Номер 742, страница 174 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

33. Уравнения с параметром. § 10. Уравнения с двумя переменными и их системы. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 742, страница 174.

742. Выясните, при каких значениях параметра b равна 7 сумма корней уравнения

y² – (2b – 1)y + b² – b – 2 = 0.

$y^2-(2b-1)y +b^2-b-2=0$

Так как данное уравнение приведённое, то можно применить теорему Виста

$y_1+y_2=2b-1=7$

2b=8

b=4

Ответ: при b=4

Дано квадратное уравнение относительно переменной $y$: $y^2 - (2b - 1)y + b^2 - b - 2 = 0$.

Это приведенное квадратное уравнение, так как коэффициент при $y^2$ равен 1. Для приведенного квадратного уравнения вида $y^2 + py + q = 0$ по теореме Виета сумма корней $y_1$ и $y_2$ равна $y_1 + y_2 = -p$.

В данном уравнении коэффициент при $y$ равен $p = -(2b - 1)$. Следовательно, сумма корней равна:

$y_1 + y_2 = -(-(2b - 1)) = 2b - 1$

По условию задачи, эта сумма должна быть равна 7. Составим и решим уравнение:

$2b - 1 = 7$

$2b = 7 + 1$

$2b = 8$

$b = 4$

Для того чтобы у квадратного уравнения существовали действительные корни, его дискриминант $D$ должен быть неотрицательным ($D \ge 0$). Найдем дискриминант для нашего уравнения:

$D = (-(2b - 1))^2 - 4 \cdot 1 \cdot (b^2 - b - 2)$

$D = (2b - 1)^2 - 4(b^2 - b - 2)$

$D = (4b^2 - 4b + 1) - (4b^2 - 4b - 8)$

$D = 4b^2 - 4b + 1 - 4b^2 + 4b + 8$

$D = 9$

Поскольку дискриминант $D = 9 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня при любом значении параметра $b$. Это значит, что найденное значение $b=4$ является корректным решением.

Ответ: 4.