Страница 174 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

734. Решите относительно y уравнение:

а) py – p – 1 = 0;

б) py – 3y – 4p + 12 = 0.

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}py-p-1=0 \\ py=p+1 \\ y=\frac{p+1}{p} \text{при }p\ne 0 \end{gathered}$$

при p=0 нет решений

Ответ: при p=0 - нет решений;

при $p\ne 0; y=\frac{p+1}{p}$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}py-3y-4p+12=0 \\ y\left(p-3\right)-4\left(p-3\right)=0 \\ \left(y-4\right)\left(p-3\right)=0 \\ \begin{array}{lcl}y-4=0& \text{или}& p-3=0\\ y=4& & p=3\end{array} \end{gathered}$$

y=4 при p≠3

$\begin{array}{cl}\text{при} p=3;& 3y-3y-4·3+12=0\\ & 0y=0\\ & y - \text{любое число}\end{array}$

Ответ: при p≠3; y=4;

при p=3; y - любое число

а)

Данное уравнение $py - p - 1 = 0$ является линейным относительно переменной $y$. Чтобы его решить, нужно выразить $y$.

Перенесем слагаемые, не содержащие $y$, в правую часть уравнения:
$py = p + 1$

Теперь необходимо разделить обе части на коэффициент при $y$, то есть на $p$. Это действие возможно только если $p \neq 0$. Поэтому рассмотрим два случая.

1. Если $p \neq 0$, то делим обе части уравнения на $p$:
$y = \frac{p+1}{p}$

2. Если $p = 0$, то уравнение принимает вид:
$0 \cdot y = 0 + 1$
$0 = 1$
Это неверное равенство, следовательно, при $p = 0$ уравнение не имеет решений (корней).

Ответ: если $p=0$, то корней нет; если $p \neq 0$, то $y = \frac{p+1}{p}$.

б)

В уравнении $py - 3y - 4p + 12 = 0$ сначала сгруппируем слагаемые: те, что содержат $y$, оставим в левой части, а остальные перенесем в правую.
$py - 3y = 4p - 12$

Вынесем общий множитель $y$ в левой части и общий множитель 4 в правой части:
$y(p - 3) = 4(p - 3)$

Коэффициент при $y$ равен $(p-3)$. Решение зависит от того, равен ли этот коэффициент нулю. Рассмотрим два случая.

1. Если $p - 3 \neq 0$, то есть $p \neq 3$.
В этом случае можно разделить обе части уравнения на выражение $(p-3)$, которое не равно нулю:
$y = \frac{4(p - 3)}{p - 3}$
$y = 4$

2. Если $p - 3 = 0$, то есть $p = 3$.
Подставим это значение в преобразованное уравнение $y(p - 3) = 4(p - 3)$:
$y(3 - 3) = 4(3 - 3)$
$y \cdot 0 = 4 \cdot 0$
$0 = 0$
Это верное равенство, истинное при любом значении $y$. Следовательно, при $p=3$ решением уравнения является любое число.

Ответ: если $p=3$, то $y$ — любое число; если $p \neq 3$, то $y = 4$.

735. Решите уравнение с параметром а:

ax – 2x = a³ – 2a² – 9a + 18.

$$\begin{gathered} ax-2x=a^3-2a^2-9a+18ax-2x\; =\; a^3-2a^2-9a+18 \\ x\left(a-2\right)=a^2\left(a-2\right)-9\left(a-2\right)x(a-2)\; =\; a^2(a-2)-9(a-2) \\ x\left(a-2\right)=\left(a^2-9\right)\left(a-2\right)x(a-2)\; =\; (a^2-9)(a-2) \\ x=\frac{\left(a^2-9\right)\left(a-2\right)}{a-2}x\; =\; \backslash frac\{(a^2-9)(a-2)\}\{a-2\} \end{gathered}$$

при $a\mathrm{\ne }2a\; \backslash neq\; 2$; $x=a^2-9x\; =\; a^2-9$

$$\begin{gathered} \begin{array}{cl}\text{при} a=2;& 2x-2x=8-8-18+18\\ & 0x=0 \\ x - \text{любое число}\end{array} \end{gathered}$$

Ответ: при $a\mathrm{\ne }2a\; \backslash neq\; 2$; $x=a^2-9x\; =\; a^2-9$;

при $a=2a\; =\; 2$; x - любое число

Данное уравнение является линейным относительно переменной $x$. Для его решения преобразуем обе части уравнения, разложив их на множители.

Левая часть уравнения: $ax - 2x = x(a - 2)$.

Правая часть уравнения: $a? - 2a? - 9a + 18 = (a? - 2a?) - (9a - 18) = a?(a - 2) - 9(a - 2) = (a - 2)(a? - 9)$.

Применив формулу разности квадратов $k? - m? = (k - m)(k + m)$ к выражению $(a? - 9)$, получим: $(a - 2)(a - 3)(a + 3)$.

Таким образом, исходное уравнение принимает вид: $x(a - 2) = (a - 2)(a - 3)(a + 3)$.

