второго перехода: $S_2 = 18$ км.
• Расстояние третьего перехода: $S_3 = 14$ км.
• Скорости на переходах: $v_1, v_2, v_3$.
• Время на переходах: $t_1, t_2, t_3$.

Из условия известны соотношения между скоростями:

• Скорость на первом переходе ($v_1$) была на 1 км/ч меньше скорости на втором ($v_2$): $v_1 = v_2 - 1$.
• Скорость на первом переходе ($v_1$) была на 1 км/ч больше скорости на третьем ($v_3$): $v_1 = v_3 + 1$.

Для удобства выразим все скорости через одну переменную. Обозначим скорость на первом переходе за $x$ км/ч, т.е. $v_1 = x$. Тогда:

• $v_2 = v_1 + 1 = x + 1$ км/ч.
• $v_3 = v_1 - 1 = x - 1$ км/ч.

Поскольку скорость движения должна быть положительной, $v_3 > 0$, следовательно, $x - 1 > 0$, что означает $x > 1$.

Время каждого перехода вычисляется по формуле $t = S/v$. Выразим время каждого перехода через $x$:

• $t_1 = \frac{S_1}{v_1} = \frac{12.5}{x}$ ч.
• $t_2 = \frac{S_2}{v_2} = \frac{18}{x + 1}$ ч.
• $t_3 = \frac{S_3}{v_3} = \frac{14}{x - 1}$ ч.

По условию, на третий переход туристы затратили на 30 минут (то есть на 0,5 часа) больше, чем на второй. Составим уравнение на основе этого условия:

$t_3 = t_2 + 0.5$

Подставим в это уравнение выражения для $t_2$ и $t_3$:

$\frac{14}{x - 1} = \frac{18}{x + 1} + 0.5$

Теперь решим полученное уравнение. Перенесем член с переменной в левую часть:

$\frac{14}{x - 1} - \frac{18}{x + 1} = 0.5$

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $(x - 1)(x + 1) = x^2 - 1$:

$\frac{14(x + 1) - 18(x - 1)}{(x - 1)(x + 1)} = 0.5$

$\frac{14x + 14 - 18x + 18}{x^2 - 1} = 0.5$

$\frac{32 - 4x}{x^2 - 1} = 0.5$

Используя свойство пропорции, получим:

$32 - 4x = 0.5(x^2 - 1)$

Умножим обе части на 2, чтобы избавиться от десятичной дроби:

$2(32 - 4x) = x^2 - 1$

$64 - 8x = x^2 - 1$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2+bx+c=0$:

$x^2 + 8x - 65 = 0$

Решим это уравнение. Можно использовать теорему Виета или формулу для корней квадратного уравнения. Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-65) = 64 + 260 = 324$

Корни уравнения:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 \pm \sqrt{324}}{2} = \frac{-8 \pm 18}{2}$

$x_1 = \frac{-8 + 18}{2} = \frac{10}{2} = 5$

$x_2 = \frac{-8 - 18}{2} = \frac{-26}{2} = -13$

Корень $x_2 = -13$ не удовлетворяет условию $x > 1$, так как скорость не может быть отрицательной. Следовательно, скорость на первом переходе $v_1 = x = 5$ км/ч.

Теперь мы можем найти скорости на втором и третьем переходах:

• $v_2 = x + 1 = 5 + 1 = 6$ км/ч.
• $v_3 = x - 1 = 5 - 1 = 4$ км/ч.

Рассчитаем время, затраченное на каждый переход:

• $t_1 = \frac{12.5}{5} = 2.5$ часа.
• $t_2 = \frac{18}{6} = 3$ часа.
• $t_3 = \frac{14}{4} = 3.5$ часа.

Проверим: $t_3 - t_2 = 3.5 - 3 = 0.5$ часа, что соответствует 30 минутам. Условие выполнено.

Чтобы найти, сколько времени заняли все переходы, сложим время каждого из них:

$T_{общ} = t_1 + t_2 + t_3 = 2.5 + 3 + 3.5 = 9$ часов.

Ответ: все переходы заняли 9 часов.

808. Автомобиль прошёл с некоторой постоянной скоростью путь от А до В длиной 240 км. Возвращаясь обратно, он прошёл половину пути с той же скоростью, а затем увеличил её на 10 км/ч. В результате на обратный путь было затрачено на 25 ч меньше, чем на путь от А до В. С какой скоростью шёл автомобиль из А в В?

