Номер 747, страница 175 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 7. Дополнительные упражнения к главе III. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 747, страница 175.

747. Решите уравнение:

a) 4x²+7x+3-0

$$\begin{gathered} D=7^4-4·4·3=49-48=1 \\ x=\frac{-7\pm \sqrt{1}}{8}; x=\frac{-7\pm 1}{8} \\ {x}_1=-\frac{6}{8}=-\frac{3}{4}; x_2=-1 \end{gathered}$$

Ответ: $-\frac{3}{4}$; -1

б) 2²+x-56-0

$$\begin{gathered} D=1^2-4·1·\left(-56\right)=1+224=225 \\ x=\frac{-1\pm \sqrt{225}}{2}; x=\frac{-1\pm 15}{2} \\ {x}_1=7; x_2=-8 \end{gathered}$$

Ответ: -8; 7

в) x²-x-56=0

$$\begin{gathered} D={\left(-1\right)}^2-4·1·\left(-56\right)=1+224=225 \\ x=\frac{1\pm \sqrt{225}}{2}; x=\frac{1\pm 15}{2} \\ {x}_1=8; x_2=-7 \end{gathered}$$

Ответ: -7: 8

г) $5x^2-18x+16=0$

$$\begin{gathered} D={\left(-18\right)}^2-4·5·16=324-320=4 \\ x=\frac{18\pm \sqrt{4}}{10}; x=\frac{18\pm 2}{10} \\ {x}_1=2; x_2=1,6 \end{gathered}$$

Ответ: 1,6; 2

д) 8x²+x-75-0

$$\begin{gathered} D=1^2-4·8·\left(-75\right)=1+2400=2401 \\ x=\frac{-1\pm \sqrt{2401}}{16}; x=\frac{-1\pm 49}{16} \\ {x}_1=\frac{48}{16}=3 \\ {x}_2=-\frac{50}{16}=-\frac{25}{8}=-3\frac{1}{8} \end{gathered}$$

Ответ: $-3\frac{1}{8}$; 3

e) 3x²-11x-14-0

$$\begin{gathered} D={\left(-11\right)}^2-4·3·\left(-14\right)=121+168=289 \\ x=\frac{11\pm \sqrt{289}}{6}; x=\frac{11\pm 17}{6} \\ {x}_1=\frac{28}{6}=\frac{14}{3}=4\frac{2}{3} \\ {x}_2=-1 \end{gathered}$$

Ответ: -1; $4\frac{2}{3}$

ж) 3x²+11x-34-0

$$\begin{gathered} D=11^2-4·3·\left(-34\right)=121+408=529 \\ x=\frac{-11\pm \sqrt{529}}{6}; x=\frac{-11\pm 23}{6} \\ {x}_1=2; x_2=\frac{-34}{6}=-\frac{17}{3}=-5\frac{2}{3} \end{gathered}$$

Ответ: $-5\frac{2}{3}$; 2

з) x²-x-1=0

$$\begin{gathered} D={\left(-1\right)}^2-4·1·\left(-1\right)=1+4=5 \\ x=\frac{1\pm \sqrt{5}}{2} \end{gathered}$$

Ответ: $\frac{1-\sqrt{5}}{2}; \frac{1+\sqrt{5}}{2}$

а) $4x^2 + 7x + 3 = 0$

Это квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$ с коэффициентами $a = 4$, $b = 7$, $c = 3$.

Для решения найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 7^2 - 4 \cdot 4 \cdot 3 = 49 - 48 = 1$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-7 + \sqrt{1}}{2 \cdot 4} = \frac{-7 + 1}{8} = \frac{-6}{8} = -\frac{3}{4}$.

$x_2 = \frac{-7 - \sqrt{1}}{2 \cdot 4} = \frac{-7 - 1}{8} = \frac{-8}{8} = -1$.

Ответ: $x_1 = -1$; $x_2 = -0.75$.