Решение этого уравнения зависит от значения коэффициента при $x$, то есть от выражения $(a - 2)$. Рассмотрим два случая.

1. Если коэффициент при $x$ не равен нулю, то есть $a - 2 \neq 0 \implies a \neq 2$.
В этом случае можно разделить обе части уравнения на $(a - 2)$: $x = \frac{(a - 2)(a - 3)(a + 3)}{a - 2}$.
После сокращения дроби получаем единственное решение: $x = (a - 3)(a + 3) = a? - 9$.

2. Если коэффициент при $x$ равен нулю, то есть $a - 2 = 0 \implies a = 2$.
Подставим значение $a = 2$ в преобразованное уравнение: $x \cdot (2 - 2) = (2 - 2)(2 - 3)(2 + 3)$
$x \cdot 0 = 0 \cdot (-1) \cdot 5$
$0 = 0$.
Это верное числовое равенство, которое не зависит от значения $x$. Следовательно, при $a = 2$ решением уравнения является любое действительное число.

Ответ: если $a = 2$, то $x \in \mathbb{R}$ (любое действительное число); если $a \ne 2$, то $x = a? - 9$.

736. Решите уравнение с параметром b:

2x² – 4x + b = 0.

$$\begin{gathered} 2x^2-4x+b=0 \\ D={\left(-4\right)}^2-4·2·b=16-8b \end{gathered}$$

1) Если , то корней нет

; $8b>168b\; >\; 16$; $b>2b\; >\; 2$

при $b>2b\; >\; 2$; корней нет

2) Если $D=0D\; =\; 0$, то один корень

$$\begin{gathered} 16-8b=016\; -\; 8b\; =\; 0 \\ 8b=168b\; =\; 16 \\ b=2b\; =\; 2 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \begin{array}{cl}\text{при} b=2;& 2x^2-4x+2=0 /:2\\ & x^2-2x+1=0 \\ D=0 \\ x=\frac{2}{2}=1\end{array} \end{gathered}$$

3) $D>0D\; >\; 0$, два корня

$16-8b>016\; -\; 8b\; >\; 0$; ;

$$\begin{gathered} \begin{array}{cl}\text{при} b<2,& 2x^2-4x+b=0\\ & D={\left(4\right)}^2-4·2b=16-8b \\ x=\frac{4\pm \sqrt{16-8b}}{4} \\ x=\frac{4\pm \sqrt{4\left(4-2b\right)}}{4} \\ x=\frac{4\pm 2\sqrt{4-2b}}{4} \\ x=\frac{2\left(2\pm \sqrt{4-2b}\right)}{4} \\ x=\frac{2\pm \sqrt{4-2b}}{2}\end{array} \end{gathered}$$

Ответ: при $b>2b\; >\; 2$, корней нет;

при $b=2b\; =\; 2$; $x=1x\; =\; 1$;

при ; $x=\frac{2\pm \sqrt{4-2b}}{2}x\; =\; \backslash frac\{2\; \backslash pm\; \backslash sqrt\{4\; -\; 2b\}\}\{2\}$

Данное уравнение $2x^2 - 4x + b = 0$ является квадратным относительно переменной $x$. Количество и значения его корней зависят от значения параметра $b$, которое определяет знак дискриминанта $D$.

Для квадратного уравнения вида $ax^2 + kx + c = 0$ дискриминант вычисляется по формуле $D = k^2 - 4ac$. В нашем случае коэффициенты равны $a=2$, $k=-4$ и $c=b$.

Найдем дискриминант:

$D = (-4)^2 - 4 \cdot 2 \cdot b = 16 - 8b$.

Рассмотрим три возможных случая в зависимости от знака дискриминанта.

1. Если $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней. Найдем, при каких значениях $b$ это условие выполняется:

$16 - 8b < 0$

$16 < 8b$

$b > 2$

Таким образом, при $b > 2$ уравнение не имеет решений в действительных числах.

2. Если $D = 0$, уравнение имеет один действительный корень (или два совпадающих корня). Это условие выполняется при:

$16 - 8b = 0$

$16 = 8b$

$b = 2$

При $b=2$ корень находится по формуле $x = \frac{-k}{2a}$:

$x = \frac{-(-4)}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1$.

3. Если $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Это условие выполняется при:

$16 - 8b > 0$

$16 > 8b$

$b < 2$

При $b < 2$ корни находятся по общей формуле $x_{1,2} = \frac{-k \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_{1,2} = \frac{-(-4) \pm \sqrt{16 - 8b}}{2 \cdot 2} = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 8b}}{4}$.

Упростим это выражение, вынеся общий множитель из-под корня:

$x_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{4(4 - 2b)}}{4} = \frac{4 \pm 2\sqrt{4 - 2b}}{4} = 1 \pm \frac{\sqrt{4 - 2b}}{2}$.

Ответ: при $b > 2$ корней нет; при $b = 2$ уравнение имеет один корень $x = 1$; при $b < 2$ уравнение имеет два корня $x = 1 \pm \frac{\sqrt{4 - 2b}}{2}$.