Пусть х км/ч - скорость из А в В, тогда (x+10)км/ч - скорость, с которой он шёл обратно на второй половине пути. Зная, что расстояние между А и В равно 240км, составим и решим уравнение

$$\begin{gathered} \frac{240}{x}=\frac{120}{x}+\frac{120}{x+10}+\frac{2}{5} /·5x(x+10) \\ 240·5\left(x+10\right)=120·5\left(x+10\right)+120·5x+2x\left(x+10\right) \\ 1200\left(x+10\right)=600\left(x+10\right)+600x+2x^2+20x \\ 2x^2+20x+600x+16000+600x- \\ -1200x-12000=0 \\ 2x^2+20x-6000=0 \mathrm{/}:12 \\ {x}^2+10x-3000=0 \\ D=10^2-4·1·\left(-3000\right)=100+12000=12100 \\ x=\frac{-10\pm \sqrt{12100}}{2}; x=\frac{-10\pm 110}{2} \end{gathered}$$

$x_1= 50; {х}_2=-60$ - не удовлетворяет условию задачи x>0

Ответ: 50 км/ч

Пусть $v$ км/ч — постоянная скорость автомобиля на пути из А в В. Расстояние равно 240 км.

Время, которое автомобиль затратил на путь из А в В, составляет $t_1 = \frac{240}{v}$ часов.

На обратном пути автомобиль прошел первую половину пути, равную $120$ км, с той же скоростью $v$ км/ч. Время, затраченное на этот участок, равно $t_{2a} = \frac{120}{v}$ часов.

Вторую половину пути, также равную $120$ км, он прошел со скоростью, увеличенной на 10 км/ч, то есть $v + 10$ км/ч. Время, затраченное на этот участок, равно $t_{2b} = \frac{120}{v + 10}$ часов.

Общее время на обратный путь составляет $t_2 = t_{2a} + t_{2b} = \frac{120}{v} + \frac{120}{v + 10}$ часов.

Из условия известно, что на обратный путь было затрачено на $\frac{2}{5}$ часа меньше, чем на путь из А в В. Это можно записать в виде уравнения:

$t_1 - t_2 = \frac{2}{5}$

Подставим выражения для $t_1$ и $t_2$:

$\frac{240}{v} - \left(\frac{120}{v} + \frac{120}{v + 10}\right) = \frac{2}{5}$

Раскроем скобки и упростим левую часть:

$\frac{240}{v} - \frac{120}{v} - \frac{120}{v + 10} = \frac{2}{5}$

$\frac{120}{v} - \frac{120}{v + 10} = \frac{2}{5}$

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $v(v + 10)$:

$\frac{120(v + 10) - 120v}{v(v + 10)} = \frac{2}{5}$

$\frac{120v + 1200 - 120v}{v^2 + 10v} = \frac{2}{5}$

$\frac{1200}{v^2 + 10v} = \frac{2}{5}$

Теперь решим получившуюся пропорцию:

$2(v^2 + 10v) = 1200 \cdot 5$

$2(v^2 + 10v) = 6000$

Разделим обе части уравнения на 2:

$v^2 + 10v = 3000$

Перенесем 3000 в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$v^2 + 10v - 3000 = 0$

Найдем корни этого уравнения с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3000) = 100 + 12000 = 12100$

$\sqrt{D} = \sqrt{12100} = 110$

Теперь найдем значения $v$:

$v_1 = \frac{-10 + 110}{2} = \frac{100}{2} = 50$

$v_2 = \frac{-10 - 110}{2} = \frac{-120}{2} = -60$

Поскольку скорость не может быть отрицательной величиной, корень $v_2 = -60$ не является решением задачи. Таким образом, скорость автомобиля из А в В равна 50 км/ч.

Ответ: 50 км/ч.

809. Расстояние от А до В, равное 400 км, поезд прошёл с некоторой постоянной скоростью; 25 обратного пути из В в А он шёл с той же скоростью, а потом уменьшил скорость на 20 км/ч. Найдите скорость поезда на последнем участке, если на всю дорогу было затрачено 11 ч.

