Номер 740, страница 174 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

33. Уравнения с параметром. § 10. Уравнения с двумя переменными и их системы. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 740, страница 174.

740. Решите относительно x уравнение

(a – 1)x² + 2ax + a + 1 = 0.

$\left(a-1\right)x^2+2ax+a+1=0(a-1)x^2+2ax+a+1=0$

Если a=1, то уравнение примет вид:

$$\begin{gathered} 2x+1+1=02x+1+1=0 \\ 2x=-22x=-2 \\ x=-1x=-1 \end{gathered}$$

Если $a\mathrm{\ne }1a\backslash neq\; 1$, то

$$\begin{gathered} D={\left(2a\right)}^2-4·\left(a-1\right)\left(a+1\right)=4a^2-4\left(a^2-1\right)= \\ =4a^2-4a^2+4=4 \\ x=\frac{-2a\pm \sqrt{4}}{2\left(a-1\right)}; x=\frac{-2a\pm 2}{2\left(a-1\right)} \\ {x}_1=\frac{-2a+2}{2\left(a-1\right)}=\frac{-2\left(a-1\right)}{2\left(a-1\right)}=-1 \\ {x}_2=\frac{-2a-2}{2\left(a-1\right)}=\frac{-2\left(a+1\right)}{2\left(a-1\right)}=\frac{a+1}{-(a-1)}=\frac{a+1}{1-a} \end{gathered}$$

Ответ: при a=1; x=-1;

при $a\mathrm{\ne }1a\backslash neq\; 1$; x=-1; $x=\frac{a+1}{1-a}$

Данное уравнение $(a - 1)x^2 + 2ax + a + 1 = 0$ является уравнением с параметром $a$. Его тип (линейное или квадратное) и количество решений зависят от значения этого параметра. Поэтому необходимо рассмотреть все возможные случаи.

Случай 1: Уравнение является линейным.

Это происходит, когда коэффициент при $x^2$ равен нулю, то есть $a-1=0$, что дает $a=1$.

Подставим значение $a=1$ в исходное уравнение:

$(1 - 1)x^2 + 2(1)x + 1 + 1 = 0$

$0 \cdot x^2 + 2x + 2 = 0$

$2x + 2 = 0$

$2x = -2$

$x = -1$

Таким образом, при $a=1$ уравнение является линейным и имеет единственный корень.

Ответ: при $a=1$, $x=-1$.

Случай 2: Уравнение является квадратным.

Это происходит, когда коэффициент при $x^2$ не равен нулю, то есть $a-1 \neq 0$, или $a \neq 1$.

В этом случае мы имеем квадратное уравнение, для решения которого вычислим дискриминант $D$.

$D = (2a)^2 - 4(a-1)(a+1)$

$D = 4a^2 - 4(a^2 - 1) = 4a^2 - 4a^2 + 4 = 4$

Поскольку $D=4>0$, уравнение при $a \neq 1$ всегда имеет два различных действительных корня. Найдем их по общей формуле корней квадратного уравнения:

$x_{1,2} = \frac{-2a \pm \sqrt{D}}{2(a-1)} = \frac{-2a \pm \sqrt{4}}{2(a-1)} = \frac{-2a \pm 2}{2(a-1)}$

Найдем каждый корень:

$x_1 = \frac{-2a + 2}{2(a-1)} = \frac{2(1-a)}{2(a-1)} = \frac{-(a-1)}{a-1} = -1$

$x_2 = \frac{-2a - 2}{2(a-1)} = \frac{-2(a+1)}{2(a-1)} = -\frac{a+1}{a-1}$

Таким образом, при $a \neq 1$ уравнение имеет два корня.

Ответ: при $a \neq 1$, $x_1 = -1$ и $x_2 = -\frac{a+1}{a-1}$.

Итоговый ответ по всем значениям параметра $a$:

Объединяя результаты, полученные в обоих случаях, запишем окончательный ответ.

Ответ:
при $a=1$, $x = -1$;
при $a \neq 1$, $x_1 = -1, x_2 = -\frac{a+1}{a-1}$.