737. Решите относительно x уравнение:

а) x² – 5ax + 4a² = 0;

б) 3x² – 10ax + 3a² = 0.

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}{x}^2-5ax+4a^2=0 \\ D={\left(-5a\right)}^2-4·1·4a^2=25a^2-16a^2=9a^2 \\ x=\frac{5a\pm \sqrt{9a^2}}{2}; x=\frac{5a\pm 3a}{2} \\ {x}_1=4a; x_2=a \text{при} a\ne 0 \end{gathered}$$

Если а=0, то $x^2=0; x=0$

Ответ: при а≠0; x=4a; x=a;

при а=0; x=0

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}3x^2-10ax+3a^2=0 \\ D={\left(-10a\right)}^2-4·3·3a^2=100a^2-36a^2=64a^2 \\ x=\frac{10\pm \sqrt{64a^2}}{6}; x=\frac{10\pm 8a}{6} \\ {x}_1=3a; x_2=\frac{a}{3} \text{при} a \ne 0 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \begin{array}{cl}\text{Если} а=0, \text{то}& 3x^2=0\\ & x^2=0 \\ x=0\end{array} \end{gathered}$$

Ответ: при a≠0; x=3a ; $x=\frac{a}{3};$

при а=0; x=0

а) $x^2 - 5ax + 4a^2 = 0$

Данное уравнение является квадратным относительно переменной $x$. Мы можем решить его, рассматривая $a$ как параметр. Для этого воспользуемся стандартной формулой для нахождения корней квадратного уравнения $Ax^2 + Bx + C = 0$.

В нашем случае коэффициенты равны: $A=1$, $B=-5a$, $C=4a^2$.

Найдем дискриминант $D$ по формуле $D = B^2 - 4AC$:
$D = (-5a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (4a^2) = 25a^2 - 16a^2 = 9a^2$.

Так как $a^2$ всегда является неотрицательным числом, дискриминант $D = 9a^2$ также всегда неотрицателен ($D \ge 0$). Это означает, что уравнение имеет действительные корни при любом значении параметра $a$.

Теперь найдем корни $x$ по формуле $x_{1,2} = \frac{-B \pm \sqrt{D}}{2A}$:
$x = \frac{-(-5a) \pm \sqrt{9a^2}}{2 \cdot 1} = \frac{5a \pm 3a}{2}$.

Определим каждый корень отдельно:
$x_1 = \frac{5a + 3a}{2} = \frac{8a}{2} = 4a$
$x_2 = \frac{5a - 3a}{2} = \frac{2a}{2} = a$

Ответ: $a; 4a$.

б) $3x^2 - 10ax + 3a^2 = 0$

Это также квадратное уравнение относительно $x$ с параметром $a$. Коэффициенты уравнения: $A=3$, $B=-10a$, $C=3a^2$.

Найдем дискриминант $D$ по формуле $D = B^2 - 4AC$:
$D = (-10a)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (3a^2) = 100a^2 - 36a^2 = 64a^2$.

Дискриминант $D = 64a^2$ всегда неотрицателен, поэтому уравнение всегда имеет действительные корни.

Найдем корни $x$ по формуле $x_{1,2} = \frac{-B \pm \sqrt{D}}{2A}$:
$x = \frac{-(-10a) \pm \sqrt{64a^2}}{2 \cdot 3} = \frac{10a \pm 8a}{6}$.

Определим каждый корень отдельно:
$x_1 = \frac{10a + 8a}{6} = \frac{18a}{6} = 3a$
$x_2 = \frac{10a - 8a}{6} = \frac{2a}{6} = \frac{a}{3}$

Ответ: $\frac{a}{3}; 3a$.

738. При каких значениях параметра t имеет единственный корень уравнение:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}3x^2+tx+3=0 \\ D=t^2-4·3·3=t^2-36 \\ \begin{array}{cl}D=0;& t^2-36=0\\ & t^2=36 \\ t=\pm 6\end{array} \end{gathered}$$

Ответ: при $t=\pm 6t=\backslash pm\; 6$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}2x^2-tx+50=0 \\ D={\left(-t\right)}^2-4·2·50=t^2-400 \\ \begin{array}{cl}D=0;& t^2-400=0\\ & t^2=400 \\ t=\pm 20\end{array} \end{gathered}$$

Ответ: при $t=\pm 20t\; =\; \backslash pm\; 20$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}t{x}^2-6x+1=0 \\ D={\left(-6\right)}^2-4·t·1=36-4t \\ \begin{array}{cl}D=0;& 36-4t=0\\ & 4t=36 \\ t=9\end{array} \end{gathered}$$

Если $t=0t=0$, то уравнение примет вид:

$$\begin{gathered} -6x+1=0-6x+1=0 \\ -6x=-1-6x=-1 \\ x=\frac{1}{6}x=\backslash frac\{1\}\{6\} \end{gathered}$$

Ответ: при $t=0; t=9$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г) }}t{x}^2+x-2=0 \\ D=1^2-4·t·\left(-2\right)=1+8t \\ \begin{array}{cl}D=0;& 1+8t=0\\ & 8t=-1 \\ t=-\frac{1}{8}\end{array} \end{gathered}$$

Если $t=0t=0$, то уравнение примет вид:

$$\begin{gathered} x-2=0x-2=0 \\ x=2x=2 \end{gathered}$$

Ответ при $t=0; t=-\frac{1}{8}$

а) $3x^2 + tx + 3 = 0$

Данное уравнение является квадратным, так как коэффициент при $x^2$ равен 3, что не равно нулю. Квадратное уравнение имеет единственный корень тогда и только тогда, когда его дискриминант $D$ равен нулю.

Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.

В нашем случае коэффициенты: $a = 3$, $b = t$, $c = 3$.

Вычисляем дискриминант:

$D = t^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = t^2 - 36$.

Приравниваем дискриминант к нулю, чтобы найти значения параметра $t$, при которых уравнение имеет один корень:

$t^2 - 36 = 0$

$t^2 = 36$

$t = \pm\sqrt{36}$

$t_1 = 6$, $t_2 = -6$.

Ответ: при $t = -6$ и $t = 6$.

б) $2x^2 - tx + 50 = 0$

Это уравнение также является квадратным, так как коэффициент при $x^2$ равен 2 (не равен нулю). Уравнение будет иметь единственный корень при условии, что дискриминант $D = 0$.

Коэффициенты уравнения: $a = 2$, $b = -t$, $c = 50$.

Вычисляем дискриминант:

$D = (-t)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 50 = t^2 - 400$.

Приравниваем дискриминант к нулю:

$t^2 - 400 = 0$

$t^2 = 400$

$t = \pm\sqrt{400}$

$t_1 = 20$, $t_2 = -20$.

Ответ: при $t = -20$ и $t = 20$.

в) $tx^2 - 6x + 1 = 0$

В этом уравнении коэффициент при $x^2$ зависит от параметра $t$. Необходимо рассмотреть два случая.

Случай 1: Уравнение является квадратным, то есть $t \neq 0$.

В этом случае уравнение имеет единственный корень, если его дискриминант $D$ равен нулю. Коэффициенты: $a = t$, $b = -6$, $c = 1$.

$D = (-6)^2 - 4 \cdot t \cdot 1 = 36 - 4t$.

Приравниваем дискриминант к нулю:

$36 - 4t = 0$

$4t = 36$

$t = 9$.

Так как $t=9 \neq 0$, это значение является решением.

Случай 2: Уравнение является линейным, то есть коэффициент при $x^2$ равен нулю: $t = 0$.

Подставим $t = 0$ в исходное уравнение:

$0 \cdot x^2 - 6x + 1 = 0$

$-6x + 1 = 0$

$-6x = -1$

$x = 1/6$.

При $t=0$ уравнение становится линейным и имеет один корень. Следовательно, $t=0$ также является решением.

Объединяя результаты обоих случаев, получаем два значения параметра $t$.

Ответ: при $t = 0$ и $t = 9$.

г) $tx^2 + x - 2 = 0$

Коэффициент при $x^2$ зависит от параметра $t$, поэтому рассмотрим два случая.

Случай 1: Уравнение является квадратным ($t \neq 0$).

Уравнение имеет единственный корень при $D = 0$. Коэффициенты: $a = t$, $b = 1$, $c = -2$.

$D = 1^2 - 4 \cdot t \cdot (-2) = 1 + 8t$.

Приравниваем дискриминант к нулю:

$1 + 8t = 0$

$8t = -1$

$t = -1/8$.

Это значение не равно нулю, поэтому является решением.

Случай 2: Уравнение является линейным ($t = 0$).

Подставим $t = 0$ в исходное уравнение:

$0 \cdot x^2 + x - 2 = 0$

$x - 2 = 0$

$x = 2$.

При $t=0$ уравнение становится линейным и имеет один корень. Значит, $t=0$ также является решением.

Объединяя результаты, получаем два значения параметра $t$.

Ответ: при $t = -1/8$ и $t = 0$.

739. Выясните, при каких значениях параметра а сумма квадратов корней уравнения принимает наименьшее значение, и найдите это значение.

x² – ax + a – 3 = 0

$$\begin{gathered} x^2-ax+a-3=0 \\ {x}_1^2+x_2^2=x_1^2+2x_1{x}_2+x_2^2-2x_1{x}_2={\left(x_1+x_2\right)}^2-2x_1{x}_2 \\ {x}_1+x_2=a \\ {x}_1·x_2=a-3 \\ {a}^2-2\left(a-3\right)=a^2-2a+6=a^2-2a+1+5= \\ ={\left(a-1\right)}^2+5 \end{gathered}$$

при a=1; $x_1^2+x_2^2=5x\_1^2+x\_2^2\; =\; 5$

Ответ: при a=1; 5

Данное уравнение $x^2 - ax + a - 3 = 0$ является квадратным. Для того чтобы оно имело действительные корни, его дискриминант $D$ должен быть неотрицательным ($D \ge 0$).

Найдем дискриминант:
$D = (-a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (a - 3) = a^2 - 4a + 12$.