1) $400·\frac{2}{5}=160400\; \backslash cdot\; \backslash frac\{2\}\{5\}\; =\; 160$ (км) - расстояние на обратном пути, которое поезд шёл с первоначальной скоростью;

2) $400-160-240400\; -\; 160\; -\; 240$ (км) - расстояние, которое поезд шел с уменьшенной скоростью

3) Пусть x км/ч - скорость поезда на пути из A в B, тогда $\left(x-20\right)(x-20)$км/ч - скорость поезда на последнем участке пути. Зная, что на всю дорогу он затратил 11ч, составим и решим уравнение.

$$\begin{gathered} \frac{400}{x}+\frac{160}{x}+\frac{240}{x-20}=11 \\ \frac{560}{x}+\frac{240}{x-20}=11 /·x\left(x-20\right) \\ 560\left(x-20\right)+240x=11x\left(x-20\right) \\ 560x-11200+240x-11x^2+220x=0 \\ -11x^2+1020x-11200=0 \\ -11x^2+2·510x-11200=0 \\ {D}_1=510^2-\left(-11\right)·\left(-11200\right)=260100-123200= \\ =136900 \\ x=\frac{-510\pm \sqrt{136900}}{-11}=\frac{-510\pm 370}{-11} \end{gathered}$$

$x_1=\frac{-140}{-11}=12\frac{8}{11}$ - не удовлетворяет условию задачи, т.к. $x-20>0, x>20$

$x_2=80$

80-20=60 (км/ч) - скорость на последнем участке пути.

Ответ: 60 км/ч

Пусть $v$ км/ч — первоначальная постоянная скорость поезда. Тогда время, затраченное на путь из A в B, составляет $t_1 = \frac{400}{v}$ часов.

Обратный путь из B в A состоит из двух участков.

1. Первый участок обратного пути:

Поезд прошёл $\frac{2}{5}$ всего расстояния. Найдем длину этого участка:$S_2 = 400 \cdot \frac{2}{5} = 160$ км.Скорость на этом участке была такой же, как и на пути из A в B, то есть $v$ км/ч.Время, затраченное на этот участок: $t_2 = \frac{160}{v}$ часов.

2. Второй (последний) участок обратного пути:

Оставшееся расстояние:$S_3 = 400 - 160 = 240$ км.На этом участке поезд уменьшил скорость на 20 км/ч, поэтому его скорость стала $(v - 20)$ км/ч.Время, затраченное на этот участок: $t_3 = \frac{240}{v - 20}$ часов.

По условию, на всю дорогу было затрачено 11 часов. Составим уравнение, сложив время, затраченное на каждый участок:

$t_1 + t_2 + t_3 = 11$

$\frac{400}{v} + \frac{160}{v} + \frac{240}{v - 20} = 11$

Сложим первые две дроби:

$\frac{560}{v} + \frac{240}{v - 20} = 11$

Приведём дроби к общему знаменателю $v(v - 20)$. Учтём, что $v > 0$ и $v - 20 > 0$, следовательно $v > 20$.

$\frac{560(v - 20) + 240v}{v(v - 20)} = 11$

$560(v - 20) + 240v = 11v(v - 20)$

$560v - 11200 + 240v = 11v^2 - 220v$

$800v - 11200 = 11v^2 - 220v$

Перенесём все члены в правую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$11v^2 - 220v - 800v + 11200 = 0$

$11v^2 - 1020v + 11200 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-1020)^2 - 4 \cdot 11 \cdot 11200 = 1040400 - 492800 = 547600$

$\sqrt{D} = \sqrt{547600} = 740$

Найдем корни уравнения:

$v_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1020 + 740}{2 \cdot 11} = \frac{1760}{22} = 80$

$v_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1020 - 740}{2 \cdot 11} = \frac{280}{22} = \frac{140}{11}$

Проверим корни на соответствие условию $v > 20$.

$v_1 = 80$ км/ч. Этот корень удовлетворяет условию $80 > 20$.

$v_2 = \frac{140}{11} \approx 12.7$ км/ч. Этот корень не удовлетворяет условию, так как $12.7 < 20$, и в этом случае скорость на последнем участке $(v-20)$ была бы отрицательной, что невозможно.

Таким образом, первоначальная скорость поезда была $v = 80$ км/ч.

Вопрос задачи — найти скорость поезда на последнем участке. Эта скорость равна $(v - 20)$ км/ч.

$80 - 20 = 60$ км/ч.

Ответ: 60 км/ч.

810. Турист проехал на моторной лодке вверх по реке 25 км, а обратно спустился на плоту. В лодке он плыл на 10 ч меньше, чем на плоту. Найдите скорость течения, если скорость лодки в стоячей воде 12 км/ч.