б) $x^2 + x - 56 = 0$

Это приведенное квадратное уравнение с коэффициентами $a = 1$, $b = 1$, $c = -56$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-56) = 1 + 224 = 225$.

Найдем корни уравнения:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{225}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 \pm 15}{2}$.

$x_1 = \frac{-1 + 15}{2} = \frac{14}{2} = 7$.

$x_2 = \frac{-1 - 15}{2} = \frac{-16}{2} = -8$.

Ответ: $x_1 = -8$; $x_2 = 7$.

в) $x^2 - x - 56 = 0$

Коэффициенты уравнения: $a = 1$, $b = -1$, $c = -56$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-56) = 1 + 224 = 225$.

Найдем корни уравнения:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-1) \pm \sqrt{225}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm 15}{2}$.

$x_1 = \frac{1 + 15}{2} = \frac{16}{2} = 8$.

$x_2 = \frac{1 - 15}{2} = \frac{-14}{2} = -7$.

Ответ: $x_1 = -7$; $x_2 = 8$.

г) $5x^2 - 18x + 16 = 0$

Коэффициенты уравнения: $a = 5$, $b = -18$, $c = 16$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-18)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 16 = 324 - 320 = 4$.

Найдем корни уравнения:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-18) \pm \sqrt{4}}{2 \cdot 5} = \frac{18 \pm 2}{10}$.

$x_1 = \frac{18 + 2}{10} = \frac{20}{10} = 2$.

$x_2 = \frac{18 - 2}{10} = \frac{16}{10} = \frac{8}{5} = 1.6$.

Ответ: $x_1 = 1.6$; $x_2 = 2$.

д) $8x^2 + x - 75 = 0$

Коэффициенты уравнения: $a = 8$, $b = 1$, $c = -75$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 8 \cdot (-75) = 1 + 2400 = 2401$.

Найдем корни уравнения ($\sqrt{2401}=49$):

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{2401}}{2 \cdot 8} = \frac{-1 \pm 49}{16}$.

$x_1 = \frac{-1 + 49}{16} = \frac{48}{16} = 3$.

$x_2 = \frac{-1 - 49}{16} = \frac{-50}{16} = -\frac{25}{8} = -3.125$.

Ответ: $x_1 = -3.125$; $x_2 = 3$.

е) $3x^2 - 11x - 14 = 0$

Коэффициенты уравнения: $a = 3$, $b = -11$, $c = -14$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-11)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-14) = 121 + 168 = 289$.

Найдем корни уравнения ($\sqrt{289}=17$):

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-11) \pm \sqrt{289}}{2 \cdot 3} = \frac{11 \pm 17}{6}$.

$x_1 = \frac{11 + 17}{6} = \frac{28}{6} = \frac{14}{3}$.

$x_2 = \frac{11 - 17}{6} = \frac{-6}{6} = -1$.

Ответ: $x_1 = -1$; $x_2 = \frac{14}{3}$.

ж) $3x^2 + 11x - 34 = 0$

Коэффициенты уравнения: $a = 3$, $b = 11$, $c = -34$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 11^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-34) = 121 + 408 = 529$.

Найдем корни уравнения ($\sqrt{529}=23$):

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-11 \pm \sqrt{529}}{2 \cdot 3} = \frac{-11 \pm 23}{6}$.

$x_1 = \frac{-11 + 23}{6} = \frac{12}{6} = 2$.

$x_2 = \frac{-11 - 23}{6} = \frac{-34}{6} = -\frac{17}{3}$.

Ответ: $x_1 = -\frac{17}{3}$; $x_2 = 2$.

з) $x^2 - x - 1 = 0$

Коэффициенты уравнения: $a = 1$, $b = -1$, $c = -1$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 1 + 4 = 5$.

Найдем корни уравнения:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-1) \pm \sqrt{5}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$.

$x_1 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$.

$x_2 = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$.

Ответ: $x_1 = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$; $x_2 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$.