Теперь исследуем знак выражения $a^2 - 4a + 12$. Это квадратичный трехчлен относительно $a$, его график — парабола с ветвями вверх. Найдем дискриминант этого трехчлена: $D_a = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 16 - 48 = -32$. Поскольку $D_a < 0$ и старший коэффициент (при $a^2$) положителен, трехчлен $a^2 - 4a + 12$ принимает только положительные значения при любом $a$. Следовательно, $D > 0$ для всех действительных $a$, и исходное уравнение всегда имеет два различных действительных корня.

Пусть $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения. Мы ищем наименьшее значение суммы их квадратов, то есть $x_1^2 + x_2^2$.

Воспользуемся теоремой Виета:
Сумма корней: $x_1 + x_2 = a$.
Произведение корней: $x_1 x_2 = a - 3$.

Выразим сумму квадратов корней через их сумму и произведение:
$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$.

Подставим выражения из теоремы Виета, чтобы получить зависимость суммы квадратов от параметра $a$:
$S(a) = (a)^2 - 2(a - 3) = a^2 - 2a + 6$.

Задача сводится к нахождению наименьшего значения квадратичной функции $S(a) = a^2 - 2a + 6$. График этой функции — парабола с ветвями вверх. Свое наименьшее значение она принимает в вершине. Найдем абсциссу вершины параболы:
$a_{верш} = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1$.

Таким образом, сумма квадратов корней принимает наименьшее значение при $a=1$.

Чтобы найти это наименьшее значение, подставим $a=1$ в функцию $S(a)$:
$S_{min} = S(1) = 1^2 - 2(1) + 6 = 1 - 2 + 6 = 5$.

Ответ: наименьшее значение суммы квадратов корней достигается при $a = 1$ и равно $5$.

740. Решите относительно x уравнение

(a – 1)x² + 2ax + a + 1 = 0.

$\left(a-1\right)x^2+2ax+a+1=0(a-1)x^2+2ax+a+1=0$

Если a=1, то уравнение примет вид:

$$\begin{gathered} 2x+1+1=02x+1+1=0 \\ 2x=-22x=-2 \\ x=-1x=-1 \end{gathered}$$

Если $a\mathrm{\ne }1a\backslash neq\; 1$, то

$$\begin{gathered} D={\left(2a\right)}^2-4·\left(a-1\right)\left(a+1\right)=4a^2-4\left(a^2-1\right)= \\ =4a^2-4a^2+4=4 \\ x=\frac{-2a\pm \sqrt{4}}{2\left(a-1\right)}; x=\frac{-2a\pm 2}{2\left(a-1\right)} \\ {x}_1=\frac{-2a+2}{2\left(a-1\right)}=\frac{-2\left(a-1\right)}{2\left(a-1\right)}=-1 \\ {x}_2=\frac{-2a-2}{2\left(a-1\right)}=\frac{-2\left(a+1\right)}{2\left(a-1\right)}=\frac{a+1}{-(a-1)}=\frac{a+1}{1-a} \end{gathered}$$

Ответ: при a=1; x=-1;

при $a\mathrm{\ne }1a\backslash neq\; 1$; x=-1; $x=\frac{a+1}{1-a}$

Данное уравнение $(a - 1)x^2 + 2ax + a + 1 = 0$ является уравнением с параметром $a$. Его тип (линейное или квадратное) и количество решений зависят от значения этого параметра. Поэтому необходимо рассмотреть все возможные случаи.

Случай 1: Уравнение является линейным.

Это происходит, когда коэффициент при $x^2$ равен нулю, то есть $a-1=0$, что дает $a=1$.

Подставим значение $a=1$ в исходное уравнение:

$(1 - 1)x^2 + 2(1)x + 1 + 1 = 0$

$0 \cdot x^2 + 2x + 2 = 0$

$2x + 2 = 0$

$2x = -2$

$x = -1$

Таким образом, при $a=1$ уравнение является линейным и имеет единственный корень.

Ответ: при $a=1$, $x=-1$.

Случай 2: Уравнение является квадратным.

Это происходит, когда коэффициент при $x^2$ не равен нулю, то есть $a-1 \neq 0$, или $a \neq 1$.

В этом случае мы имеем квадратное уравнение, для решения которого вычислим дискриминант $D$.

$D = (2a)^2 - 4(a-1)(a+1)$

$D = 4a^2 - 4(a^2 - 1) = 4a^2 - 4a^2 + 4 = 4$

Поскольку $D=4>0$, уравнение при $a \neq 1$ всегда имеет два различных действительных корня. Найдем их по общей формуле корней квадратного уравнения:

$x_{1,2} = \frac{-2a \pm \sqrt{D}}{2(a-1)} = \frac{-2a \pm \sqrt{4}}{2(a-1)} = \frac{-2a \pm 2}{2(a-1)}$

Найдем каждый корень:

$x_1 = \frac{-2a + 2}{2(a-1)} = \frac{2(1-a)}{2(a-1)} = \frac{-(a-1)}{a-1} = -1$

$x_2 = \frac{-2a - 2}{2(a-1)} = \frac{-2(a+1)}{2(a-1)} = -\frac{a+1}{a-1}$

Таким образом, при $a \neq 1$ уравнение имеет два корня.

