Номер 752, страница 175 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 7. Дополнительные упражнения к главе III. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 752, страница 175.

752. При каком значении а один из корней уравнения ax² – 3x – 5 = 0 равен 1? Найдите, чему равен при этом значении a второй корень.

$$\begin{gathered} a{x}^2-3x-5=0 \\ {x}_1=1 \\ a·1^2-3·1-5=0 \\ a-3-5=0 \\ a=8 \\ 8x^2-3x-5=0 \\ D={\left(-3\right)}^2-4·8·\left(-5\right)=9+160=169 \\ x=\frac{3\pm \sqrt{169}}{16}; x=\frac{3\pm 13}{16} \\ {x}_1=1; x_2=\frac{-10}{16}=-\frac{5}{8} \end{gathered}$$

Ответ: при $a=8; x_2=-\frac{5}{8}$

При каком значении a один из корней уравнения $ax^2 - 3x - 5 = 0$ равен 1?

По условию задачи, один из корней уравнения, который мы обозначим как $x_1$, равен 1. Если число является корнем уравнения, то при подстановке этого числа вместо переменной $x$ в уравнение, мы получим верное числовое равенство.

Подставим значение $x = 1$ в исходное уравнение: $a \cdot (1)^2 - 3 \cdot (1) - 5 = 0$

Теперь решим это уравнение относительно переменной $a$: $a \cdot 1 - 3 - 5 = 0$ $a - 8 = 0$ $a = 8$

Таким образом, при $a = 8$ один из корней уравнения будет равен 1.

Ответ: $a = 8$.

Найдите, чему равен при этом значении a второй корень.

Мы нашли, что $a = 8$. Подставим это значение в исходное уравнение, чтобы получить конкретное квадратное уравнение: $8x^2 - 3x - 5 = 0$

Для нахождения второго корня ($x_2$) воспользуемся теоремой Виета. Для квадратного уравнения вида $Ax^2 + Bx + C = 0$ с корнями $x_1$ и $x_2$ справедливы следующие соотношения:

• Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{B}{A}$
• Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{C}{A}$

В нашем уравнении $8x^2 - 3x - 5 = 0$ коэффициенты равны: $A=8$, $B=-3$, $C=-5$. Мы уже знаем один корень $x_1 = 1$. Используем формулу для произведения корней, чтобы найти $x_2$: $x_1 \cdot x_2 = \frac{C}{A}$ $1 \cdot x_2 = \frac{-5}{8}$ $x_2 = -\frac{5}{8}$

Для проверки можно использовать формулу для суммы корней: $x_1 + x_2 = -\frac{B}{A}$ $1 + x_2 = -\frac{-3}{8}$ $1 + x_2 = \frac{3}{8}$ $x_2 = \frac{3}{8} - 1 = \frac{3}{8} - \frac{8}{8} = -\frac{5}{8}$

Оба метода дают одинаковый результат, что подтверждает правильность вычислений.

Ответ: второй корень равен $-\frac{5}{8}$.