Номер 758, страница 176 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 7. Дополнительные упражнения к главе III. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 758, страница 176.

758. Цветочная клумба, имеющая форму прямоугольника, окружена дерновым бордюром, ширина которого всюду одинакова. Клумба вместе с бордюром образует прямоугольник, длина которого 4,5 м, а ширина 2,5 м. Найдите ширину бордюра, если известно, что его площадь равна 3,25 м².

Пусть x(м) ширина бордюра, тогра $2,5·4,5=11,25\left({\text{м}}^2\right)$ - площадь клумбы с бордюром, а $\left(2,5-2x\right)\left(4,5-2x\right)$м² - площадь клумбы. Зная, что площадь бордюра равка $3,25{\text{м}}^2$ составим и решим уравнение:

$$\begin{gathered} 11,25-\left(2,5-2x\right)\left(4,5-2x\right)=3,25 \\ 11,25-(11,25-5x-9x+4x^2)=3,25 \\ 11,25-11,25+14x-4x^2-3,15=0 \\ -4x^2+14x-3,25=0 \\ D={14}^2-4·\left(-4\right)·\left(-3,25\right)=196-52=144 \\ x=\frac{-14\pm \sqrt{144}}{-8}; x=\frac{-14\pm 12}{-8} \end{gathered}$$

$x_1=\frac{1}{4}; x_2=\frac{26}{8}=\frac{13}{4}=3\frac{1}{4}$ - не удовлетворяет условию задачи, т.к ширина бордюра должна быть меньше, чем 2,5м

Ответ: $\frac{1}{4}\backslash frac\{1\}\{4\}$ м

Для решения задачи введем переменную. Пусть $x$ — ширина дернового бордюра в метрах.

По условию, клумба вместе с бордюром образует прямоугольник, длина которого $L_{внеш} = 4,5$ м, а ширина $W_{внеш} = 2,5$ м.

1. Найдем общую площадь этого большого прямоугольника (клумба вместе с бордюром):
$S_{внеш} = L_{внеш} \cdot W_{внеш} = 4,5 \text{ м} \cdot 2,5 \text{ м} = 11,25 \text{ м}^2$.

2. Площадь самого бордюра известна и равна $S_{бордюра} = 3,25 \text{ м}^2$. Площадь бордюра можно также выразить как разность площадей внешнего и внутреннего прямоугольников. Отсюда мы можем найти площадь внутреннего прямоугольника — самой цветочной клумбы ($S_{клумбы}$):
$S_{клумбы} = S_{внеш} - S_{бордюра} = 11,25 \text{ м}^2 - 3,25 \text{ м}^2 = 8 \text{ м}^2$.

3. Теперь выразим размеры самой цветочной клумбы через ширину бордюра $x$. Поскольку бордюр окружает клумбу со всех сторон, его ширина $x$ вычитается дважды из каждого размера большого прямоугольника (с двух противоположных сторон).
Длина клумбы: $L_{клумбы} = L_{внеш} - 2x = 4,5 - 2x$ м.
Ширина клумбы: $W_{клумбы} = W_{внеш} - 2x = 2,5 - 2x$ м.

4. Площадь клумбы равна произведению ее длины на ширину: $S_{клумбы} = L_{клумбы} \cdot W_{клумбы}$. Подставим известные значения и составим уравнение:
$(4,5 - 2x)(2,5 - 2x) = 8$.

5. Решим полученное уравнение. Раскроем скобки:
$4,5 \cdot 2,5 - 4,5 \cdot 2x - 2,5 \cdot 2x + 4x^2 = 8$
$11,25 - 9x - 5x + 4x^2 = 8$
$4x^2 - 14x + 11,25 = 8$
Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2+bx+c=0$:
$4x^2 - 14x + 3,25 = 0$.

6. Найдем корни квадратного уравнения. Можно использовать формулу для корней, но для удобства вычислений умножим обе части уравнения на 4, чтобы избавиться от десятичной дроби:
$16x^2 - 56x + 13 = 0$
Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-56)^2 - 4 \cdot 16 \cdot 13 = 3136 - 832 = 2304$
Найдем корни:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{56 + \sqrt{2304}}{2 \cdot 16} = \frac{56 + 48}{32} = \frac{104}{32} = 3,25$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{56 - \sqrt{2304}}{2 \cdot 16} = \frac{56 - 48}{32} = \frac{8}{32} = 0,25$.

7. Проанализируем полученные корни. Ширина бордюра ($x$) не может быть такой, чтобы размеры клумбы стали отрицательными. Ширина внешнего прямоугольника равна 2,5 м, значит, удвоенная ширина бордюра $2x$ должна быть меньше 2,5 м, то есть $x < 1,25$ м.
Корень $x_1 = 3,25$ не удовлетворяет этому условию ($3,25 > 1,25$), поэтому он является посторонним.
Корень $x_2 = 0,25$ удовлетворяет условию ($0,25 < 1,25$).

Таким образом, ширина бордюра составляет 0,25 м.

Ответ: 0,25 м.