Ответ: при $a \neq 1$, $x_1 = -1$ и $x_2 = -\frac{a+1}{a-1}$.

Итоговый ответ по всем значениям параметра $a$:

Объединяя результаты, полученные в обоих случаях, запишем окончательный ответ.

Ответ:
при $a=1$, $x = -1$;
при $a \neq 1$, $x_1 = -1, x_2 = -\frac{a+1}{a-1}$.

741. Решите уравнение с параметром k:

x² – (4k + 1)x + 2(2k² + k – 3) = 0.

$$\begin{gathered} x^2-\left(4k+1\right)x+2\left(2k^2+k-3\right)=0 \\ D={\left(-\left(4k+1\right)\right)}^2-4·1·2\left(2k^2+k-3\right)= \\ =16k^2+8k+1-16k^2-8k+24=25 \\ x=\frac{4k+1\pm \sqrt{25}}{2}; x=\frac{4k+1\pm 5}{2} \\ {x}_1=\frac{4k+1+5}{2}=\frac{4k+6}{2}=\frac{2\left(2k+3\right)}{2}=2k+3 \\ {x}_2=\frac{4k+1-5}{2}=\frac{4k-4}{2}=\frac{2\left(2k-2\right)}{2}=2k-2 \end{gathered}$$

Ответ: 2k-2; 2k+3

Данное уравнение является квадратным уравнением относительно переменной $x$. Его вид: $ax^2 + bx + c = 0$, где коэффициенты $a, b, c$ зависят от параметра $k$.

Выпишем коэффициенты:

$a = 1$

$b = -(4k + 1)$

$c = 2(2k^2 + k - 3)$

Для нахождения корней уравнения вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$.

$D = (-(4k + 1))^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2(2k^2 + k - 3)$

Раскроем скобки и упростим полученное выражение:

$D = (4k + 1)^2 - 8(2k^2 + k - 3)$

$D = (16k^2 + 8k + 1) - (16k^2 + 8k - 24)$

$D = 16k^2 + 8k + 1 - 16k^2 - 8k + 24$

После приведения подобных слагаемых получаем:

$D = 25$

Дискриминант $D = 25 > 0$ является постоянной величиной. Это означает, что при любом значении параметра $k$ данное уравнение имеет два различных действительных корня.

Корни уравнения находятся по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.

Подставим наши значения:

$x_{1,2} = \frac{4k + 1 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{4k + 1 \pm 5}{2}$

Теперь найдем каждый корень:

$x_1 = \frac{4k + 1 - 5}{2} = \frac{4k - 4}{2} = 2(k - 1)$

$x_2 = \frac{4k + 1 + 5}{2} = \frac{4k + 6}{2} = 2k + 3$

Ответ: $x_1 = 2k - 2$, $x_2 = 2k + 3$.

742. Выясните, при каких значениях параметра b равна 7 сумма корней уравнения

y² – (2b – 1)y + b² – b – 2 = 0.

$y^2-(2b-1)y +b^2-b-2=0$

Так как данное уравнение приведённое, то можно применить теорему Виста

$y_1+y_2=2b-1=7$

2b=8

b=4

Ответ: при b=4

Дано квадратное уравнение относительно переменной $y$: $y^2 - (2b - 1)y + b^2 - b - 2 = 0$.

Это приведенное квадратное уравнение, так как коэффициент при $y^2$ равен 1. Для приведенного квадратного уравнения вида $y^2 + py + q = 0$ по теореме Виета сумма корней $y_1$ и $y_2$ равна $y_1 + y_2 = -p$.

В данном уравнении коэффициент при $y$ равен $p = -(2b - 1)$. Следовательно, сумма корней равна:

$y_1 + y_2 = -(-(2b - 1)) = 2b - 1$

По условию задачи, эта сумма должна быть равна 7. Составим и решим уравнение:

$2b - 1 = 7$

$2b = 7 + 1$

$2b = 8$

$b = 4$

Для того чтобы у квадратного уравнения существовали действительные корни, его дискриминант $D$ должен быть неотрицательным ($D \ge 0$). Найдем дискриминант для нашего уравнения:

$D = (-(2b - 1))^2 - 4 \cdot 1 \cdot (b^2 - b - 2)$

$D = (2b - 1)^2 - 4(b^2 - b - 2)$

$D = (4b^2 - 4b + 1) - (4b^2 - 4b - 8)$

$D = 4b^2 - 4b + 1 - 4b^2 + 4b + 8$

$D = 9$

Поскольку дискриминант $D = 9 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня при любом значении параметра $b$. Это значит, что найденное значение $b=4$ является корректным решением.

Ответ: 4.

