Номер 764, страница 176 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 7. Дополнительные упражнения к главе III. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 764, страница 176.

764. Решите уравнение и выполните проверку по теореме, обратной теореме Виета:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}{x}^2-5\sqrt{2}x+12=0 \\ D={\left(-5\sqrt{2}\right)}^2-4·1·12=50-48=2 \\ {x}_1=\frac{5\sqrt{2}+\sqrt{2}}{2}=\frac{6\sqrt{2}}{2}=3\sqrt{2} \\ {x}_2=\frac{5\sqrt{2}-\sqrt{2}}{2}=\frac{4\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2} \end{gathered}$$

Проверки: $$\begin{gathered} x_1+x_2=3\sqrt{2}+2\sqrt{2}=5\sqrt{2}x\_1+x\_2\; =\; 3\backslash sqrt\{2\}+2\backslash sqrt\{2\}=5\backslash sqrt\{2\} \\ {x}_1·x_2=3\sqrt{2}·2\sqrt{2}=6·2=12x\_1\backslash cdot\; x\_2\; =\; 3\backslash sqrt\{2\}\backslash cdot\; 2\backslash sqrt\{2\}=6\backslash cdot\; 2=12 \end{gathered}$$

Ответ: $2\sqrt{2}2\backslash sqrt\{2\}$; $3\sqrt{2}3\backslash sqrt\{2\}$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}{x}^2+2\sqrt{3}x-72=0 \\ D={\left(2\sqrt{3}\right)}^2-4·1·\left(-72\right)=12+288=300 \\ {x}_1=\frac{-2\sqrt{3}+\sqrt{300}}{2}=\frac{-2\sqrt{3}+10\sqrt{3}}{2}= \\ =\frac{8\sqrt{3}}{2}=4\sqrt{3} \\ {x}_2=\frac{-2\sqrt{3}-\sqrt{300}}{2}=\frac{-2\sqrt{3}-10\sqrt{3}}{2}= \\ =\frac{-12\sqrt{3}}{2}=-6\sqrt{3} \end{gathered}$$

Проверка: $$\begin{gathered} x_1+x_2=4\sqrt{3}+\left(-6\sqrt{3}\right)=-2\sqrt{3}x\_1+x\_2=4\backslash sqrt\{3\}+(-6\backslash sqrt\{3\})=-2\backslash sqrt\{3\} \\ {x}_1{x}_2=4\sqrt{3}·\left(-6\sqrt{3}\right)=-24·3=-72x\_1x\_2=4\backslash sqrt\{3\}\backslash cdot(-6\backslash sqrt\{3\})=-24\backslash cdot3=-72 \end{gathered}$$

Ответ: $-6\sqrt{3}; 4\sqrt{3}$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}{y}^2-6y+7=0 \\ D={\left(-6\right)}^2-4·1·7=36-28=8 \\ {y}_1=\frac{6+\sqrt{8}}{2}; y_2=\frac{6-\sqrt{8}}{2} \end{gathered}$$

Проверка: $$\begin{gathered} y_1+y_2=\frac{6+\sqrt{8}}{2}+\frac{6-\sqrt{8}}{2}=6 \\ {y}_1{y}_2=\frac{6+\sqrt{8}}{2}·\frac{6-\sqrt{8}}{2}=\frac{36-8}{4}=\frac{28}{4}=7 \end{gathered}$$

Ответ: $$\begin{gathered} \frac{6+\sqrt{8}}{2}=\frac{6+2\sqrt{2}}{2}=3+\sqrt{2}\backslash frac\{6+\backslash sqrt\{8\}\}\{2\}=\backslash frac\{6+2\backslash sqrt\{2\}\}\{2\}=3+\backslash sqrt\{2\} \\ \frac{6-\sqrt{8}}{2}=\frac{6-2\sqrt{2}}{2}=3-\sqrt{2}\backslash frac\{6-\backslash sqrt\{8\}\}\{2\}=\backslash frac\{6-2\backslash sqrt\{2\}\}\{2\}=3-\backslash sqrt\{2\} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г) }}{p}^2-10p+7=0 \\ D={\left(-10\right)}^2-4·1·7=100-28=72 \\ p=\frac{10\pm \sqrt{72}}{2}; p=\frac{10\pm 6\sqrt{2}}{2} \\ p=5\pm 3\sqrt{2} \end{gathered}$$

Проверка: $$\begin{gathered} p_1+p_2=5+3\sqrt{2}+5-3\sqrt{2}=10 \\ {p}_1{p}_2=\left(5+3\sqrt{2}\right)\left(5-3\sqrt{2}\right)=5^2-{\left(3\sqrt{2}\right)}^2= \\ =25-18=7 \end{gathered}$$

Ответ: $5+3\sqrt{2}; 5-3\sqrt{2}$

а) $x^2 - 5\sqrt{2}x + 12 = 0$

Решим данное приведенное квадратное уравнение с помощью формулы корней квадратного уравнения. Коэффициенты уравнения: $a=1$, $b=-5\sqrt{2}$, $c=12$.

Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-5\sqrt{2})^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = (25 \cdot 2) - 48 = 50 - 48 = 2$.

Так как $D>0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-5\sqrt{2}) + \sqrt{2}}{2 \cdot 1} = \frac{5\sqrt{2} + \sqrt{2}}{2} = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}$.

$x_2 = \frac{-(-5\sqrt{2}) - \sqrt{2}}{2 \cdot 1} = \frac{5\sqrt{2} - \sqrt{2}}{2} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$.