Пусть x км/ч - скорость течения реки (плота), тогда $\left(12-x\right)(12-x)$км/ч - скорость лодки против течения (вверх по реке). Зная, что в лодке он плыл на 10ч меньше, чем на плоту, составим и решим уравнение.

$$\begin{gathered} 10+\frac{25}{12-x}=\frac{25}{x} /·x\left(12-x\right) \\ 10x\left(12-x\right)+25x=25\left(12-x\right) \\ 120x-10x^2+25x=300-25x \\ -10x^2+145x+25x-300=0 \\ -10x^2+170x-300=0 /:\left(-10\right) \\ {x}^2-17x+30=0 \\ D={\left(-17\right)}^2-4·1·30=289-120=169 \\ x=\frac{17\pm \sqrt{169}}{2}; x=\frac{17\pm 13}{2} \\ {x}_1=15; x_2=2 \end{gathered}$$

Если x=15, то , что не удовлетворяет условию задачи.

Ответ: 2 км/ч

Обозначим искомую скорость течения реки через $x$ км/ч.

Собственная скорость моторной лодки (скорость в стоячей воде) равна 12 км/ч. Турист проехал на лодке вверх по реке, то есть против течения. Скорость лодки против течения составляет $v_{против} = (12 - x)$ км/ч.

Расстояние, которое проехал турист, равно 25 км. Время, затраченное на путь в лодке, вычисляется по формуле $t = \frac{S}{v}$:$t_{лодка} = \frac{25}{12 - x}$ часов.

Обратно турист спускался на плоту. Скорость плота равна скорости течения реки, поэтому $v_{плот} = x$ км/ч. Время, затраченное на обратный путь, составляет:$t_{плот} = \frac{25}{x}$ часов.

По условию задачи, на лодке турист плыл на 10 часов меньше, чем на плоту. Это можно выразить уравнением:$t_{плот} - t_{лодка} = 10$

Подставим в это уравнение выражения для времени:$\frac{25}{x} - \frac{25}{12 - x} = 10$

Для решения уравнения необходимо учесть область допустимых значений. Скорость $x$ должна быть положительной ($x > 0$). Кроме того, чтобы лодка могла двигаться против течения, её собственная скорость должна быть больше скорости течения, то есть $12 - x > 0$, откуда $x < 12$. Таким образом, $0 < x < 12$.

Приведем дроби в левой части уравнения к общему знаменателю $x(12 - x)$:$\frac{25(12 - x) - 25x}{x(12 - x)} = 10$

$25(12 - x) - 25x = 10x(12 - x)$

Раскроем скобки и упростим выражение:$300 - 25x - 25x = 120x - 10x^2$$300 - 50x = 120x - 10x^2$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:$10x^2 - 120x - 50x + 300 = 0$$10x^2 - 170x + 300 = 0$

Разделим все уравнение на 10 для упрощения:$x^2 - 17x + 30 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта.$D = b^2 - 4ac = (-17)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 30 = 289 - 120 = 169$$\sqrt{D} = \sqrt{169} = 13$

Найдем корни уравнения:$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{17 - 13}{2} = \frac{4}{2} = 2$$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{17 + 13}{2} = \frac{30}{2} = 15$

Теперь проверим, соответствуют ли найденные корни условию $0 < x < 12$.Корень $x_1 = 2$ удовлетворяет этому условию.Корень $x_2 = 15$ не удовлетворяет условию, так как скорость течения не может быть больше собственной скорости лодки. Следовательно, это посторонний корень.

Единственное решение, имеющее физический смысл, — $x = 2$.

Проверим найденное решение:Время движения на лодке: $t_{лодка} = \frac{25}{12 - 2} = \frac{25}{10} = 2,5$ часа.Время движения на плоту: $t_{плот} = \frac{25}{2} = 12,5$ часа.Разница во времени: $12,5 - 2,5 = 10$ часов, что полностью соответствует условию задачи.

Ответ: 2 км/ч.

811. Моторная лодка прошла 35 км вверх по реке и на 18 км поднялась по её притоку, затратив на весь путь 8 ч. Скорость течения в реке на 1 км/ч меньше скорости течения в её притоке. Найдите скорость течения в реке, если скорость лодки в стоячей воде 10 км/ч.

Пусть х км/ч - скорость течения в реке, тогда (x+1)км/ч - скорость течения в её протоке.