743. Решите уравнение:

а) ${\left(x+2\right)}^2+{\left(x-3\right)}^2=13$

$x^{2}x^2$+4x+4+$x^{2}x^2$-6x+9=13

$2x^{2}2x^2$-2x+13=13

$2x^{2}2x^2$-2x=0

2x(x-1)=0

х=0 или x-1=0; x=1

Ответ: 0; 1

б) ${\left(3x-5\right)}^2-(2x+1)=24$

$9x^{2}9x^2$-30x+25-($4x^{2}4x^2$+4x+1)=24

$9x^{2}9x^2$-30x+25-$4x^{2}4x^2$-4x-1-24=0

$5x^{2}5x^2$-34x=0

x(5x-34)=0

х=0 или 5x-34=0; 5x=34; x=6,8

Ответ: 0; 6,8

в) $(x-4)\left(x^2+4x+16\right)+28=x^2(x-25)$

$$\begin{gathered} x^3-64+28=x^3-25x^2 \\ -36=-25x^2 \\ {x}^2=\frac{ -36}{-25}; x^2=\frac{ 36}{25} \\ x=\pm \frac{6}{5}; x\pm 1,2 \end{gathered}$$

Ответ: ±1,2

г) $(2x+1)(4x^2-2x+1)-1=1,6x^2(5x-2)$

$$\begin{gathered} 8x^3+1-1=8x^3-3,2x^2 \\ -3,2x^2=0 \\ {x}^2=0 \\ x=0 \end{gathered}$$

Ответ: 0

а) $(x + 2)^2 + (x - 3)^2 = 13$

Раскроем скобки, используя формулы сокращенного умножения: квадрат суммы $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ и квадрат разности $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$.

$(x^2 + 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2) + (x^2 - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2) = 13$

$(x^2 + 4x + 4) + (x^2 - 6x + 9) = 13$

Приведем подобные слагаемые в левой части уравнения:

$(x^2 + x^2) + (4x - 6x) + (4 + 9) = 13$

$2x^2 - 2x + 13 = 13$

Перенесем 13 в левую часть уравнения и упростим:

$2x^2 - 2x + 13 - 13 = 0$

$2x^2 - 2x = 0$

Вынесем общий множитель $2x$ за скобки:

$2x(x - 1) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

$2x = 0$ или $x - 1 = 0$

Из первого уравнения получаем $x_1 = 0$.

Из второго уравнения получаем $x_2 = 1$.

Ответ: $0; 1$.

б) $(3x - 5)^2 - (2x + 1)^2 = 24$

Воспользуемся формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, где $a = 3x - 5$ и $b = 2x + 1$.

$((3x - 5) - (2x + 1))((3x - 5) + (2x + 1)) = 24$

Раскроем внутренние скобки:

$(3x - 5 - 2x - 1)(3x - 5 + 2x + 1) = 24$

Приведем подобные слагаемые в каждой из скобок:

$(x - 6)(5x - 4) = 24$

Теперь раскроем скобки, перемножив многочлены:

$5x^2 - 4x - 30x + 24 = 24$

$5x^2 - 34x + 24 = 24$

Перенесем 24 в левую часть:

$5x^2 - 34x + 24 - 24 = 0$

$5x^2 - 34x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(5x - 34) = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

$x = 0$ или $5x - 34 = 0$

$x_1 = 0$

$5x = 34 \implies x_2 = \frac{34}{5} = 6,8$

Ответ: $0; 6,8$.

в) $(x - 4)(x^2 + 4x + 16) + 28 = x^2(x - 25)$

Выражение $(x - 4)(x^2 + 4x + 16)$ является формулой разности кубов $(a - b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 - b^3$, где $a=x$ и $b=4$.

Применим эту формулу:

$(x^3 - 4^3) + 28 = x^2(x - 25)$

$x^3 - 64 + 28 = x^3 - 25x^2$

Упростим левую часть уравнения:

$x^3 - 36 = x^3 - 25x^2$

Перенесем слагаемые с переменной в одну сторону, а числовые значения — в другую. Слагаемые $x^3$ взаимно уничтожаются:

$x^3 - x^3 + 25x^2 = 36$

$25x^2 = 36$

Разделим обе части на 25:

$x^2 = \frac{36}{25}$

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$x = \pm\sqrt{\frac{36}{25}}$

$x_1 = \frac{6}{5} = 1,2$ и $x_2 = -\frac{6}{5} = -1,2$.

Ответ: $-1,2; 1,2$.

г) $(2x + 1)(4x^2 - 2x + 1) - 1 = 1,6x^2(5x - 2)$

Выражение $(2x + 1)(4x^2 - 2x + 1)$ является формулой суммы кубов $(a + b)(a^2 - ab + b^2) = a^3 + b^3$, где $a=2x$ и $b=1$.

Применим формулу:

$((2x)^3 + 1^3) - 1 = 1,6x^2(5x - 2)$

$(8x^3 + 1) - 1 = 1,6x^2(5x - 2)$

Упростим левую часть и раскроем скобки в правой части:

$8x^3 = 1,6x^2 \cdot 5x - 1,6x^2 \cdot 2$

$8x^3 = 8x^3 - 3,2x^2$

Перенесем $8x^3$ из правой части в левую:

$8x^3 - 8x^3 = -3,2x^2$

$0 = -3,2x^2$

Отсюда следует, что $x^2 = 0$.