Проверка по теореме, обратной теореме Виета:

Для приведенного квадратного уравнения $x^2+px+q=0$ с корнями $x_1$ и $x_2$ должны выполняться условия: $x_1 + x_2 = -p$ и $x_1 \cdot x_2 = q$. В нашем уравнении $p = -5\sqrt{2}$ и $q=12$.

Проверим сумму найденных корней: $x_1 + x_2 = 3\sqrt{2} + 2\sqrt{2} = 5\sqrt{2}$.

Сравним с коэффициентом $-p$: $-p = -(-5\sqrt{2}) = 5\sqrt{2}$. Равенство $x_1 + x_2 = -p$ выполняется.

Проверим произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = 3\sqrt{2} \cdot 2\sqrt{2} = 6 \cdot (\sqrt{2})^2 = 6 \cdot 2 = 12$.

Сравним с коэффициентом $q$: $q=12$. Равенство $x_1 \cdot x_2 = q$ выполняется.

Поскольку оба условия выполнены, найденные корни верны.

Ответ: $2\sqrt{2}; 3\sqrt{2}$.

б) $x^2 + 2\sqrt{3}x - 72 = 0$

Решим данное приведенное квадратное уравнение. Коэффициенты: $a=1$, $b=2\sqrt{3}$, $c=-72$.

Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (2\sqrt{3})^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-72) = (4 \cdot 3) + 288 = 12 + 288 = 300$.

Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$\sqrt{D} = \sqrt{300} = \sqrt{100 \cdot 3} = 10\sqrt{3}$.

$x_1 = \frac{-2\sqrt{3} + 10\sqrt{3}}{2} = \frac{8\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$.

$x_2 = \frac{-2\sqrt{3} - 10\sqrt{3}}{2} = \frac{-12\sqrt{3}}{2} = -6\sqrt{3}$.

Проверка по теореме, обратной теореме Виета:

В уравнении $x^2 + 2\sqrt{3}x - 72 = 0$ коэффициенты $p = 2\sqrt{3}$ и $q=-72$.

Сумма корней: $x_1 + x_2 = 4\sqrt{3} + (-6\sqrt{3}) = -2\sqrt{3}$.

Сравним с $-p$: $-p = -(2\sqrt{3}) = -2\sqrt{3}$. Равенство выполняется.

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = 4\sqrt{3} \cdot (-6\sqrt{3}) = -24 \cdot (\sqrt{3})^2 = -24 \cdot 3 = -72$.

Сравним с $q$: $q=-72$. Равенство выполняется.

Поскольку оба условия выполнены, найденные корни верны.

Ответ: $-6\sqrt{3}; 4\sqrt{3}$.

в) $y^2 - 6y + 7 = 0$

Решим данное приведенное квадратное уравнение. Коэффициенты: $a=1$, $b=-6$, $c=7$.

Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 36 - 28 = 8$.

Найдем корни по формуле $y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$\sqrt{D} = \sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2}$.

$y_1 = \frac{6 + 2\sqrt{2}}{2} = 3 + \sqrt{2}$.

$y_2 = \frac{6 - 2\sqrt{2}}{2} = 3 - \sqrt{2}$.

Проверка по теореме, обратной теореме Виета:

В уравнении $y^2 - 6y + 7 = 0$ коэффициенты $p = -6$ и $q=7$.

Сумма корней: $y_1 + y_2 = (3 + \sqrt{2}) + (3 - \sqrt{2}) = 6$.

Сравним с $-p$: $-p = -(-6) = 6$. Равенство выполняется.

Произведение корней: $y_1 \cdot y_2 = (3 + \sqrt{2})(3 - \sqrt{2}) = 3^2 - (\sqrt{2})^2 = 9 - 2 = 7$.

Сравним с $q$: $q=7$. Равенство выполняется.

Поскольку оба условия выполнены, найденные корни верны.

Ответ: $3 - \sqrt{2}; 3 + \sqrt{2}$.

г) $p^2 - 10p + 7 = 0$

Решим данное приведенное квадратное уравнение. Коэффициенты: $a=1$, $b=-10$, $c=7$.

Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 100 - 28 = 72$.

Найдем корни по формуле $p_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$\sqrt{D} = \sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}$.

$p_1 = \frac{10 + 6\sqrt{2}}{2} = 5 + 3\sqrt{2}$.

$p_2 = \frac{10 - 6\sqrt{2}}{2} = 5 - 3\sqrt{2}$.

Проверка по теореме, обратной теореме Виета:

В уравнении $p^2 - 10p + 7 = 0$ коэффициенты, соответствующие теореме Виета для приведенного уравнения, равны $p_{coef} = -10$ и $q_{coef}=7$.

Сумма корней: $p_1 + p_2 = (5 + 3\sqrt{2}) + (5 - 3\sqrt{2}) = 10$.

Сравним с $-p_{coef}$: $-p_{coef} = -(-10) = 10$. Равенство выполняется.

Произведение корней: $p_1 \cdot p_2 = (5 + 3\sqrt{2})(5 - 3\sqrt{2}) = 5^2 - (3\sqrt{2})^2 = 25 - (9 \cdot 2) = 25 - 18 = 7$.

Сравним с $q_{coef}$: $q_{coef}=7$. Равенство выполняется.

Поскольку оба условия выполнены, найденные корни верны.

Ответ: $5 - 3\sqrt{2}; 5 + 3\sqrt{2}$.