Номер 737, страница 174 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

33. Уравнения с параметром. § 10. Уравнения с двумя переменными и их системы. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 737, страница 174.

737. Решите относительно x уравнение:

а) x² – 5ax + 4a² = 0;

б) 3x² – 10ax + 3a² = 0.

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}{x}^2-5ax+4a^2=0 \\ D={\left(-5a\right)}^2-4·1·4a^2=25a^2-16a^2=9a^2 \\ x=\frac{5a\pm \sqrt{9a^2}}{2}; x=\frac{5a\pm 3a}{2} \\ {x}_1=4a; x_2=a \text{при} a\ne 0 \end{gathered}$$

Если а=0, то $x^2=0; x=0$

Ответ: при а≠0; x=4a; x=a;

при а=0; x=0

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}3x^2-10ax+3a^2=0 \\ D={\left(-10a\right)}^2-4·3·3a^2=100a^2-36a^2=64a^2 \\ x=\frac{10\pm \sqrt{64a^2}}{6}; x=\frac{10\pm 8a}{6} \\ {x}_1=3a; x_2=\frac{a}{3} \text{при} a \ne 0 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \begin{array}{cl}\text{Если} а=0, \text{то}& 3x^2=0\\ & x^2=0 \\ x=0\end{array} \end{gathered}$$

Ответ: при a≠0; x=3a ; $x=\frac{a}{3};$

при а=0; x=0

а) $x^2 - 5ax + 4a^2 = 0$

Данное уравнение является квадратным относительно переменной $x$. Мы можем решить его, рассматривая $a$ как параметр. Для этого воспользуемся стандартной формулой для нахождения корней квадратного уравнения $Ax^2 + Bx + C = 0$.

В нашем случае коэффициенты равны: $A=1$, $B=-5a$, $C=4a^2$.

Найдем дискриминант $D$ по формуле $D = B^2 - 4AC$:
$D = (-5a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (4a^2) = 25a^2 - 16a^2 = 9a^2$.

Так как $a^2$ всегда является неотрицательным числом, дискриминант $D = 9a^2$ также всегда неотрицателен ($D \ge 0$). Это означает, что уравнение имеет действительные корни при любом значении параметра $a$.

Теперь найдем корни $x$ по формуле $x_{1,2} = \frac{-B \pm \sqrt{D}}{2A}$:
$x = \frac{-(-5a) \pm \sqrt{9a^2}}{2 \cdot 1} = \frac{5a \pm 3a}{2}$.

Определим каждый корень отдельно:
$x_1 = \frac{5a + 3a}{2} = \frac{8a}{2} = 4a$
$x_2 = \frac{5a - 3a}{2} = \frac{2a}{2} = a$

Ответ: $a; 4a$.

б) $3x^2 - 10ax + 3a^2 = 0$

Это также квадратное уравнение относительно $x$ с параметром $a$. Коэффициенты уравнения: $A=3$, $B=-10a$, $C=3a^2$.

Найдем дискриминант $D$ по формуле $D = B^2 - 4AC$:
$D = (-10a)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (3a^2) = 100a^2 - 36a^2 = 64a^2$.

Дискриминант $D = 64a^2$ всегда неотрицателен, поэтому уравнение всегда имеет действительные корни.

Найдем корни $x$ по формуле $x_{1,2} = \frac{-B \pm \sqrt{D}}{2A}$:
$x = \frac{-(-10a) \pm \sqrt{64a^2}}{2 \cdot 3} = \frac{10a \pm 8a}{6}$.

Определим каждый корень отдельно:
$x_1 = \frac{10a + 8a}{6} = \frac{18a}{6} = 3a$
$x_2 = \frac{10a - 8a}{6} = \frac{2a}{6} = \frac{a}{3}$

Ответ: $\frac{a}{3}; 3a$.