Номер 750, страница 175 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 7. Дополнительные упражнения к главе III. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 750, страница 175.

750. Найдите приближённые значения корней уравнения в виде десятичных дробей с точностью до 0,01:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}{x}^2-2x-2=0 \\ D={\left(-2\right)}^2-4·1·\left(-2\right)=4+8=12 \\ x=\frac{2\pm \sqrt{12}}{2}; x=\frac{2\pm 2\sqrt{3}}{2} \\ {x}_1=1+\sqrt{3}\approx 1+1,73=2,73 \\ {x}_2=1-\sqrt{3}\approx 1-1,73=-0,73 \end{gathered}$$

Ответ: ≈2,73; ≈-0,73

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}{x}^2+5x+3=0 \\ D=5^2-4·1·3=25-12=13 \\ x=\frac{-5\pm \sqrt{13}}{2} \\ {x}_1=\frac{-5+\sqrt{13}}{2}\approx \frac{-5+3,61}{2}=\frac{-1,39}{2}=-0,70 \\ {x}_2=\frac{-5-\sqrt{13}}{2}\approx \frac{-5-3,61}{2}=\frac{-8,61}{2}\approx -4,31 \end{gathered}$$

Ответ: ≈-0,70; ≈-4,31

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}3x^2-7x+3=0 \\ D={\left(-7\right)}^2-4·3·3=49-36=13 \\ x=\frac{7\pm \sqrt{13}}{6} \\ {x}_1=\frac{7+\sqrt{13}}{6}\approx \frac{7+3,61}{6}\approx 1,77 \\ {x}_2=\frac{7-\sqrt{13}}{6}\approx \frac{7-3,61}{6}\approx 0,57 \end{gathered}$$

Ответ: ≈1,77; ≈0,57

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г) }}5x^2+31x+20=0 \\ D=31^2-4·5·20=961-400=561 \\ x=\frac{-31\pm \sqrt{561}}{10} \\ {x}_1=\frac{-31+\sqrt{561}}{10}\approx \frac{-31+23,69}{10}= \\ =\frac{-7,31}{10}\approx -0,73 \\ {x}_2=\frac{-31-\sqrt{561}}{10}\approx \frac{-31-23,69}{10}= \\ =\frac{-54,69}{10}\approx -5,47 \end{gathered}$$

Ответ: ≈-0,73; ≈-5,47

а) $x^2 - 2x - 2 = 0$

Это квадратное уравнение с коэффициентами $a=1$, $b=-2$, $c=-2$.
Вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 4 + 8 = 12$.
Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня.
Корни уравнения находим по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_{1,2} = \frac{-(-2) \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm \sqrt{4 \cdot 3}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 1 \pm \sqrt{3}$.
Для нахождения приближенных значений воспользуемся значением $\sqrt{3} \approx 1.73205...$
$x_1 = 1 + \sqrt{3} \approx 1 + 1.73205 = 2.73205 \approx 2.73$.
$x_2 = 1 - \sqrt{3} \approx 1 - 1.73205 = -0.73205 \approx -0.73$.
Ответ: $x_1 \approx 2.73$, $x_2 \approx -0.73$.

б) $x^2 + 5x + 3 = 0$

Это квадратное уравнение с коэффициентами $a=1$, $b=5$, $c=3$.
Вычислим дискриминант: $D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 25 - 12 = 13$.
Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-5 \pm \sqrt{13}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 \pm \sqrt{13}}{2}$.
Используем приближенное значение $\sqrt{13} \approx 3.60555...$
$x_1 = \frac{-5 + \sqrt{13}}{2} \approx \frac{-5 + 3.60555}{2} = \frac{-1.39445}{2} = -0.697225 \approx -0.70$.
$x_2 = \frac-5 - \sqrt{13}}{2} \approx \frac{-5 - 3.60555}{2} = \frac{-8.60555}{2} = -4.302775 \approx -4.30$.
Ответ: $x_1 \approx -0.70$, $x_2 \approx -4.30$.

в) $3x^2 - 7x + 3 = 0$

Это квадратное уравнение с коэффициентами $a=3$, $b=-7$, $c=3$.
Вычислим дискриминант: $D = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 49 - 36 = 13$.
Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-(-7) \pm \sqrt{13}}{2 \cdot 3} = \frac{7 \pm \sqrt{13}}{6}$.
Используем приближенное значение $\sqrt{13} \approx 3.60555...$
$x_1 = \frac{7 + \sqrt{13}}{6} \approx \frac{7 + 3.60555}{6} = \frac{10.60555}{6} = 1.76759... \approx 1.77$.
$x_2 = \frac{7 - \sqrt{13}}{6} \approx \frac{7 - 3.60555}{6} = \frac{3.39445}{6} = 0.56574... \approx 0.57$.
Ответ: $x_1 \approx 1.77$, $x_2 \approx 0.57$.

г) $5x^2 + 31x + 20 = 0$

Это квадратное уравнение с коэффициентами $a=5$, $b=31$, $c=20$.
Вычислим дискриминант: $D = 31^2 - 4 \cdot 5 \cdot 20 = 961 - 400 = 561$.
Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-31 \pm \sqrt{561}}{2 \cdot 5} = \frac{-31 \pm \sqrt{561}}{10}$.
Используем приближенное значение $\sqrt{561} \approx 23.68543...$
$x_1 = \frac{-31 + \sqrt{561}}{10} \approx \frac{-31 + 23.68543}{10} = \frac{-7.31457}{10} = -0.731457 \approx -0.73$.
$x_2 = \frac{-31 - \sqrt{561}}{10} \approx \frac{-31 - 23.68543}{10} = \frac{-54.68543}{10} = -5.468543 \approx -5.47$.
Ответ: $x_1 \approx -0.73$, $x_2 \approx -5.47$.