Зная, что моторная лодка имеет собственную скорость (скорость в стоячей воде) 10км/ч, составим и решим уравнение по условию задачи:

$$\begin{gathered} \frac{35}{10-x}+\frac{18}{10-\left(x+1\right)}=8 \\ \frac{35}{10-x}+\frac{18}{9-x}=8 /·(10-x)(9-x) \\ 35\left(9-x\right)+18\left(10-x\right)=8\left(10-x\right)\left(9-x\right) \\ 315-35x+180-18x=8\left(90-10x-9x+x^2\right) \\ 495-53x=720-152x+8x^2 \\ 8x^2-152x+720-495+53x=0 \\ 8x^2-99x+225=0 \\ D={\left(-99\right)}^2-4·8·225=9801-7200=2601 \\ x=\frac{99\pm \sqrt{2601}}{16}; x=\frac{99\pm 51}{16} \\ {x}_1=9,375; x_2=3 \end{gathered}$$

Если x=9,375, то (10-x)(9-9,375)<0, что не удовлетворяет условию задачи.

Ответ: 3 км/ч

Пусть $x$ км/ч — искомая скорость течения в реке.

Согласно условию задачи, скорость течения в реке на 1 км/ч меньше скорости течения в её притоке. Это означает, что скорость течения в притоке на 1 км/ч больше, чем в реке, и составляет $(x + 1)$ км/ч.

Собственная скорость лодки в стоячей воде равна 10 км/ч.

Лодка шла вверх по реке и вверх по притоку, то есть двигалась против течения.

Скорость лодки против течения в реке равна разности собственной скорости лодки и скорости течения реки: $V_1 = 10 - x$ (км/ч).

Скорость лодки против течения в притоке равна разности собственной скорости лодки и скорости течения притока: $V_2 = 10 - (x + 1) = 10 - x - 1 = 9 - x$ (км/ч).

Для того чтобы лодка могла двигаться против течения, её собственная скорость должна быть больше скорости течения. Поэтому должны выполняться условия: $10 - x > 0$ и $9 - x > 0$, что равносильно $x < 10$ и $x < 9$. Поскольку скорость течения — величина положительная, то $x > 0$. Таким образом, допустимые значения для $x$ лежат в интервале $0 < x < 9$.

Время, которое лодка затратила на путь по реке, вычисляется по формуле $t = S/V$: $t_1 = \frac{35}{10 - x}$ (ч).

Время, которое лодка затратила на путь по притоку: $t_2 = \frac{18}{9 - x}$ (ч).

Общее время, затраченное на весь путь, составляет 8 часов. Составим уравнение, сложив время движения по реке и по притоку: $t_1 + t_2 = 8$ $\frac{35}{10 - x} + \frac{18}{9 - x} = 8$

Для решения уравнения приведем дроби в левой части к общему знаменателю $(10 - x)(9 - x)$: $\frac{35(9 - x) + 18(10 - x)}{(10 - x)(9 - x)} = 8$

Раскроем скобки в числителе и в знаменателе, а затем умножим обе части уравнения на знаменатель, при условии что $x \neq 9$ и $x \neq 10$: $35(9 - x) + 18(10 - x) = 8(10 - x)(9 - x)$ $315 - 35x + 180 - 18x = 8(90 - 10x - 9x + x^2)$ $495 - 53x = 8(x^2 - 19x + 90)$ $495 - 53x = 8x^2 - 152x + 720$

Перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение $ax^2 + bx + c = 0$: $8x^2 - 152x + 53x + 720 - 495 = 0$ $8x^2 - 99x + 225 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$: $D = (-99)^2 - 4 \cdot 8 \cdot 225 = 9801 - 32 \cdot 225 = 9801 - 7200 = 2601$ Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня. Найдем корень из дискриминанта: $\sqrt{2601} = 51$.

Вычислим корни уравнения: $x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{99 + 51}{2 \cdot 8} = \frac{150}{16} = \frac{75}{8} = 9.375$ $x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{99 - 51}{2 \cdot 8} = \frac{48}{16} = 3$

Теперь необходимо проверить, удовлетворяют ли найденные корни ранее установленному ограничению $0 < x < 9$.

Корень $x_1 = 9.375$ не удовлетворяет условию, так как $9.375 > 9$. Этот корень является посторонним, так как при такой скорости течения в реке, скорость течения в притоке была бы $9.375 + 1 = 10.375$ км/ч, что превышает собственную скорость лодки.

Корень $x_2 = 3$ удовлетворяет условию $0 < 3 < 9$. Следовательно, это и есть решение задачи.

