Номер 755, страница 176 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 7. Дополнительные упражнения к главе III. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 755, страница 176.

755. Квадрат суммы двух последовательных натуральных чисел больше суммы их квадратов на 112. Найдите эти числа.

Пусть $xx$; $x+1x+1$-два последовательных натуральных числа. По условию задачи составим и решим уравнение:

$$\begin{gathered} {\left(x+x+1\right)}^2=x^2+{\left(x+1\right)}^2+112 \\ {\left(2x+1\right)}^2=x^2+x^2+2x+1+112 \\ 4x^2+4x+1-2x^2-2x-113=0 \\ 2x^2+2x-112=0 \mathrm{/}:2 \\ {x}^2+x-56=0 \\ D=1^2-4·1·\left(-56\right)=1+224=225 \\ x=\frac{-1\pm \sqrt{225}}{2}; x=\frac{-1\pm 15}{2} \\ {x}_1=7; x_2=-8\notin N \\ 7+1=8 \end{gathered}$$

Ответ: 7 и 8

Пусть первое из двух последовательных натуральных чисел равно $n$. Тогда второе число будет равно $n + 1$.

Сумма этих чисел равна $n + (n + 1) = 2n + 1$. Квадрат их суммы равен $(2n + 1)^2$.

Сумма их квадратов равна $n^2 + (n + 1)^2$.

По условию задачи, квадрат суммы больше суммы квадратов на 112. Это можно записать в виде уравнения:
$(2n + 1)^2 - (n^2 + (n + 1)^2) = 112$

Раскроем скобки и решим полученное уравнение.
Сначала раскроем квадрат суммы:
$(2n + 1)^2 = 4n^2 + 4n + 1$
Теперь раскроем сумму квадратов:
$n^2 + (n + 1)^2 = n^2 + (n^2 + 2n + 1) = 2n^2 + 2n + 1$

Подставим раскрытые выражения обратно в уравнение:
$(4n^2 + 4n + 1) - (2n^2 + 2n + 1) = 112$
$4n^2 + 4n + 1 - 2n^2 - 2n - 1 = 112$

Приведем подобные слагаемые:
$(4n^2 - 2n^2) + (4n - 2n) + (1 - 1) = 112$
$2n^2 + 2n = 112$

Перенесем 112 в левую часть и разделим все уравнение на 2, чтобы упростить его:
$2n^2 + 2n - 112 = 0$
$n^2 + n - 56 = 0$

Мы получили приведенное квадратное уравнение. Найдем его корни, например, по теореме Виета. Нам нужны два числа, произведение которых равно -56, а сумма равна -1. Эти числа — 7 и -8. Следовательно, корни уравнения:
$n_1 = 7$
$n_2 = -8$

Так как по условию числа должны быть натуральными, корень $n = -8$ не подходит.
Значит, первое число равно 7.

Второе последовательное число равно $n + 1 = 7 + 1 = 8$.

Проверим результат:
Квадрат суммы: $(7 + 8)^2 = 15^2 = 225$.
Сумма квадратов: $7^2 + 8^2 = 49 + 64 = 113$.
Разность: $225 - 113 = 112$.
Условие выполняется.

Ответ: 7 и 8.