Уравнение имеет единственный корень $x = 0$.

Ответ: $0$.

744. Решите относительно х уравнение:

a) $x^2=a$

$x=\pm \sqrt{a}$ при a>0

x=0 при a=0

нет корней при a<0

Ответ: при a>0; $x=\pm \sqrt{a}x\; =\; \backslash pm\; \backslash sqrt\{a\}$;

при a=0; x=0;

при a<0; ней корней

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}{x}^2=a^2 \\ \sqrt{x^2}=\sqrt{a^2} \\ \mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid } \\ x=a; x=-a \end{gathered}$$

Ответ: $\pm a\backslash pm\; a$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}{x}^2+4b=0 \\ {x}^2=-4b \end{gathered}$$

при b>0, корней нет;

при b=0; $x^2=0x^2=\; 0$; x=0;

при b<0, $$\begin{gathered} x=\pm \sqrt{-4b}x\; =\; \backslash pm\; \backslash sqrt\{-4b\} \\ x=\pm 2\sqrt{-b}x=\backslash pm\; 2\backslash sqrt\{-b\} \end{gathered}$$

Ответ: при b>0, корней нет;

при b=0; x=0;

при b<0; $x=\pm 2\sqrt{-b}x\; =\; \backslash pm\; 2\backslash sqrt\{-b\}$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г) }}{x}^2+9b^2=0 \\ {x}^2=-9b^2 \\ x=\pm \sqrt{-9b^2} \end{gathered}$$

$x=\pm 3\sqrt{-b^2}$ - не имеет смысла, т.к при b≠0

при $b=0b=0$; $x^2=0x^2=0$; $x=0x=0$

Ответ: при $b\mathrm{\ne }0b\backslash neq0$; корней нет;

при b=0; x=0

а) Дано уравнение $x^2 = a$. Решение этого уравнения зависит от значения параметра $a$, так как для нахождения $x$ нужно извлечь квадратный корень из $a$.
1. Если $a > 0$, то правая часть уравнения положительна. Уравнение имеет два различных действительных корня: $x_1 = \sqrt{a}$ и $x_2 = -\sqrt{a}$.
2. Если $a = 0$, уравнение принимает вид $x^2 = 0$, и оно имеет один корень (или два совпадающих): $x = 0$.
3. Если $a < 0$, правая часть уравнения отрицательна. Так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным ($x^2 \ge 0$), уравнение не имеет действительных корней.
Ответ: при $a > 0$ корни $x = \pm\sqrt{a}$; при $a = 0$ корень $x = 0$; при $a < 0$ действительных корней нет.

б) Дано уравнение $x^2 = a^2$. Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить $x^2 - a^2 = 0$.
Применим формулу разности квадратов $u^2 - v^2 = (u-v)(u+v)$:
$(x - a)(x + a) = 0$.
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю.
Это дает нам два возможных случая:
1. $x - a = 0 \implies x = a$.
2. $x + a = 0 \implies x = -a$.
Таким образом, уравнение имеет два корня. Если $a = 0$, то оба корня совпадают и равны 0.
Ответ: $x = \pm a$.

в) Дано уравнение $x^2 + 4b = 0$. Выразим $x^2$:
$x^2 = -4b$.
Решение этого уравнения зависит от знака выражения $-4b$, который, в свою очередь, зависит от знака параметра $b$.
1. Если $b < 0$, то $-4b > 0$. Уравнение имеет два действительных корня: $x = \pm\sqrt{-4b} = \pm 2\sqrt{-b}$.
2. Если $b = 0$, уравнение принимает вид $x^2 = 0$, и его единственный корень $x = 0$.
3. Если $b > 0$, то $-4b < 0$. Уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным ($x^2 \ge 0$).
Ответ: при $b < 0$ корни $x = \pm 2\sqrt{-b}$; при $b = 0$ корень $x = 0$; при $b > 0$ действительных корней нет.

г) Дано уравнение $x^2 + 9b^2 = 0$. Выразим $x^2$:
$x^2 = -9b^2$.
Проанализируем обе части уравнения. Левая часть, $x^2$, всегда неотрицательна для любого действительного числа $x$ ($x^2 \ge 0$).
Правая часть, $-9b^2$, всегда неположительна для любого действительного числа $b$, так как $b^2 \ge 0$, и, следовательно, $-9b^2 \le 0$.
Равенство между неотрицательным и неположительным числом возможно только в том случае, если оба числа равны нулю.
$x^2 = 0 \implies x = 0$.
$-9b^2 = 0 \implies b^2 = 0 \implies b = 0$.
Следовательно, уравнение имеет решение только при условии, что $b = 0$. В этом случае единственным решением является $x=0$. Если $b \neq 0$, то $-9b^2 < 0$, и уравнение не имеет действительных корней.
Ответ: при $b = 0$ корень $x = 0$; при $b \neq 0$ действительных корней нет.