Ответ: скорость течения в реке равна 3 км/ч.

812. Из пункта А отправили по течению плот. Вслед за ним через 5 ч 20 мин из того же пункта вышел катер и догнал плот, пройдя 20 км. Сколько километров в час проходил плот, если катер шёл быстрее его на 12 км/ч?

Пусть x км/ч - скорость плота, тогда (12+x)км/ч - скорость катера. Зная, что плот и катер проплыли по 20км, а плот был в пути на 5ч20мин больше, чем катер, составим и решим уравнение

$$\begin{gathered} \frac{20}{x+12}+5\frac{20}{60}=\frac{20}{x} \\ \frac{20}{x+12}+5\frac{1}{3}=\frac{20}{x} /·3(x+12)x \\ 20·3x+16x\left(x+12\right)=20·3\left(x+12\right) \\ 60x+16x^2+192x=60x+720 \\ 16x^2+192x-720=0 /:16 \\ {x}^2+12x-45=0 \\ D=12^2-4·1·\left(-45\right)=144+180=324 \\ x=\frac{-12\pm \sqrt{324}}{2}; x=\frac{-12\pm 18}{2} \end{gathered}$$

$x_1=3; x_2=-15$ - не удовлетворяет условию задачи x>0

Ответ: 3 км/ч

Для решения задачи введем переменные. Пусть $v_п$ — скорость плота в км/ч. Поскольку плот движется по течению, его скорость равна скорости течения реки. Скорость катера по течению, $v_к$, по условию на 12 км/ч больше скорости плота.

Таким образом, мы можем записать соотношение скоростей:

$v_к = v_п + 12$ (км/ч)

Катер вышел вслед за плотом через 5 часов 20 минут. Переведем это время в часы:

$5 \text{ ч } 20 \text{ мин} = 5 + \frac{20}{60} \text{ ч} = 5 + \frac{1}{3} \text{ ч} = \frac{16}{3}$ ч.

Катер и плот встретились, когда катер прошел 20 км. Это означает, что к моменту встречи и плот, и катер прошли одинаковое расстояние $S = 20$ км от пункта А.

Обозначим время движения катера до встречи как $t_к$, а время движения плота как $t_п$.

Время движения катера можно выразить через расстояние и скорость:

$t_к = \frac{S}{v_к} = \frac{20}{v_п + 12}$

Время движения плота:

$t_п = \frac{S}{v_п} = \frac{20}{v_п}$

Поскольку плот был в пути на $\frac{16}{3}$ часа дольше, чем катер, мы можем составить уравнение:

$t_п - t_к = \frac{16}{3}$

Подставим выражения для $t_п$ и $t_к$ в это уравнение:

$\frac{20}{v_п} - \frac{20}{v_п + 12} = \frac{16}{3}$

Теперь решим это уравнение относительно $v_п$. Приведем левую часть к общему знаменателю:

$\frac{20(v_п + 12) - 20v_п}{v_п(v_п + 12)} = \frac{16}{3}$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{20v_п + 240 - 20v_п}{v_п^2 + 12v_п} = \frac{16}{3}$

$\frac{240}{v_п^2 + 12v_п} = \frac{16}{3}$

Используем свойство пропорции (перекрестное умножение):

$240 \cdot 3 = 16 \cdot (v_п^2 + 12v_п)$

$720 = 16v_п^2 + 192v_п$

Разделим обе части уравнения на 16 для упрощения:

$45 = v_п^2 + 12v_п$

Получили квадратное уравнение:

$v_п^2 + 12v_п - 45 = 0$

Решим его. Можно использовать теорему Виета или формулу для корней квадратного уравнения. По теореме Виета, произведение корней равно -45, а их сумма равна -12. Подходят числа -15 и 3.

$v_{п1} = -15$, $v_{п2} = 3$

Поскольку скорость не может быть отрицательной, корень $v_{п1} = -15$ не имеет физического смысла. Следовательно, скорость плота равна 3 км/ч.

Проверка:
Скорость плота $v_п = 3$ км/ч.
Скорость катера $v_к = 3 + 12 = 15$ км/ч.
Время движения плота $t_п = \frac{20}{3}$ ч.
Время движения катера $t_к = \frac{20}{15} = \frac{4}{3}$ ч.
Разница во времени $t_п - t_к = \frac{20}{3} - \frac{4}{3} = \frac{16}{3}$ ч, что соответствует 5 ч 20 мин. Решение верное.

Ответ: 3 км/ч.